Пространство фазовое, функциональное

Пространство фазовое, функциональное 592 Пуанкаре индексы 338 [c.914]

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. В этих моделях имеются две группы переменных -независимых (время) и зависимых (фазовых). Такими переменными являются силы и скорость перемещения в механических системах, напряжение и сила тока в электрических системах и т.п. [c.439]

В математической литературе это бесконечномерное функциональное пространство (или конечномерные пространства, которыми оно может быть в некоторых случаях заменено —см. ниже) часто называют фазовым. Мы не пользуемся здесь этим термином во избежание смешения с более конкретным смыслом, который он обычно имеет в физике. [c.155]

Важную связь между скобками Пуассона и бесконечно малыми каноническими преобразованиями можно получить, рассматривая изменение некоторой функции u q, р) в результате такого преобразования. Здесь необходимо объяснить, что мы понимаем под словом изменение функции. Раньше, когда мы преобразовывали величину u q, р) к новым переменным, мы вместо q а р подставляли в и выражения q(Q, Р) и p(Q, Р). Таким путем мы получали зависимость и от новых переменных. При этом функциональная зависимость и от Q а Р оказывается в общем случае не такой, как зависимость и от q к р. Однако численное значение и, соответствующее данному состоянию системы, при этом не изменяется, так как u q, р) есть функция точек фазового пространства и ее значения, конечно, не зависят от вида координат, которыми мы задаем эти точки. Теперь же мы будем рассматривать изменение функции и и в другом смысле этого слова. Мы будем понимать под ним численное изменение величины и в результате замены аргумента <7 на Q и аргумента р на Р. Функциональная зависимость и от старых и новых переменных будет при этом одной и той же, но точка фазового пространства, в которой мы вычисляем и, будет при этом изменяться. Рассмотрим, например, бесконечно малое преобразование (8.65). В этом случае мы, подставляя в функцию u(q, р) переменные Q и Я вместо q и р, переходим от значения [c.287]

Компоненты скорости и и uo считаются функционально независимыми. После ре шения системы уравнений (1.1) для функций Ф, Л и X течение в фазовом пространстве [c.72]

Ранее предполагалось, что в системе дифференциальных уравнений общего вида возможны лишь простейшие устойчивые предельные режимы положения равновесия и циклы. Если же система устроена более сложно (например, является консервативной), то предполагалось, что при малом изменении ее уравнений (например, при учете малых неконсервативных возмущений) сложные движения рассыплются на простые. Теперь мы знаем, что это не так, и что в функциональном пространстве векторных полей имеются целые области, состоящие из полей с более сложным поведением фазовых кривых. [c.280]

Рассмотрим какую-либо конечную линейную комбинацию первых интегралов / = и пусть с = I. Множество стационарных точек потока с гамильтонианом / в функциональном пространстве инвариантно относительно фазовых потоков с гамильтонианами Ig, в частности относительно фазового потока уравнения (1). [c.468]

Таким образом, для сжимающего отображения все точки стремятся к единственной неподвижной точке. Этот результат будет часто использоваться в ходе нашего анализа динамических систем с более сложным поведением. Обычно мы будем применять его не к самой динамической системе в фазовом пространстве, а к некоторому отображению в функциональном пространстве, связанному с этой динамической системой. В первую очередь проиллюстрируем применение принципа сжатых отображений к теории динамических систем, в ситуации, где этот принцип применяется к некоторой вспомогательной системе в том же самом пространстве. [c.32]

Операторы Казимира функциональной группы <3 выражаются через обобщенные импульсы, отвечающие г циклическим переменным фазового пространства, иначе говоря, инвариантные полиномы 0 представляют собой г интегралов движения системы (1.47) в инволюции, одним из которых является гамильтониан (1.45). Нетрудно заметить, что выбор указанных выше начальных условий не нарушает сделанных утверждений. Такн.м образом, динамическая система (1.42) имеет г интегралов движения в инволюции, совпадающих по форме с инвариантными полиномами на О , в которых К = 0, = (1/2)о 6ц. [c.156]

Обычно квантовомеханический гамильтониан идентифицируется с радиальной частью квадратичного оператора Казимира полупростой группы Ли С в подходящей параметризации. При этом выбор базисных функций в пространстве представления О играет ту же роль, что и выбор начальных условий в фазовом пространстве функциональной группы для классической задачи (см. IV. 6). Скобки Пуассона, определяющие классическую систему, заменяются на коммутаторы динамических переменных соответствующей квантовой системы. Существует глубокая взаимосвязь между решением задачи квантования и теорией представлений групп, впервые установленная Костан-том для систем типа цепочки Тода, для которых получено интегральное представление однокомпонентных волновых функций [c.230]

Теорема о первых интегралах. Автономное уравнение с дифференцируемой правой частью в некоторой окрестности каждой неособой точки п-мерного фазового пространства имеет полную систему из (л—1) функционально независимых и не зависящих от времени первых интегралов h.....In-и Фазовые [c.23]

