Действие в фазовом пространстве

Поэтому оператор эволюции во времени U m, действующий в фазовом пространстве, можно интерпретировать как преобразование [c.541]

В. Принцип наименьшего действия в фазовом пространстве. Рассмотрим в расширенном фазовом пространстве р, q, t) интегральную кривую V канонических уравнений (1), соединяющую точки (ро, qo, to) и (р , gi, t y. [c.213]

Принцип стационарности действия в фазовом пространстве принадлежит Пуанкаре ([34], см, также [10]). [c.38]

Действие в фазовом пространстве и инвариант Пуанкаре—Картана [c.63]

В качестве простого следствия принципа стационарности действия в фазовом пространстве укажем метод Уиттекера понижения порядка автономных гамильтоновых систем. [c.67]

Начиная с 1957 г., предметом исследования стали также системы с переменной структурой, которые описываются уравнениями с коэффициентами, изменяющимися скачками, и позволяют улучшить качество процесса регулирования. Примером может служить задача о синтезе систем, у которых после любого начального отклонения за один размах достигается поверхность скольжения в фазовом пространстве системы и далее равновесие восстанавливается при помощи скользящего движения. Интерес к изучению такого рода систем возник еще в 1950 г., когда на примере классического регулятора непрямого действия был показан естественный способ доопределения уравнений с целью описать скользящие движения. В следующей работе были установлены общие условия возникновения скользящих движений и был обнаружен новый тип скольжений, возникающих в том случае, когда в передаточной функции системы степени числителя и знаменателя равны. [c.269]

С комплексным собств. значением а Аф,, = аг[) . В когерентном состоянии ср. значения координаты (ж) и импульса (р), как и в классик, механике, описывают в фазовом пространстве эллипс. Оператор уничтожения А и оператор рождения А действуют на п-е состояние след, образом [c.482]

Теперь мы уже подготовлены для глобального изучения эволюции в фазовом пространстве. Проблему можно сформулировать следующим образом. Определим поток в фазовом пространстве как преобразование или отображение фазового пространства самого на себя, при котором каждая точка х преобразуется в какую-то другую точку Xj посредством действия оператора Т (t) [c.376]

Рассмотрим произвольный малый объем в фазовом пространстве. Число фазовых точек в нем со временем будет изменяться вследствие движения молекул, их столкновений и действия внешних сил на газ. Все эти процессы изменяют положения и скорости частиц, а следовательно, и фазовые координаты изображающих точек. Фазовая точка, соответствующая данной молекуле, будет перемещаться в фазовом пространстве.Изображающие точки будут входить в пределы выделенного объема и выходить из него, возникать в нем и исчезать. [c.218]

Пуанкаре подчеркивал, что для применения понятия вероятности к опыту всегда необходимо делать предположение, аналогичное допущению, делаемому, например, при изучении малых планет. Это предположение состоит в следующем дискретные, констатируемые на опыте положения малых планет будут при неограниченном возрастании времени изменять свое распределение так, как будто они были распределены в начальный момент в фазовом пространстве (и, в частности, в импульсном пространстве) по любому, но непрерывному закону. Данное предположение, никак не доказываемое, является, по Пуанкаре, просто выражением принципа достаточного основания было бы невероятно предположение, что действующие на них причины распределили планеты в начальный момент так, что следствия, извлекаемые из столь общего принципа как принцип непрерывности, не оправдались бы. Из этого предположения вытекает, в частности, что характеризующие неоднородность распределения малых планет величины будут при неограниченном возрастании времени стремиться к нулю так же, как для непрерывного распределения стремились к нулю коэффициенты Фурье os А / dl dw. Такими величинами будут, [c.106]

