Понятие о фазовом пространстве для поля

Если бы мы имели дело только с монохроматическим излучением, то понятия фазовой скорости было бы достаточно для описания всех явлений, связанных с распространением электромагнитных волн. Однако монохроматическая волна, представляющая собой безграничную и бесконечно длящуюся синусоиду, неосуществима. На самом деле излучение распространяется в виде импульсов, ограниченных во времени и в пространстве (см. 1.7). Скорость распространения такого импульса можно отождествить со скоростью распространения какой-либо его точки, например точки максимальной напряженности поля. Однако при этом надо предполагать, что импульс, распространяясь, сохраняет свою форму или во всяком случае деформируется достаточно медленно. Для того чтобы судить об этом, можно представить импульс как наложение бесконечно большого числа близких по частоте монохроматических волн (представление импульса в виде интеграла Фурье). Если все эти монохроматические волны разной длины распространя- [c.86]

Понятие гиперболичности служит матем. выражением и конкретизацией свойства локальной неустойчивости траекторий. Обычно предполагается, что фазовым пространством системы служит нек-рое риманово многообразие (см. Риманово пространство) X, а динамика задаётся гладким отображением Т = Т Х- Х (случай каскада) или гладким векторным полем на X (случай потока). Наличие римановой структуры позволяет измерять длины кривых и объёмы подмножеств, принадлежащих X, а также длины векторов в касательных пространствах к X. Гиперболичность — это свойство отд. траекторий 0(х) = Т х , формулируемое в терминах касательных отображений (решений ур-ний в вариациях — в случае потока), отвечающих ДС Г . Его смысл в том, что при каждом г имеется три типа поведения точек, бесконечно близких к точке Т х при своём дальнейшем движении под действием ДС точки первого типа с экспоненциальной скоростью сближаются с траекторией точки х, точки второго типа с экспоненциальной скоростью удаляются от неё, а точки третьего (нейтрального) типа ведут себя промежуточным образом. Этим трём типам поведения отвечает представление касательного пространства к А" в точке Т х в виде прямой суммы подпространств, переходящих друг в друга вдоль траектории под действием касательных отображений. В случае каскада точек нейтрального типа может не быть совсем, а в случае потока они всегда есть — из таких точек состоит сама траектория 0(х). При изменении направления времени точки первого и второго типа меняются ролями, а точки третьего типа сохраняются. [c.631]

Величина 2 определена так. что свойство п. а будет выполнено лишь при дополнительных предположениях. Макроскопический опыт указывает лишь на то, что изображающая микроскопическое состояние системы точка фазового пространства находится где-то внутри макроскопической области.Ни тонкая , ни грубая плотность не пол чают еще при этом определенного значения. Для того чтобы после макроскопического опыта придать величине S определенное значение, необходимо, очевидно, сделать предположения о величине грубой плотности Р, Единственным естественным будет предположение о том, что Рх всех ячеек, лежащих вне выделенной опытом макроскопической области, равны нулю и Рх всех ячеек, лежащих внутри области, равны по величине и в сумме составляют единицу при этом величина S оказывается пропорциональной логарифму объема макроскопической области. Также необходимы дополнительные допущения для того, чтобы сделать определенными предсказания о последующем (после макроскопического опыта) изменении состояния системы, и, в частности, о последующем изменении величины 2. Единственным естественным допущением, достигающим этой цели, является допущение равновероятности всех точек внутри макроскопической области. Как легко видеть, при этом допущении (фундаментальное значение которого уже отмечалось в 4) понятие вероятностей различных дальнейших изменений состояния системы приобретает точный смысл. Одновременно удовлетворяется требование п. а величина S для момента после опыта получает точное значение. [c.45]

