Пространство состояний, фазовое

Если рассматривать время I в качестве дополнительной 2п+1 координаты, то получим расширенное обобщенное фазовое пространство Г , или обобщенное пространство состояний. Фазовое пространство и пространство состояний соответствующей потенциальной системы обозначим Г и Г. Пространства Г и Г связаны формулами преобразования [c.170]

Поскольку значения (в, /) и (0 + 2л, г/) соответствуют одному и тому же состоянию, фазовым пространством рассматриваемой динамической системы является поверхность цилиндра, на котором вдоль образующей отложена величина //, а вдоль направляющей — угол 0. Будем рассматривать лишь область у > О (тем самым исключается случай полета хвостом вперед), в которой интегральные кривые, согласно (3.17), удовлетворяют уравнению dij у sin в+ ау ) [c.62]

ЭВОЛЮЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС математически описывается векторным полем в фазовом пространстве. Точка фазового пространства задает состояние системы. Приложенный в этой точке вектор указывает скорость изменения состояния. [c.88]

Фазовое пространство и его квантование. В классической механике состояние частицы определяется заданием трех ее координат (х, у, z) и трех составляющих импульса (р. Ру. Рг)- Представим себе шестимерное пространство с осями координат х, у, г, р , ру, р -Состояние частицы в этом пространстве в каждый момент времени определяется точкой с координатами х, у, г, Рх, Ру, Рг- Такое пространство называют фазовым, а точки х, у, г, рх, Ру, pz, определяющие состояние частицы, называют фазовыми точками, [c.116]

Резюме. Пространство конфигураций канонических уравнений имеет 2п измерений, а именно п позиционных координат qiU п импульсов pt, и все они являются независимыми переменными вариационной задачи. Это 2п-мерное пространство называется фазовым пространством . Вводя время в качестве дополнительной переменной, получим (2п + 1)-мерное пространство, которое называется пространством состояний . Геометрически движение можно представить в виде движения 2/г-мерной жидкости, называемой фазовой жидкостью . Каждая отдельная линия тока движущейся жидкости определяет собой движение механической системы при соответствующих начальных условиях движение жидкости в целом определяет общее решение при произвольных начальных условиях. [c.205]

Пример. Для механической системы лишь с одной степенью свободы фазовое пространство становится двумерным, а пространство состояний —трехмерным. Поэтому в этом простом случае поведение фазовой жидкости можно изобразить особенно наглядно при помощи нашего обычного пространства. Энергетические поверхности в этом случае сводятся к кривым, причем эти кривые определяют непосредственно линии тока двумерной фазовой жидкости. Более того, хотя картина линий тока является статической и не содержит скоростей, с которыми частицы жидкости движутся вдоль линий тока, эти скорости можно получить из расстояний между со- [c.208]

Резюме. В то время как производящая функция канонического преобразования является чисто математическим понятием, Гамильтон ввел главную функцию , тесно связанную с интегралом действия. В его геометрической интерпретации эта функция имеет ясный смысл. Она задает расстояние между двумя точками в соответствующим образом определенном метрическом пространстве, являясь при этом функцией координат этих двух точек. Главная функция Гамильтона является производящей функцией того частного канонического преобразования, которое связывает два состояния фазовой жидкости, принадлежащие двум различным моментам времени, причем связывает их непосредственно, без помощи какой-либо промежуточной внешней точки. [c.263]

Состояние системы в любой момент времени определяется состоянием отдельных ее элементов в этот момент. Если состояние i-ro элемента в момент времени t обозначить через x (t), то состояние системы можно записать в виде X(t) = [ xjt), xjt) ]. Понятно, что для системы, состоящей из п элементов, возможно 2" различных состояний. Все множество состояний системы принято называть фазовым пространством состояний. В общем случае фазовое пространство состояний, конечно, не обязательно является дискретным. [c.80]