Тем не менее, для занимающей нас главной задачи обоснования статистики мы вынуждены отвергнуть рассматриваемую точку зрения, связанную с представлением о возмущающем действии внешней среды. Дело в том, что при заданном состоянии среды, точнее говоря, при заданном законе изменения внешних сил со временем и при данном начальном микроскопическом состоянии системы мы получим траекторию, которая будет полностью определена. Следовательно, для того чтобы получить согласный с законами статистической механики вероятностный закон распределения конечных состояний (например, закон, описывающий состояние релаксации системы), необходимо предположить наличие соответствующего вероятностного закона распределения для состояний, или, говоря иначе, для действий внешней среды (в классической теории действие однозначно определяется начальным состоянием среды). В частности, только при этом условии будет происходить упомянутое размазывание паутинообразной области (ДГо) по всей покрываемой ею части поверхности заданной энергии при заданном законе изменения внешних сил со временем потоки в фазовом пространстве подчиняются теореме Лиувилля. С точки зрения теории влияния внешней среды , можно было бы даже предположить, что начальные микросостояния рассматриваемой системы вообще не подчиняются определенным вероятностным законам распределения в заданной области ДГ , а могут быть любыми. Тогда понятие вероятности для распределения начальных микросостояний вообще может быть не определено. Например, начальные микросостояния могут всегда совпадать с одной и той же точкой фазового пространства. Но зато необходимо предположить, что существует соответствующий (может быть, зависящий от этой точки фазового пространства), гарантирующий выполнение законов статистики закон распределения состояний (иначе говоря, действий) внешней среды. Лишь ценой этого нового, также нуждающегося в обосновании, предположения возможно удастся объяснить наличие законов статистической механики при многократном повторении опытов над данной системой. [c.127]

A. Приведенное выше доказательство установления равномерного распределения вероятностей, т. е. доказательство размешивания, опиралось существенным образом на возможность сведения задачи решения уравнений движения чистой механики к задаче нахождения геодезических линий соответствующего риманова пространства. Иначе говоря, это доказательство опиралось на потенциальный характер полей — на независимость действующих между частями системы сил от скоростей. С этим связано то обстоятельство, что в случаях, когда силы уже не могут рассматриваться как чисто потенциальные, например, при вращении системы или при наличии магнитного поля, будут существовать отклонения от общих утверждений статистики, относящихся к стационарности и независимости от начального состояния функций распределения в фазовом пространстве. Такие отклонения будут существовать и при наличии полупроницаемых перегородок пользуясь представлениями, подобными тем, которые развивал Орнштейн [1] при рассмотрении реальных газов, можно наличие осмотического давления рассматривать как проявление непотенциального характера сил. Эти трудности отмечались в другом месте работы и связаны, в частности, с парадоксальным результатом классической статистической механики — нулевой диамагнитной восприимчивостью. [c.200]

Геометризация аналитической динамики. Тенденция эта вызвана возможностью изучения движения механических систем как движения изображающей точки в пространстве обобщенных координат, в фазовом пространстве и в расширенном фазовом пространстве с привлечением принципа прямейшего пути Герца и стационарного действия в форме Якоби, а также понятия интегральных инвариантов. [c.43]

Под вековым множеством мы будем понимать также множество всех резонансных торов в фазовом пространстве невозмущенной задачи, отвечающих переменным действие / [c.15]

Изучая движение материальных тел под действием сил, можно выделить интересный класс задач динамики, характерных тем, что некоторые из действующих сил могут быть запрограммированы и реализованы на движущихся объектах человеком-пилотом (или автопилотом). Часть сил, приложенных к движущемуся объекту, конечно, определена (детерминирована) природой, а часть может изменяться в широких пределах по некоторым законам, заложенным в конструкцию летательного аппарата. Так, при изучении движения ракеты в поле тяготения Земли гравитационная сила вполне детерминирована (она подчиняется закону тяготения Ньютона), а реактивная сила может изменяться и регулироваться как по величине, так и по направлению. Каждому закону регулирования реактивной силы будет соответствовать некоторый закон движения ракеты. В современной ракетодинамике и динамике самолета такие задачи часто называют задачами с управляющими (или свободными) функциями. Если управляющие функции все заданы и, следовательно, сделаны определенными все действующие силы, тогда мы будем иметь дело с обычной задачей теоретической механики найти закон движения объекта, если действующие на него силы известны. Но выбор (задание) свободных функций можно подчинить некоторым, достаточно общим и широким, условиям оптимальности (экстремальности) и производить определение динамических характеристик для этих классов оптимальных движений. Метод проб или сравнений, лежащий в основе классических вариационных принципов, применим и здесь, но варьируется выбор управляющих функций, а не траекторий в пространстве конфигураций. (Каждому выбору свободных функций можно привести в соответствие траекторию системы в фазовом пространстве.) Задачи такого рода имеют большой практический интерес в динамике полета ракет и самолетов, а также в теории автоматического регулирования. [c.141]