В данной главе мы вернёмся к этой задаче и используем развитое в предыдущей главе понятие интерференции в фазовом пространстве. Мы вычислим энергетическое распределение, рассчитав площади перекрытия в фазовом пространстве. Для этого необходимо найти подходящие представления в фазовом пространстве двух интересующих нас квантовых состояний, то есть собственного энергетического состояния и когерентного или сжатого состояния. Затем мы вычислим их перекрытие. В противоположность предыдущим главам, будем использовать безразмерные переменные в фазовом пространстве. Это облегчит вычисление площадей перекрытия. Кроме того, такие же безразмерные переменные описывают фазовое пространство одной моды электромагнитного поля. В завершение этой главы кратко обсуждается проблема фазовых состояний в квантовой механике. В этом случае понятие интерференции в фазовом пространстве оказывается особенно полезным, так как оно позволяет глубже понять определение фазовых состояний. [c.236]

Понятие о фазовом пространстве для поля [c.121]

Мы уже говорили, что понятие фонона или кванта упругого возмущения, обычно используемое в физике твердого тела, можно распространить также на газы и жидкости. В результате действия возмущающих факторов (поля пульсаций скоростей) число фононов в заданном состоянии может изменяться с течением времени фононы могут приходить и уходить из данного элемента фазового пространства. Может оказаться, что в результате действия внешних случайных нестационарных возмущений функция распределения фононов, а следовательно, и средняя энергия фонона будут изменяться со временем монотонным образом. В частности, средняя энергия может возрастать. В этом случае мы можем говорить об ускорении фононов. [c.177]

В соответствии с таким подходом центральное место в книге занимают не вьшнсления, а геометрические понятия (фазовые пространства и потоки, векторные поля, группы Ли) и их приложения в конкретных механических ситуациях (теория колебаний, механика твердого тела, гамильтонов формализм). Много внимания уделено качественным методам из Д ения движения в целом, в том числе асимптотическим (теория возмущений, методы осреднения, адиабатические инварианты). [c.2]

Переосмысление понятия термодинамич. предельного перехода привело к общему определению гиббсовского случайного поля, иначе — гиббсовской меры, или Шббса распределения, на фазовом пространстве бесконечной системы взаимодействующих частиц. Эта мера определяется своим гамильтонианом. В случае системы частиц с координатами qisR , импульсами pjG R , гамильтониан к-рой имеет вид [c.635]

Сложности анализа, опирающегося на уравнение Рэлея, показывают, что целесообразно исходить из более общего определения гидродинамической неустойчивости, чем отождествление такой неустойчивости с наличием у линеаризированных уравнений собственных значений с отрицательными мнимыми частями. Чтобы дать такое общее определение, введем понятие о фазовом пространстве жидкости, точками о) которого являются полные наборы независимых термогидродинамических полей, характеризующих мгновенные состояния движущейся жидкости. В случае несжимаемой жидкости — это соленоидальное поле скорости и(х) в занятой жидкостью области пространства, удовлетворяющее должным краевым условиям в общем же случае поле и(х) — произвольное, и к нему добавляются поля плотности р(х), ь<нтро-пии г (х) и концентрации примеси 0(х). Эволюция течения жидкости во времени изображается в фазовом пространстве некоторой линией о) = со( ) —фазовой траекторией течения у стационарного течения она состоит из одной точки, у периодического — образует замкнутую кривую линию (цикл). Совокупность со (/) = ( (0) фазовых траекторий, проведенных через все точки фазового пространства (о==о)(0) и продолженных иа всю ось времени, определяет группу отображений фазового пространства па себя, назы- [c.82]

Существование интерференц. картины является прямым следствием суперпо.зиции принципа для линейных колебаний и волн. Однако в реальных условиях всегда существуют хаотич. флуктуации волнового поля, в ча-стности разности фаз взаимодействующих волн, что приводит к быстрому перемещению интерференц. картины в пространстве. Если через каждую точку за время измерения успевают многократно пройти максимумы и минимумы интерференц. картины, то зарегистрированное ср. значение интенсивности волны окажется в разл. точках одинаковым и интерференц. полосы расплывутся. Чтобы зарегистрировать чёткую интерференц, картину, необходима такая стабильность случайных фазовых соотношений, при к-рой смещение иитерференц. полос за время измерения составляет лишь небольшую насть от их ширины. Поэтому качеств, понятие К. можно определить как необходимую стабильность слу-найных фазовых соотношений за время регистрации интерференц. картины. [c.394]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...