Фазовое пространство. Пространство состояний. Пространство 2к измерений, в котором состояние системы с к степенями свободы описывается к обобщенными [c.43]

Пространство состояний (название предложено Э. Ж. Карта-ном) по отношению к фазовому пространству занимает положение, аналогичное тому, которое имеет расширенное пространство конфигураций по отношению к пространству конфигураций. К к измерениям фазового пространства, в котором в качестве базиса приняты и p i = , 2,. .., к), присоединяется [c.46]

Такая геометрическая интерпретация позволяет ввести аналогию с движением 2й-мерной так называемой фазовой жидкости, подобной по поведению обычной жидкости. Каждая линия тока фазовой жидкости— это кривая в пространстве состояний, определяющая движение системы при конкретных заданных начальных условиях. В случае консервативной системы фазовая жидкость движется как несжимаемая, вследствие чего в процессе движения форма области может изменяться, но объем ее сохраняется. Наряду с этим инвариантом имеются и другие. Характер движения фазовой жидкости в пространстве состояний всегда установившийся. [c.46]

Пример 17.17. Описать в фазовом пространстве и в пространстве состояний малые свободные незатухающие колебания груза на пружине. [c.46]

В фазовом пространстве р, р уравнения (17.52), (17.53) суть уравнения эллипса в параметрической форме, а в пространстве состояний р, I эти уравнения определяют винтовую линию, проекция которой на фазовую плоскость р, д (рис. 17.18) представляет собой эллипс. [c.47]

Если при описании линейного осциллятора учитываются непотенциальные силы — силы сопротивления, то и в этом случае фазовое пространство и пространство состояний можно ввести, если по прежнему определять импульс как р — тд. При этом траектория движения линейного осциллятора в пространстве состояний представляет собой спираль, на этот раз приближающуюся к оси Л [c.47]

В качестве еще одного примера автоколебательной системы приведем тормозное устройство, изображенное на рис. 17.101. Вращающийся с угловой скоростью Q вал силой трения захватывает тормозную колодку, но при этом возрастает усилие в пружине, создающее момент, имеющий направление, противоположное моменту трения. Когда момент, создаваемый усилием пружины, достигает величины момента сил трения, происходит преодоление сцепления вала с колодкой и колодка возвращается в направлении, противоположном вращению вала на угол (Л1о — М )1с. После этого вновь происходит захватывание колодки валом и все повторяется. Торможение происходит за счет наличия момента, создаваемого усилием в пружине, действующего в направлении, противоположном вращению вала. Величина этого момента переменная. Наибольшее его значение равно Mq и наименьшее М . На рис. 17.102 изображены пространство состояний (ф, <р, i) и линия тока фазовой жидкости, характеризующая движение системы. [c.229]

Плоскость (ф, ф) представляет собой фазовую плоскость. Приведем пояснения к рис. 17,1021) а) пространство состояний I (линия 1—2 — 3 —. . [c.229]

Рис. 18.3. Интерпретация по Ляпунову устойчивости положения равновесия системы на примере системы с одной степенью свободы при использовании пространства состояний и фазового пространства а) проверяемое положение равновесия устойчиво б) проверяемое положение равновесия неустойчиво а) проверяемое положение равновесия асимптотически

Рассмотрим поведение объекта в условиях его функционирования и взаимодействия с окружаюш,ей средой. Состояние объекта в каждый момент t описываем с помош,ью вектора и — элемента пространства состояний и. Под t подразумеваем не только физическое время, но и любой монотонно возрастаюш,ий параметр, который является независимой переменной при описании функционирования объекта (например, это может быть наработка). В дальнейшем называем t временем, считая, что оно принимает непрерывные значения на отрезке °о). Часто полагаем = 0. Каждой реализации процесса U t) соответствует некоторая траектория в пространстве состояний U. Таким образом, U — фазовое пространство. Понятие состояния здесь имеет более широкий и в общем случае иной смысл, чем понятие технического состояния. Размерность и свойства пространства U — зависят от выбранной расчетной схемы. [c.36]