Как меняется во времени величина некоторого объема Со в фазовом пространстве д, р) механической системы с лагранжианом L(q, 1), на которую действуют дополнительно обобщенные силы Qi t) (г = 1, п) [c.229]

Такое представление позволяет также иначе параметризовать траекторию в форме окружности в фазовом пространстве. Вместо того, чтобы использовать декартовы координаты, можно с тем же успехом описать такое движение в полярных координатах. Напомним, что в используемых нами безразмерных единицах действие J равно ограниченной окружностью плош,ади тг х1 +Ро) У ол (p t) = сро — t отсчитывается от начальной фазы (pQ. Заметим, что (p t) линейно уменьшается со временем, начиная со значения сро. Это указывает на то, что движение в фазовом пространстве происходит по часовой стрелке. Таким образом, находим [c.255]

Гамильтонова механика — это геометрия в фазовом пространстве. Фазовое пространство имеет структуру симплектического многообразия. На симплектическом многообразии действует группа симплектических диффеоморфизмов. Основные понятия и теоремы гамильтоновой механики (даже если они и формулируются в терминах локальных симплектических координат) инвариантны относительно этой группы (и относительно более широкой группы преобразований, затрагивающих также и время). [c.142]

Совместные многообразия уровня этих первых интегралов в фазовом пространстве являются инвариантными многообразиями фазового потока. Подгруппа группы симметрий, оставляющая такое инвариантное многообразие на месте, действует на нем. Во многих случаях можно рассматривать фактор-многообразие инвариантного многообразия по зтой подгруппе. Это фактор-многообразие называется приведенным фазовым пространством. Приведенное фазовое пространство имеет естественную симплектическую структуру. Исходная гамильтонова динамическая система задает на нем снова гамильтонову систему. [c.337]

Очевидно, что далее проблема сводится к нахождению функции распределения / . Функция распределения определяется из уравнения Больцмана, которое описывает изменение 1 в фазовом пространстве. Это уравнение в предположении, что на частицы не действуют никакие внешние силы, имеет вид ) [c.28]

В гл. 5 мы рассмотрели два способа описания динамических систем, возникающих в классической механике. Гамильтонов формализм приводит к рассмотрению динамических систем в пространстве четной размерности, задаваемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. При таком подходе координаты и скорости рассматриваются как равноправные координаты в фазовом пространстве. С другой стороны, лагранжев формализм работает исключительно с координатами в конфигурационном пространстве и описывает динамику с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Оказывается, что лагранжев формализм может быть введен посредством рассмотрения всех потенциально возможных траекторий системы, среди которых настоящие траектории выделяются как критические точки некоторого функционала, заданного на множестве всех кривых в конфигурационном пространстве. Описания такого рода обычно называются вариационными, поскольку необходимо варьировать потенциально возможные траектории, чтобы найти настоящие. Уравнения Эйлера — Лагранжа (5.3.2) представляют собой не что иное, как уравнения, описывающие критические в вышеописанном смысле кривые функционала действия, рассматриваемого в 4. [c.342]

Рис. 60. Группа электронов при действии внешних полей движется в фазовом пространстве как целое. В результате поглощения или испускания фононов отдельные электроны покидают группу или вступают в нее.

