Гиперболическое множество

Объединение гиперболического множества, возникающего при гомоклиническом касании, и всех траекторий, которые к нему притягиваются, вообще говоря, имеет в фазовом пространстве меру нуль. Однако множество траекторий положительной меры находится вблизи гиперболического чрезвычайно долгое, по сравнению с периодом цикла, время (с точки зрения физического наблюдателя это время можно считать бесконечным). Поэтому при потере устойчивости предельным циклом вблизи сильного резонанса следует ожидать возникновения хаоса. [c.62]

Бифуркационная поверхность может отделять системы Морса—Смейла от систем с бесконечным неблуждающим множеством — при переходе через нее может, например, рождаться странный аттрактор или нетривиальное гиперболическое множество (определение см. в [198]), или сложное предельное множество, содержащее бесконечно много траекторий. [c.95]

I.S. Сводка результатов (см. таблицу 1 стр. 96). В столбце 6 Т2 и — это двумерный тор и бутылка Клейна соответственно. В столбце 5 знак к обозначает возможность рождения конечного множества предельных циклов. В столбце 6 знак Q означает наличие нетривиального гиперболического множества. Знак означает, что вопрос открыт. [c.97]

Бифуркации, описанные в этом параграфе, происходят в однопараметрических семействах общего положения и приводят к возникновению грубого предельного цикла или нетривиального гиперболического множества. [c.111]

При бифуркации цикла, объединение гомоклинических траекторий которого некритично и состоит из р торов и бутылок Клейна (р>1), рождается инвариантное гиперболическое множество, содержащее счетное число двумерных инвариантных многообразий. [c.118]

Периодическая траектория является гиперболическим множеством, если некоторые мультипликаторы (см. п. 2.5) лежат внутри, а остальные — вне единичной окружности (тривиальный мультипликатор, равный единице, опять не учи тывается). Множества и W траекторий, притягивающихся к предельному циклу при t- oo и при —оо, называются его устойчивым и неустойчивым многообразиями. Если сумма их размерностей равна N—1, то их пересечение называется трансверсальным. [c.126]

Таким образом, при N 3 для фазовых потоков в определенном смысле типично наличие бесконечного множества Q гиперболических неблуждающих точек со всюду плотным в нем множеством периодических траекторий (Аносовым (1967) обнаружены даже потоки, у которых гиперболическим множеством является все фазовое пространство). [c.128]

Определение. Диффеоморфизм / удовлетворяет аксиоме Л, если 0(/) — гиперболическое множество и [c.59]

Риманова метрика иа М используется для того, чтобы сформулировать условие (Ь) из определения гиперболического множества. Справедливость этого условия не зависит от используемой метрики, хотя константы с и X от нее зависит. Метрика называется ляпуновской (по отношению к А-диффеоморфизму /), если 0 /) —гиперболическое относительно / множество и с = 1- [c.59]

Лемма. Пусть А — гиперболическое множество. Тогда существует такое е > О, что А является разделяющимся под-множеством М с разделяющей константой е. т. в. если х Л, у М и у ф X, то [c.61]

Будем говорить, что поток удовлетворяет аксиоме А, если Q являегся объединением некоторого множества, удовлетворяющего (а) и (Ь), и конечного числа ие принадлежащих ему гиперболических неподвижных точек. По теореме Смейла о спектральном разложении [24], [18] гиперболическое множество является объединением конечного числа непересекающихся базисных множеств. Траекторная структура цц в большой степени определяется этими базисными множествами. На протяжения этой статьи X всегда будет обозначать базисное множество, не сводящееся к единственной замкнутой орбите. [c.109]

Эти множества являются строительными кирпичами в теории потоков, удовлетворяющих аксиоме А Смейла [27]. Мы будем изучать главным образом аттракторы, т. е. базисные гиперболические множества Л, для которых окрестность и в условии (( ) мом<но выбрать так. чтобы 1 и<=. У при Го (Т о фиксировано), и, следовательно, П / - [c.145]