Для неавтономного уравнения (2) с п-мерным фазовым пространством существует полная система из п зависящих от времени локальных функционально независимых первых интегралов /ь. .., In- Система /i = i,..., / =Сп задает локальные интегральные кривые уравнения. [c.23]

С другой стороны, иногда фазовое пространство ие является ни компактным, ни локально компактным. Таковы бесконечномерные функциональные фазовые пространства, с которыми [c.166]

Естественная пуассонова структура на этом пространстве была введена Якоби (см. [90], гл. 1). В самом деле, (симплектическая) скобка Пуассона двух первых интегралов есть снова первый интеграл. Следовательно, исходная симплектическая структура на фазовом пространстве определяет пуассонову структуру на пространстве орбит. По выражению Якоби, мы выбираем первые интегралы системы и каждый раз добавляем их скобки Пуассона к предыдущим интегралам. На некотором шаге мы получим функционально зависимые интегралы затем мы выбираем максимальное множество функционально независимых интегралов (координаты на пространстве орбит). Все остальные интегралы (и, следовательно, их скобки Пуассона) являются функциями выбранных. В частности, Якоби рассмотрел конструкцию примера 2 для группы вращений и группы движений евклидова пространства. [c.107]

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В этих уравнениях независимой переменной является время t, а вектор зависимых переменных V составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости механических систем, напряжения и силы тока электрических систем, давления и расходы гидравлических и пневматических систем и т. п. Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и установившихся состояний объектов. Модели для установившихся режимов можно также представить в виде систем алгебраических уравнений. Порядок системы уравнений зависит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок системы приближается к 10 , то оперирование моделью становится затруднительным и поэтому необходимо переходить к представлениям па метауровпе. [c.38]

На макроуровне производится дискретизация пространств с выделением в качестве элементов отдельных деталей, дискретных электрорадиоэлементов, участков полупроводниковых кристаллов. При этом из числа независимых переменных исключают пространственные координаты. Функциональные модели на макроуровне представляют собой системы алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений, для их получения и решения используют соответствующие численные методы. В качестве фазовых переменных фигурируют электрические напряжения, токи, силы, скорости, температуры, расходы и т. д. Они характеризуют проявления внешних свойств элементов при их взаимодействии между собой и внешней средой в электронных схемах или механических конструкциях. [c.146]

МАРКОВСКАЯ СХЕМАСсложная система)- основная мо-де ь математическая для аналитического исследования сложных систем. Состоит в определении марковского процесса с конечным или счетным множеством состояния, определяющего функциональные системы. Для построения марковской схемы определяют фазовое пространство, т.е. конечное или счетное множество состояний операции, происходящие в каждом состоянии системы интенсивности выполнения различных операций законы перехода из состояния в состояние при окончании той или иной операции. В результате получается марковский процесс с интенсивностями перехода [c.34]

Этот принцип положен в основу отечественного геодезического дальномера КДГ-3. Функциональная схема дальномера приведена на рис. 22. Назначение блоков понятно из рисунка. Источником излучения служит полупроводниковый диод из арсенида галлия. Его излучение модулируется задающим генератором и направляется на зеркальный отражатель, установленный на противопо- ложном конце измеряемой линии. Отраженное излучение принимается приемной системой и фокусируется на фотоэлектронном умножителе. Особенностью дальномера является то, что процессы фазового детектирования и гетеродинирования сигналов происходят непосредственно в околокатодном пространстве ФЭУ. Эти процессы осуществляются таким образом. Часть напряжения от задающего генератора подается на смеситель. Одновременно на него же подается напряжение от стабилизированного кварцами гетеродина. На выходе смесителя образуется промежуточная частота 100 кГц, которая через фазовращатель подается на специальный электрод у фото- [c.57]

Отметим еш е, что понятие статистического оператора возникает в квантовой механике в двух, принципиально различных случаях. Во-первых, предполагают обычно, что состояние системы описывается статистическим оператором, когда произведен немаксимально полный опыт, т. е. когда опыт не дает возможности определить волновую функцию. В этом случае считают, что проведенный неполный опыт выделил в функциональном пространстве некоторое подпространство, и результату опыта сопоставляют статистическую совокупность, определенную в этом подпространстве и характеризуемую статистическим оператором. Очевидна полная аналогия таких представлений и классического описания неполного опыта при помощи ансамбля систем, распределенных в выделенной опытом области АГо фазового пространства (см. гл. I), а также значение этих представлений для задачи обоснования статистики, изучающей связь принципиально неполных (макроскопических) опытов. Во-вторых, понятие статистического оператора возникает тогда, когда рассматривается сложная система, описываемая в целом при помощи Ч -функции (после соответствующего максимально полного опыта), и ставится вопрос об описании какой-либо части системы. В этом случае можно показать, опираясь только на формализм квантовой механики, что части системы, вообще говоря, не имеют определенной Т-функции, а характеризуются статистическим оператором. Разница [c.158]