Эволюцию динамической системы можно наблюдать в пространстве состояний системы. Множество начальных условий - состояний дина мической системы, - на котором определено расстояние между каждой парой точек, образует фазовое пространство динамической системы. Это абстрактное пространство, в котором координатами служат величины, описывающие состояние системы. Фазовое пространство систем классической механики, например, характеризующее состояние процесса движения ТУ материальных точек, есть множество, элементом которого является набор положений и скоростей всех точек данной системы. Подумайте сами, какова размерность такого фазового пространства. В случае экологической модели в качестве координат фазового пространства выбирают, например, численности популяций различных биологических видов. [c.81]

Теперь рассмотрим преимущества и недостатки использования описания, основанного на одной функции С (х , 1 , ) от + 1 переменных вместо функций х ( ), t) одной переменной. Как мы видели, оба описания системы эквивалентны. Далее, использование одной независимой переменной и зависимых переменных в принципе не связано с большими или меньшими "трудностями по сравнению с рассмотрением одной зависимой переменной и + 1 независимых переменных. С интуитивной точки зрения ясно, что можно легко вообразить облако частиц с заданными положениями в любой момент согласно основанному на (4.1) описанию вместе с тем несомненно, что не так-то просто представить себе в любой заданный момент времени точку в 67 -мерном пространстве с координатами Х/ , (А = 1,. . ., М). Тем не менее введение этого бТУ -мерного пространства, называемого фазовым пространством системы, обладает тем преимуществом, что данное состояние системы (определяемое положениями и скоростями всех частиц) изображается одной точкой фазового пространства поэтому если забыть о трудности визуализации пространства с таким большим числом измерений, состояние системы во втором представлении является гораздо более простым понятием, чем в первом. [c.23]

В этом пространстве состояние системы в заданный момент времени I (если оно точно известно) изображается точкой, имеющей бУУ координат—компонент радиусов-векторов и скоростей N частиц. (Часто вместо скоростей рассматривают импульсы, но для наших целей это различие несущественно.) Введем бЛ -мерный вектор 2, который задает положение этой изображающей точки фазового пространства. Ясно, что компоненты 2 задаются соответственно ЗЫ компонентами N трехмерных векторов Хг и >N компонентами N трехмерных векторов i. Из уравнений (1.1а) следует, что эволюционное уравнение для 2 имеет вид [c.18]

Состояние системы, имеющей п степеней свободы, т. е. описываемой дифференциальным уравнением (или системой дифференциальных уравнений) порядка 2я, задается 2п числами. Эти 2п чисел можно рассматривать как задание некоторой точки в 2я-мерном пространстве, причем каждой точке пространства будет соответствовать одно определенное состояние (определенная фаза) системы. Поэтому такое пространство называется фазовым пространством. Для систем, описываемых дифференциальным уравнением 2-го порядка, фазовое пространство является двумерным и в частном случае превращается в фазовую плоскость [3, 19]. [c.216]

Пример. В качестве примера системы с разрывами фазовых координат рассмотрим момент перехода натуральной системы из одной области пространства состояний в другую с различными обобщёнными потенциалами. Обобщённый потенциал описывается выражением вида [c.137]

В теории автоматического управления пространство состояний объекта управления называется фазовым, а само состояние объекта называется фазовым изображением объекта или, для краткости, фазовой точкой. Арифметический вектор х из пространства К , соответствующий фазовой точке х, называется фазовым вектором объекта. [c.33]

Это эллипс. Меняя параметр А, получим не пересекающиеся эллипсы (Рис. 9.5). Такая система называется одномерным гармоническим осциллятором, пространство состояний или фазовый портрет движения системы изображен на Рис. 9.5. [c.170]

