Фазовая жидкость

Фазовое пространство и фазовая жидкость. Пере- [c.202]

Резюме. Пространство конфигураций канонических уравнений имеет 2п измерений, а именно п позиционных координат qiU п импульсов pt, и все они являются независимыми переменными вариационной задачи. Это 2п-мерное пространство называется фазовым пространством . Вводя время в качестве дополнительной переменной, получим (2п + 1)-мерное пространство, которое называется пространством состояний . Геометрически движение можно представить в виде движения 2/г-мерной жидкости, называемой фазовой жидкостью . Каждая отдельная линия тока движущейся жидкости определяет собой движение механической системы при соответствующих начальных условиях движение жидкости в целом определяет общее решение при произвольных начальных условиях. [c.205]

Такая же ситуация возникает в потоке фазовой жидкости в случае консервативных (склерономных) систем. Здесь функция Лагранжа, а следовательно, и функция Гамильтона, не зависят от t [c.206]

Поэтому правые части уравнений (6.6.1) не зависят от времени, откуда сразу следует, что фазовая жидкость в случае консервативных систем находится в состоянии стационарного движения. [c.206]

Теорема о сохранении энергии (6.6.5) имеет интересную геометрическую интерпретацию в связи с движением фазовой жидкости. Уравнение [c.207]

Резюме. Если функция Гамильтона Н не зависит от времени t, то механическая система консервативна. Такие системы характеризуются двумя особыми свойствами фазовой жидкости [c.207]

Движение фазовой жидкости является стационарным. [c.207]

Фазовая жидкость, связанная с каноническими уравнениями, обладает тем интересным свойством, что она имитирует [c.207]

Пример. Для механической системы лишь с одной степенью свободы фазовое пространство становится двумерным, а пространство состояний —трехмерным. Поэтому в этом простом случае поведение фазовой жидкости можно изобразить особенно наглядно при помощи нашего обычного пространства. Энергетические поверхности в этом случае сводятся к кривым, причем эти кривые определяют непосредственно линии тока двумерной фазовой жидкости. Более того, хотя картина линий тока является статической и не содержит скоростей, с которыми частицы жидкости движутся вдоль линий тока, эти скорости можно получить из расстояний между со- [c.208]

Резюме. Фазовая жидкость в 2 -мерном пространстве ведет себя подобно несжимаемой жидкости. Произвольная область, вырезанная из жидкости и движущаяся вместе с ней, меняет в процессе движения свою форму, но сохраняет свой объем. [c.209]

Интегральные инварианты, теорема Гельмгольца о циркуляции, французский математик Пуанкаре (1859— 1912) предложил для любых интегралов, связанных с фазовой жидкостью и сохраняющих свою величину при движении фазовой жидкости, название интегральные инварианты . Объем а фазовой жидкости, рассматривавшийся в предыдущем пункте, является одним из примеров подобных интегральных инвариантов. Другим важным примером является величина, введенная Гельмгольцем и называемая циркуляцией . [c.209]

Общая параметрическая формулировка канонических уравнений в форме (6.10.15) с теоретической точки зрения обладает серьезными преимуществами по сравнению с другими формулировками. Ее можно считать наиболее выразительной формой канонических уравнений. Она совсем по-новому освещает роль консервативных систем. Заметим, что после преобразования времени t в одну из механических переменных любая система становится консервативной. Обобщенная функция Гамильтона К не зависит явно от независимой переменной т, и поэтому наша система в расширенном фазовом пространстве становится консервативной. Движение фазовой жидкости является установившимся, и каждая частица жидкости все время находится на какой-то определенной поверхности [c.221]

При этом фазовое пространство имеет 2/1 + 2 измерений, движение фазовой жидкости является всегда установившимся, а механическая система всегда консервативна. Особые свойства консервативных систем распространяются таким образом на произвольные системы. Эта параметрическая формулировка канонических уравнений с теоретической точки зрения обладает рядом преимуществ. [c.224]