Чтобы привести (1.3.10) к виду, подходящему для исследования в фазовом пространстве, положим у = х. Далее, если на массу действует периодическая вынуждающая сила, то неавтономную систему второго порядка (1.3.10) можно свести к автономной системе уравнений третьего порядка. Итак, предположим, что [c.43]

Как мы убедились в гл. 1 на примере отображения подкова (см. рис. 1.21) или логистического уравнения О-З.б), хаотическая природа динамических процессов лучше всего выявляется с помощью сечения Пуанкаре непрерывного временного потока в фазовом пространстве. Однако большинство дифференциальных уравнений, моделирующих физические системы, нельзя решить аналитически. Исключением из этого правила является класс задач с импульсными силами, крутящими моментами или напряжениями. В обсуждаемом здесь примере рассматривается ротатор с моментом инерции J и затуханием с, на который действует как постоянный крутящий момент ug, так и периодическая серия импульсных толчков (см. также [169]). Уравнение движения, описывающее изменение [c.88]

Так как в действительности мы имеем дело с осциллятором, на который действует периодическая вынуждающая сила, изменения расстояний между траекториями в фазовом пространстве вдоль оси г = I равны нулю, что находит свое выражение в строке нулей матрицы А. Следовательно, для того чтобы найти в этой задаче наибольший показатель Ляпунова, можно работать в проекции фазового пространства (х, у, г) на фазовую плоскость (х, у), исполь-зуя матрицу, стоящую в прямых скобках в левом верхнем углу мат рицы А в (5.4.15). [c.204]

Еще одно соотношение между фрактальной размерностью, информационной энтропией и показателями Ляпунова была установлена Капланом и Йорке [90]. Напомним (см. гл. 5), что показатели Ляпунова характеризуют для траекторий на аттракторе скорость их разбегания друг от друга, а для траекторий вне аттрактора — скорость их приближения к аттрактору (см., например, рис. 5.30). Сказанному можно придать наглядный смысл. Малая сфера начальных условий, описанная вокруг некоторой точки на аттракторе в фазовом пространстве со временем под действием динамического [c.226]

Это утверждение составляет принцип стационарности действия в фазовом пространстве, предложенный Гельмгольцем и Пуанкаре. Укажем любопь1тную связь этого принципа с принципом Гамильтона. На кривых в Р, параметризованных временем 1 е [ 1, 2], действие I представляется интегралом [c.66]

Таким образом, доказана справедливость принципа наименьшего действия в фазовом пространстве системы функционал действие "[Г], заданный на пространстве окольных траекторий Г , принимает стационарное значение на действительной траектории, т.е. б51Го1 = 0. [c.149]

Рис. 76. Расслоение на фазовые торы, переменные действие—угол (на уровне Р2 = onst) и фазовые траектории (обмотки тора) интегрируемых систем. Если в фазовом пространстве поведение их однообразно, то на многообразии положений — весьма разнообразно ввиду того, что фазовые торы и их обмотки могут по-разному проектироваться на это многообразие (ср. с рис. 52, 47, 62, 63, 49)

Оператор Т удовлетворяет групповому свойству Т Т =Т , Г (,=о = 1 и задаёт однопараметрич. группу преобразований фазового пространства на себя (параметром группы является вр мя t). Ipynna преобразований фазового пространства, задаваемая оператором Т , наз. фазовым потоком. Ф. т. являются орбитами этой группы. Фактически Ф.т. образуется в результате движения фазовой точки. v(/) в фазовом пространстве под действием фазового потока. Кривая, начинающаяся в нек-рой нач. точке. ч и образованная по закону (1), является, вообще говоря, лишь частью Ф. т. Для получения полной Ф.т. необходимо максимально продолжить кривую (1) не только в область t>0. но и в область (<0. [c.266]

Построим реализацию квантовой гамильтоновой динамики, используя такой же ход рассуждений, как и в разд., 1.2. Вместо точки в фазовом пространстве состояние системы будет характеризоваться элементом гильбeipтoвa пространства (т. е. волновой функцией). Вместо функций в фазовом пространстве роль динамических функций теперь играют операторы, действующие в гильбертовом пространстве. Мы отложим более детальное рассмотрение состояний до следующих двух разделов и перейдем к построению алгебры динамических операторов 3q. [c.26]