Многообразие М называется пространством состояний или фазовым пространством гамильтоновой системы (1.1), а величина <ИтМ)/2 — числом ее степеней свободы. Часто приходится рассматривать неавтономные гамильтоновы системы, в которых гамильтониан Я зависит явно от времени. [c.20]

Вообще, в случае, когда связи системы зависят от времени и поэтому в выражения (4.1) обязательно явно входит время, о фазовом пространстве как о пространстве состояний системы имеет смысл говорить лишь применительно к тому или иному моменту времени. В связи с этим в общем случае, когда желательна геометризация процесса изменения состояния системы во времени, вводится пространство состояний и времени, так называемое фазовое пространство и время. Приведем несколько простых примеров фазовых пространств. [c.21]

Эта связь неголономна и зависит от времени. Положение и скорость движущейся точки, т. е. ее состояние в данный момент времени ty можно задать двумя обобщенными координатами х я у и одной обобщенной скоростью х (вторая обобщенная скорость у, поскольку t известно, найдется из уравнения неголономной связи). Поэтому фазовое пространство рассматриваемой системы, о котором в этом случае имеет смысл говорить лишь применительно к тому или иному определенному моменту времени, будет трехмерным евклидовым пространством точек (х, у, х). Фазовое пространство и время этой системы, т. е. ее пространство состояний и времени — четырехмерное и тоже евклидово пространство точек (л , у, х, t). [c.22]

Это полное решение канонических уравнений можно изобразить в упорядоченном виде, без каких бы то ни было пересечений, если 2п координат qi, pi рассматривать как различные измерения фазового пространства. Геометрическая картина получается еще более полной, если добавить ещ,е одно измерение, вводя время t в качестве (2п + 1)-й координаты. Картан назвал это (2п + 1)-мерное пространство пространством состояний (espa e des etats). В пространстве состояний задача о движении системы полностью геометризуется и полное решение канонических уравнений изображается в виде бесконечного множества кривых, заполняющих (2п + 1)-мерное пространство. Эти кривые нигде не пересекаются. Действительно, пересечение двух кривых означало бы, что в одной и той же точке пространства состояний возмол ны две касательные, что исключается, [c.203]

Сказанное иллюстрируется рис. 8. Фазовое пространство в моменты времени и 4 изображено в виде двух сечений (2/г + 1)-мерного пространства состояний. Точка переносится движущейся жидкостью в точку М , а соседняя точка jVi — в точку jVo- Линин М1М2 и являются [c.211]

Так как Ф принадлежит к первому классу, то [Ф, Ф ] равна нулю слабо и, следовательно, сильно равняется линейной форме от Ф. Отсюда С. П. для Ф первого класса слабо равна нулю. Аналогично второй член правой частя равенства (43) слабо равен нулю, что и требовалось доказать. Пусть имеется А независимых Ф первого класса и М независимых Ф любого класса. В фазовом пространстве (2М-мерное пространство переменных и р ) имеется (2N — М)-мерное подпространство, в котором удовлетворяются все Ф-урав-нения. Назовем его (2N — М)-пространством. Состояние динамической системы для некоторого т задается точкой р в (2N — 7И)-пространстве, в. которой удовлетворяются все Ф-уравнения. Движение системы задается кривой в (2N — М)-пространстве, выходящей из точки р. Так как А и Ра произвольны, то кривая может принимать любое направление в малом Л-мер-ном объеме, окружающем точку р. Такие малые окрестности измерений окружают каждую точку в (2N — М)-л1ерном пространстве. Покажем, что эти малые окрестности интегрируемы. Предположим, что для интервала т, дг = все V, кроме равного единице, равны нулю. То же самое предполагается относительно интервала 6г = в котором от нуля отлично только также равное единице. Тогда любая функция от р и д примет при замене т на т + е вид [c.716]