Движение фазовой жидкости как непрерывное выполнение канонических преобразований. Результаты предыдущего пункта пролили новый свет на природу уравнений динамики. Если разделить левые и правые части уравнений (7.7.12) на At, а затем устремить At к нулю, то в пределе мы получим дифференциальные уравнения [c.253]

НО малы. Эти бесконечно малые перемещения определяют некоторое каноническое преобразование в фазовом пространстве. Процесс может быть повторен много раз. Все движение фазовой жидкости есть не что иное, как непрерывное выполнение канонических преобразований. [c.254]

Этот поразительный результат был впервые получен Гамильтоном, хотя и в несколько другой интерпретации. Он по-новому освещает роль канонических преобразований при изучении движения. Все движение механической системы может рассматриваться как задача о преобразованиях. Последовательные положения фазовой жидкости представляют собой непрерывно меняющееся отображение пространства самого на себя. Это отображение все время каноническое. [c.254]

Можно сказать даже нечто большее. Последовательные преобразования фазовой жидкости связаны друг с другом. В конце предыдущего пункта мы пришли к функции Гамильтона В = Н, начав с произвольной производящей функции S, содержащей параметр t. Однако теперь можно проделать обратный путь. Имеющаяся задача о движении дает нам функцию Гамильтона Я, зависящую от qi, Pi и, возможно, t. Заменим р,- на dS/dqi и попытаемся найти первоначальную функцию 5, из которой возникло уравнение [c.254]

Движение фазовой жидкости 255 [c.255]

Эта новая точка зрения отражает в новом свете также и смысл инвариантов движения. Эти инварианты являются в действительности инвариантами произвольного канонического преобразования. Инвариантность циркуляции, обсуждавшаяся в гл. VI, п. 8, является характерным свойством канонических преобразований. Более того, она даже определяет эти преобразования. Теорема Лиувилля (см. гл. VI, п. 7) доказывает инвариантность объема, основанную на несжимаемости фазовой жидкости. Эту теорему можно сформулировать в таком виде значение якобиана (функционального детерминанта) преобразования, которое связывает два состояния движения, соответствующие двум произвольным моментам времени, всегда равно I. Это тоже является общим свойством канонических преобразований. Значение якобиана произвольного канонического преобразования равно 1. [c.255]

Задача. Записать якобиан Д некоторого канонического преобразования и умножить его самого на себя. Показать, что = 1. Для исключения возможности Д = —1 требуются дальнейшие рассуждения, однако для движения фазовой жидкости выбор 1 следует из непрерывности движения. [c.255]

Резюме. Произвольная функция, зависящая от времени, порождает бесконечное семейство канонических преобразований. Последовательные стадии этого преобразования могут рассматриваться как непрерывно меняющееся отображение пространства самого на себя, что в свою очередь может быть интерпретировано как движение некоторой жидкости. Это движение удовлетворяет каноническим уравнениям, что приводит, таким образом, к совершенно новой интерпретации этих уравнений. Движение фазовой жидкости можно представить как последовательные стадии бесконечного семейства непрерывных канонических преобразований. [c.255]

Главная функция Гамильтона и движение фазовой жидкости. Результаты нашего обсуждения, естественно, имеют отношение к задаче интегрирования уравнений динамики. Нам уже известно соотношение между производящей функцией S и функцией Гамильтона Н [см. уравнение [c.256]

Главная функция Гамильтона, фазовая жидкость 259 [c.259]

Главная функция Гамильтона, фазовая жидкость 261 при дополнительном условии [c.261]

Эта схема интегрирования Г амильтона была упрощена и улучшена Якоби. Главная функция Гамильтона должна удовлетворять сразу двум уравнениям в частных производных. Решение этой задачи практически невозможно без более широкой схемы интегрирования, предложенной Якоби. Производящая функция S зависящего от времени канонического преобразования определяет все движение фазовой жидкости, удовлетворяя лишь одному уравнению в частных производных [c.262]