В этой статье результаты, касающиеся равновесных состояний 6, 7, 24] и аттракторов [24], полученные ранее для диффеоморфизмов, переносятся иа случай потоков. Для У-потоков (Л = М) мера изучалась в работах (9, 16, 17, 20, 25, 26], а теория гиббсовских состояний (формально несколько отличающаяся от теории равновесных состояний, но приводящая к тем же самым мерам лля базисных гиперболических множеств) была развита в работе [26]. Некоторые результаты, полученные здесь для Потоков, являются новыми [c.145]

Базисное гиперболическое множество А называется апериодическим, если для некоторой (и, следовательно, для любой) точки л еЛ множество плотно в Л ). [c.147]

Л Лемма. Пусть Л — базисное гиперболическое множество. Тогда существуют топологически перемешивающая ) топологическая цепь Маркова оа. положительная [c.149]

Предположим теперь, что Л — базисное гиперболическое множество класса С . Пусть л еЛ обозначим Аг(д ) якобиан линейного отображения (при этом исполь- [c.158]

Первая лемма об объеме. Пусть А —базисное гиперболическое множество класса 0, и пусть [c.159]

Предложение. Пусть А — базисное гиперболическое множество класса С . [c.159]

Предложение. Пусть А —базисное гиперболическое множество класса С . Тогда мера непрерывно зависит [c.165]

Эта простая теорема является прообразом нетривиальных теорем о спектральном разложении локально максимального гиперболического множества и о спектральном разложении А-диффеоморфизма (теорема 3.5 из [Б1]). [c.206]

Локально максимальные гиперболические множества. Мы переходим теперь к описанию гладких динамических систем, для которых поведение траекторий напоминает случайное. Как н выше, мы ограничиваемся только формулировками, отсылая читателя к основополагающей монографии Ан], обзору [С], лекциям [ГДС] и книге [Н] (вместе с приложением 8 к пей). [c.210]

Теорема 5.2 (об устойчивости гиперболического множества).- Пусть А — гиперболическое множество диффеоморфизма Ai->Ai. Для любой окрестности множества А [c.211]

В классе всех гиперболических множеств ока. ывается удобным выделить некоторый подкласс максимальных объектов. [c.212]

Теорема 5.4. Следующие свойства гиперболического множества Л диффеоморфизма f М М эквивалентны [c.213]

Еслн для диффеоморфизма f . М -М все многообразие М является гиперболическим множеством, то I называется У-диффеоморфизмом (илн диффеоморфизмом Аносова). Аналогично определяются У-потоки. Применив теорему об устойчивости гиперболического множества из предыдущего пункта к случаю А = М, получаем следующую теорему Д. В. Аносова [Ан] о структурной устойчивости, или грубости, У-диффеоморфизмов. [c.214]

Если f является У-диффеоморфизмом, то М — локально максимальное гиперболическое множество. В силу следствия 5.1 периодические точки плотны во множестве неблуждающих точек (1). Известна следующая нерешенная проблема верно ли, что = М [c.214]

Каток А. Б., Локальные свойства гиперболических множеств. Добавление 1 к книге ГН], стр. 214—232. [c.238]

Гипотеза. В типичных двупараметрических семействах векторных полей, в которых происходит потеря устойчивости предельным циклом с прохождением через сильный резонанс, встречаются векторные поля с йетривиальными гиперболическими множествами. Соответствующие им значения параметра подходят к критическим узкими языками. [c.61]

Касание неустойчивого многообразия седлового цикла с устойчивым многообразием того же самого или другого седлового цикла. В первом случае возникает гомоклиническая траектория, и при е>8 —нетривиальное гиперболическое множество, во втором — гетероклиническая траектория, и при е>8 аттрактор уже не является тором. [c.161]

Теорема 3 [191]. Если ао О, то для любого локально трансверсального сечения Е траектории 7 и любого натурального 3 найдется компактное инвариантное гиперболическое множество Л С , на котором отображение последования Пуанкаре топологически сопряжено сдвигу Бернулли в пространстве бесконечных последовательностей из з символов. [c.308]