Замечание 2. Закон сохранения вектора момента относительно пространства можно выразить, сказав, что каждая компонента этого вектора в какой-либо системе координат на пространстве 9 сохраняется. Мы получаем, таким образом, множество первых интегралов уравнений движения твердого тела. В частности, каждому элементу алгебры Ли g соответствует линейная функция на пространстве g и, следовательно, первый интеграл. Скобки Пуассона первых интегралов, заданных функциями на д, как легко сосчитать, сами будут функциями на д. Мы получаем, таким образом, (бесконечномерное) расширение алгебры Ли д, состояп].ее из всевозможных функций на д. Сама алгебра Ли д вложена в это расширение как алгебра Ли линейных функций на д. Конечно, функционально независимы из всех этих первых интегралов фазового потока в 2п-мерном пространстве только п штук. В качестве п независимых интегралов можно взять, например, п линейных функций на д, образующих базис в д. [c.292]

С этой целью рассмотрим квантовую систему, динамические величины которой удов.тетворяют коммутационным соотношениям некой полупростой алгебры Ли а интегралами движения являются инвариантные относительно операторы (Казимира), построенные из ее элементов (см. п. 3, 1.5). Переходу к классической системе отвечает замена коммутаторов [fa, Рь] в на соответствующие скобки Пуассона Fa, Рь , а самой алгебры О — на функциональную группу G , элементами Ра которой являются функции Ра х р), задэнные на фазовом пространстве 2N переменных х и рр, 1 а, N (обобщенные координаты и импульсы Ха, хр = ря, Рэ =0, ра, хр =0а з). При этом скобка Пуассона определяется формулой [c.16]

Отметим, что на языке функциональной группы (см. I. 1, п. 2) предельный переход, в результате которого генераторы сдвигов приобретают максимально удобнрлй для построения неприводимых представлений группы Ли вид, связан с некоторым каноническим преобразованием в фазовом пространстве. В новых переменных неприводимым представлениям сопоставляются движения в фазовом пространстве по специальным поверхностям, фиксированным значениями набора канонических импульсов, сопряженных циклическим переменным (например, для комплексных групп ими являются параметры ф,- и т/, а соответствующими импульсами — операторы г/= р,-= ( /< т/ в (1.28)). [c.82]

Последний случай является довольно специфическим и затрагивается в томе 2. Первый же ближе к КТДУ и теории гладких ДС. Замечу, что обычно для таких ДС (физически — систем с распределенными параметрами) выбор подходящего функционального пространства не самоочевиден, а требование непрерывности g x по ( , х) оказывается слишком ограничительным и обычно заменяется условием сильной непрерывности полугруппы Хотя при этом фазовое пространство неком- [c.167]

Невозмущенное движение. Условия невырожденности. Напомним основные понятия, связанные с интегрируемыми системами. Рассмотрим невозмущенную интегрируемую гамильтонову систему с гамильтонианом Но 1). Ее фазовое пространство расслоено на инвариантные торы / = onst. Движение по тору является условно-периодическим с вектором частот =дНо1д1. Тор, на котором частоты рационально независимы, называется нерезонансным. Траектория заполняет его всюду плотно (как говорят, является обмоткой тора). Остальные торы /= onst называются резонансными. Они расслоены на инвариантные торы меньшей размерности. Невозмущенная система называется невырожденной, если ее частоты функционально независимы [c.197]

Для консервативньк моделей гидродинамики, однако, типична иная ситуация, когда переменные, на фазовом пространстве которых рассматривается динамика, не являются каноническими, а гамильтонова структура уравнений выглядит совсем иначе чем (2.1). В основе одного из способов современного описания таких систем лежит понятие функциональной скобки Пуассона [10, 13, 14, 15], которая представляет собой естественное обобщение обычной (конечномерной) скобки Пуассона на непрерывный случай. Желающим более детально познакомиться с конечномерными скобками Пуассона и их приложением к различным проблемам в небесной механике, динамике твердого тела и динамике точечных вихрей можно рекомендовать книгу [3] (см. также цитируемую там литературу). [c.183]

В связи с этим, чтобы упростить задачу исследования динамики системы и свести ее к изучению точечного преобразования прямой в прямую, нам придется в дальнейшем ограничиться рассмотрением только некоторого частного класса движений системы, которым мы сможем сопоставить траектории на некоторой двулистной поверхности, выделенной из полного (функционального) фазового пространства. Обозначим через множество состояний (в произвольные моменты времени i ), удовлетворяющих условию, чтобы при t — координата электрозолотника I не обращалась в нуль, и будем рассматривать ниже только те движения системы, которые начинаются из этих состояний. Состояния типа Kf, (т. е. принадлежащие к множеству /Со) в любые моменты времени однозначно задаются значениями X ч у в те же моменты времени, и мы будем поэтому отображать их (взаимно однозначно и непрерывно) точками " (лг, у) на плоскости X, у, из которой исключена прямая = х- - у = 0 (на плоскости /ITo) ). [c.592]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...