Обсуждение почти тривиального примера в разд. П.2 весьма поучительно, поскольку оно иллюстрирует фантастическую сложность траекторий даже для простейших динамических систем. Теперь видно, что простая программа, сформулированная в разд. П.1, нереальна. В общем случае, отыскав 2N — 1 интегралов движения, мы обнаружим, что движение системы не удается изобразить хорошей регулярной кривой в фазовом пространстве. Для системы N несвязанных осцилляторов лишь интегралов являются изолируюш,ими остальные N — 1 интегралов являются, вообще говоря, неизолирующими ). Отсюда следует, что траектория системы плотно заполняет iV-мерную область фазового пространства. В переменных действие — угол эта область имеет форму iV-мерного тора. [c.361]

Указанное свойство статистических систем, тесно связанное с их принадлежностью к системам размешивающегося типа, определяется тем, что их механические траектории в фазовом пространстве обладают сильной неустойчивостью поэтому отклонение двух траекторий, как можно показать для примера идеального газа, возрастает со временем по экспоненциальному закину (см. диссертацию). Это свойство фазовых траекторий отмечалось Борелем. Например, как показывает простой расчет, аналогичный расчету, приведенному в диссертации, присутствие в системе, образованной атомами граммолекулы идеального газа (находящегося, допустим, в нормальных условиях), одного лишнего атома, или наличие внешнего (хотя бы только гравитационного) поля, происходящего от одного находящегося рядсм с рассматриваемой системой атома, совершенно изменяет траекторию системы. Уже через время порядка десяти времен свободного пробега распределение скоростей молекул будет независимым от того, которое было бы без возмущения. Распределение будет независимым в том смысле, что при определенном, получающемся без возмущениЯ векторе полной скорости системы в 3 -мерном импульсном пространстве, этот вектор при наличии возмущения может быть направлен в импульсном пространстве под любым углом к невозмущенному вектору в зависимости от того или иного действия возмущения (действие возмущения определяется тем или иным сочетанием микросостояния системы и параметров, задающих возмущение, в данном случае — положение возмущающего атома). [c.88]

Напомним ( 1, гл. I), что вековым множеством мы называем также множество резонансных торов в фазовом пространстве невозмущенной задачи, отвечающих значениям переменных действие / SS. Опишем это множество, используя специальные канонические переменные L, G, I, g (значение интеграла площадей Н = onst зафиксировано). [c.59]

Отметим, что если мы допускаем произвольные канонические замены переменных в фазовом пространстве, то тогда любая- вполне интегрируемая гамильтонова система решается разделением переменных для этого достаточно перейти к переменным действие— угол. В такой общей постановке задача о существовании разделенных канонических координат по существу эквивалентна задаче о наличии полного набора инволютивных интегралов. [c.100]

Оба метода суш,ественно используют один или несколько светоделителей. Для того, чтобы разобраться в вопросе, почему простое гомодинирование или восьмиканальный гомодинный детектор позволяют нам восстанавливать распределения в фазовом пространстве, надо рассмотреть действие светоделителя на квантовые состояния поля излучения. В частности, мы должны понять, как светоделитель меняет квантовое состояние, то есть, как состояния падаюш,их полей преобразуются в состояния уходяш,их полей. [c.393]

Pioe-что из приведенного рассуждения можно перенести на многомерный случай, и это дает полезные результаты о периодических решениях задач динамики. Роль кольца в многомерном случае играет фазовое пространство прямое произведение области в евклидовом пространстве на тор того же числа измерений (кольцо — это произведение интервала на окружность). Симплектическая структура в фазовом пространстве задается обычным образом, т. е. имеет вид 2 = 2 dxj Д dy , где X] — переменные действия, а ук — угловые переменные. [c.388]

Конструкция пуассоновой структуры на пространстве, дуальном алгебре Ли, приводит опять к алгебре Ли. Поэтому эту конструкцию можно повторять, получая все новые (бесконечномерные) пуассоновы структуры. Более общим образом, пусть дана какая-нибудь пуассонова структура на многообразии. Тогда пространство функций на этом многообразии получает структуру алгебры Ли. Значит, пространство, дуальное к пространству функций, наделяется пуассоновой структурой (как дуальное пространство этой алгебры Ли функций). Элементы пространства, дуального к пространству функций, интерпретируются как распределения на исходном многообразии. Таким образом, пространство распределений на пуассоновом многообразии (например, на сиьшлекти-ческом фазовом пространстве) имеет естественную пуассонову структуру. Эта структура позволяет применять гамильтонов формализм к уравнениям типа Власова, описывающим эволюцию распределения частиц в фазовом пространстве под действием поля, созданного самими частицами. [c.424]