Итак, экспоненциальная расходимость близких траекторий у диссипативных систем связана с наличием в их фазовых пространствах гиперболических множеств. Свойственны ли они многим динамическим системам или, наоборот, являются исключением В последнем случае малое возмущение такой системы (скажем, всегда присутствующими в природе шумами ) лишало бы ее этого свойства. В связи с этим полезно использовать введенное Андроновым и Понтря-гиным (1937) понятие структурно устойчивой (или грубой ) системы, для (2.79) формулируемое следующим образом при любом е > О имеется такое б > О, что [c.127]

Это определение принадлежит Смейлу [14]. Советские математики интенсивно изучали диффеоморфизмы I специального типа, а нменио У-днффеоморфнзмьг ) [ называется У-диффеоморфизмом, если все многообразие М является гиперболическим множеством [2]. Мы увидим несколько позднее, что такие диффеоморфизмы всегда удовлетворяют аксиоме А. Отметим в связи с этим, что неизвестно, выполняется ли условие 0(/) = М для всякого У-диффеомор-физма I. Отсылаем читателя к примерам из [14] ). [c.59]

Теорема. Пусть А — гиперболическое множество огно-сительно С-диффеоморфизма . Тогда при малом 8 > О для [c.60]

Основными источниками являются по У-аиффеоморфизмам работа Аносова [2], по А-диффеоморфиэмам — работа Смейла [14]. Теорему об устойчивых многообразиях для гиперболических множеств докаяалн Хирш и Пью [8] ). Теоремы о сушествовании канонических координат и о спектральном разложении заимствованы из [14]. а часть 3.5, относящаяся к перемешиванию, — из [4]. [c.74]

Замкнутое ннвариаитиое множество А называется базисным гиперболическим множеством, если [c.144]

Многообразие М и римаиова метрика на нем принадлежат классу С . Поток называется потоком класса С (/ I), если он соответствует векторному полю класса С иа многообразии М в этом случае базисное гиперболическое множество Л для потока f называется базисным гиперболическим множеством класса С . Ограничение потока f на множество Л топологически траизитивио, если в этом множестве содержится всюду плотная траектория. [c.147]

Ниже приводятся иекогорые факты, касающиеся символической динамики иа базисном гиперболическом множестве Л [4]. Для любой матрицы А = [Л/,] порядка п, состоящей из f yлeй и единиц, рассмотрим пространство двусторонних последовательностей [c.148]

Теорема ). Пусть Л — базисное гиперболическое множество для потока Р и функция ф Л К удовлетворяет условию Гёльдера с положительным показателем. Тогда функция ф имеет единственное равновесное состояние щ. Более того, мера эргодична и положительна на непустых открытых подмножествах множества Л, и для любого е > О суще-ствует такое Ск > О, что [c.155]

Доказательство. Очевидно, что оценка (П.7) отличается от оценки (П-б) на ограниченные миожнтелн, поэтому достаточно доказать неравенство (П.6). Чтобы это сделать, применим лемму П.2 к гиперболическому множеству Л потока G f класса (см. лемму П.З), заменив х иа а у на Е1. Нужно показать, что (для достаточно малого е) [c.173]

Определение. Гиперболическое множество Л диффеомор-ф)изма 1 М->-М обладает структурой прямого произведения сли существуют такие е > О и 7 > О, что [c.213]

Хотя локально максимальные гиперболические множества являются гладким объектом, но при построении для них символической динамики дифференцируемая структура многообразия М непосредственно ие используется. Эго позволяет аксиоматизировать условия, при которых построение марковского разбнення и символической динамики оказывается возможным для гомеоморфизма метрического компакта (обобщение на случай потоков нетрудно извлечь из работы [БЗ] настоящего сборника, см. также (28]). Эти условия сформулированы ниже в аксиоме А . [c.220]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...