Поверхность энергии и функция энергии. Некоторые важные аспекты динамической теории лучше всего иллюстрировать, рассматривая изображающие точки в пространствах более высоких измерений, чем N + 1-мерное пространство событий QT. Эти пространства 2N + 2)-мерное пространство состояний и энергии i) QTPH, 2N -f- 1)-мерное пространство состояний QTP и 27У-мерное фазовое пространство QP (как всегда, N обозначает число степеней свободы системы). Рассмотрим теперь пространство QTPH, отложив QTP до гл. ДУ1, а QP — до гл. Д VII. Как мы увидим, теорию, развитую для пространства QTPH, можно приложить к QP простым изменениям обозначений, при условии, что система в QP консервативна дН /dt = 0). [c.287]

Фазовая траектория - представление гфоцесса (зависимости V(/)) в виде последовательности точек в пространстве состояний. [c.16]

Фазовые диаграммы автономных систем. Состояние автономной системы, определяемое обобщенными координатами и обобщенными скоростями (/ = 1,2,. ..,п п — число степеней свободы), можно представить изображающей точкой G в 2я-мер-ном фазовом пространстве. Состояние автономной системы с одной степенью свободы (п = 1) может быть представлено изображающей точкой G в системе координат q, q (на фазовой плоскости). При этом процесс движения механической системы отображается движением изображающей точки на фазовой плоскости траекторию изображающей точки называют фазовой траекторией, а совокупность фазовых траекторий, соответствующих всевозможным начальным условиям, — мзовой диаграммой (рис. 3, а). Если [c.23]

Построим реализацию квантовой гамильтоновой динамики, используя такой же ход рассуждений, как и в разд., 1.2. Вместо точки в фазовом пространстве состояние системы будет характеризоваться элементом гильбeipтoвa пространства (т. е. волновой функцией). Вместо функций в фазовом пространстве роль динамических функций теперь играют операторы, действующие в гильбертовом пространстве. Мы отложим более детальное рассмотрение состояний до следующих двух разделов и перейдем к построению алгебры динамических операторов 3q. [c.26]

При переходе от классической механики к квантовой не только изменяются понятия состояния системы и уравнений движения — вместо точки фазового пространства состояние характеризуется Т-функцией и вместо уравнений Гамильтона появляется уравнение Шредингера,— но также коренным образом изменяется и отношение этих понятий к опыту. В классической теории мы предполагаем, что какое-то определенное, хотя бы и неизвестное нам микросостояние существует независимо от опыта, и что любой немаксимально полный опыт, выделяющий область фазового пространства ДГ , лишь определяет границы, внутри которых лежит это микросостояние, никак на него не влияя. В квантовой механике, во-первых, утверждение о существовании определенной Т-функции может быть сделано лишь [c.135]

Уравнение (47) назьгеается уравнением интегральных кривых на фазовой плоскости q,q) (в данном случае фазовое пространство — плоскость состояний — фазовая плоскость). В нашем случае интегральные кривые совпадают с фазовыми траекториями. Подчеркнем, что такое совпадение имеет место не всегда, так как одна интегральная кривая может соответствовать не одной, а одновременно нескольким фазовым траекториям. [c.83]

Система уравнений (4.24) и (4.25) представляет уравнения движения передней подвески автомобиля в случае достаточно больших значений кинематических параметров и описывает движения изо-бражаюш,ей точки в шестимерном фазовом пространстве (0, 0, -ф, Ф, 1, Стационарное движение подвески изображается в этом пространстве состоянием равновесия, которое находится в начале координат. Устойчивость этого состояния определяется корнями характеристического уравнения [c.407]

Одним из важнейших положений, на которых основывается статистическая механика, является теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Эта теорема связана с понятием о фазовом пространстве. Фазовым пространством называется воображаемое пространство 2з измерений, по координатным осям которого откладываются обоби енные координаты и импульсы р механической системы (/=1, 2,..., 5 5 — число степеней свободы). Состояние механической системы в данный момент времени изображается в фазовом пространстве одной фазовой точкой. С течением времени эта точка движется по фазовой траектории. [c.389]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...