Несколько сложнее обстоит дело в реальных гамильтоновых системах, где существуют два масштаба универсальностп. Пусть точке А в фазовом пространстве соответствуют некоторые значения действия /о и фазы 4о. По фазе происходит быстрое перемешивание. Поэтому через некоторое, не слишком большое время точка на траектории, выходящей из (/с, о), будет иметь [c.222]

Кажущаяся стохастичность движения в подобных сложных системах дает основание говорить о принципиально новом подходе к статистической. механике и поэтому привлекает, к себе все более широкий круг исследователей в этой области. Сложность движения вблизи неустойчивых периодических решений и тот факт, что эти неустойчивые траектории образуют в фазовом пространстве всюду плотное множество, служат серьезным доводом в пользу такой точки зрения. В последнее время значительные усилия были направлены на выяснение связи стохастического движения с по-казателялш Ляпунова, которые определяют скорость экспоненциальной расходимости близких траекторий. Это важно также и с практической точки зрения для вычисления усредненной по фазам скорости диффузии по переменным действия. В прошлом такие вычисления проводились в предположении о случайности фаз. Ясно, что это предположение несправедливо при наличии инвариантных кривых, ограничивающих область изменения фаз. Даже в случае полной эргодичности, когда движение охватывает всю энергетическую поверхность, необходимо еще определить масштаб времени, на котором фазы становятся случайными. Проведенные численные и аналитические исследования позволили глубже понять проблему убывания фазовых корреляций вблизи инвариантных поверхностей. Эти вопросы будут рассмотрены в гл. 5. [c.18]

Примером хаоса в автономной механической системе являются колебания (флаттер), вызванные течением жидкости иад упругой пластиной. Это явление известно как флаттер пластины более подробное обсуждение механики этой системы можно найти в книге [28]. Такие колебания наблюдались во время первых полетов во внешних оболочках ракетоносителей Сатурн , которые доставили человека на Луну в начале семидесятых годов. В работах Кобаяши [93] и Фунга [39], опубликованных до этих полетов, были обнаружены непериодические движения. В одной серии задач, рассмотренных ими, анализировалось совместное действие сжатия в плоскости пластины и течения жидкости. Более поздние численные результаты показаны на рис. 3.12, где видны устойчивые траектории в фазовом пространстве при одних параметрах потока жидкости и сжимающей нагрузки и хаотические колебания при других условиях [c.91]

В случае отображения типа подковы (см. также гл. 1) основное внимание сосредоточивается на множестве начальных условий для траекторий, заполняющем некоторый щар в фазовом пространстве. Если система ведет себя как отображение типа подковы, то этот начальный объем в фазовом пространстве под действием динамики системы принимает новую форму первоначальный шар вытягивается и складывается (рис. 3.13). После многих итераций эти складывания и растяжения порождают фракталоподобную структуру, и точная информация о начальных условиях траектории утрачивается. Для установления соответствия между начальным и последующим состояниями системы требуется все большая точность. При конечной точности постановки задачи (в большинстве случаев речь идет о численных или лабораторных экспериментах) предсказание становится невозможным. [c.178]

Что такое периодические автоколебания, мы хорошо знаем (см. гл. 14,16). Стохастические автоколебания — это неупорядоченные, случайные движения (неконсервативных динамических систем, совершающиеся под действием неслучайных источников энергии. Математическим образом стохастических автоколебаний в фазовом пространстве является странный аттрактор, о котором мы говорили в начале главы. Добавим здесь, что термин странный , придуманный математиками Рюэлем и Такенсом в связи с очень сложной, канторовской [11], структурой аттрактора, сейчас ассоциируется просто со сложным неупорядоченным поведением траекторий на аттракторе. [c.470]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...