Резюме. В то время как производящая функция канонического преобразования является чисто математическим понятием, Гамильтон ввел главную функцию , тесно связанную с интегралом действия. В его геометрической интерпретации эта функция имеет ясный смысл. Она задает расстояние между двумя точками в соответствующим образом определенном метрическом пространстве, являясь при этом функцией координат этих двух точек. Главная функция Гамильтона является производящей функцией того частного канонического преобразования, которое связывает два состояния фазовой жидкости, принадлежащие двум различным моментам времени, причем связывает их непосредственно, без помощи какой-либо промежуточной внешней точки. [c.263]

Замечательным свойством этого преобразования является тот факт, что выпрямление искривленных мировых линий фазовой жидкости и превращение их в прямые параллельные линии происходит автоматически при переходе цилиндрических поверхностей Н=Е в параллельные плоскости Qn = Е. [c.267]

Замечательная особенность этого метода заключается в том, что каноническое преобразование, выпрямляющее изоэнергетическую поверхность = Ов плоскость z = О, преобразует также все линии тока движущейся фазовой жидкости в параллельные прямые линии. [c.273]

Как мы уже знаем, при разделении переменных сопряженные переменные в каждой паре оказываются связанными друг с другом без участия остальных переменных. Поэтому, исходя из уравнений (8.3.4) и считая О константами, мы можем нарисовать в плоскости <7, р линии тока фазовой жидкости. В классических задачах механики Н — квадратичная функция pk и поэтому решение уравнения Н = Е должно обязательно приводить к решению некоторого квадратного уравнения. Это дает, вообще говоря, два решения, так что могут быть найдены два значения р , соответствующие одному и тому же q . Предположим, что дискриминант квадратного уравнения положителен только в определенном конечном интервале изменения 7. В этом случае qk колеблется между двумя фиксированными предельными значениями а и 6 , а линии тока соответствующей двумерной фазовой жидкости должны быть замкнутыми. [c.281]

Теорема Лиувилля. Для уравнений Гамильтона дивергенция поля А равна нулю. Отсюда следует (см. 21.8, п. 3), что объем протяженность) фазового пространства является инвариантом преобразования, определяемого дифференциальными уравнениями. Иными словами, фазовая жидкость несжимаема . В этом состоит известная теорема Лиувилля, играющая важнейшую роль в кинетической теории газов. Как известно, множителями системы являются ее пространственные интегралы, они удовлетворяют условию [c.439]

Такая геометрическая интерпретация позволяет ввести аналогию с движением 2й-мерной так называемой фазовой жидкости, подобной по поведению обычной жидкости. Каждая линия тока фазовой жидкости— это кривая в пространстве состояний, определяющая движение системы при конкретных заданных начальных условиях. В случае консервативной системы фазовая жидкость движется как несжимаемая, вследствие чего в процессе движения форма области может изменяться, но объем ее сохраняется. Наряду с этим инвариантом имеются и другие. Характер движения фазовой жидкости в пространстве состояний всегда установившийся. [c.46]

В качестве еще одного примера автоколебательной системы приведем тормозное устройство, изображенное на рис. 17.101. Вращающийся с угловой скоростью Q вал силой трения захватывает тормозную колодку, но при этом возрастает усилие в пружине, создающее момент, имеющий направление, противоположное моменту трения. Когда момент, создаваемый усилием пружины, достигает величины момента сил трения, происходит преодоление сцепления вала с колодкой и колодка возвращается в направлении, противоположном вращению вала на угол (Л1о — М )1с. После этого вновь происходит захватывание колодки валом и все повторяется. Торможение происходит за счет наличия момента, создаваемого усилием в пружине, действующего в направлении, противоположном вращению вала. Величина этого момента переменная. Наибольшее его значение равно Mq и наименьшее М . На рис. 17.102 изображены пространство состояний (ф, <р, i) и линия тока фазовой жидкости, характеризующая движение системы. [c.229]

Резюме. Циркуляция является инвариантом движения фазовой жидкости. Она представляет собой величину Pidqi, проинтегрированную вдоль произ-вольнай замкнутой кривой фазового пространства. Инвариантность циркуляции имеет для фазовой жидкости тот же смысл, что и теорема Гельмгольца для идеальной физической жидкости обе они утверждают сохраняемость вихрей. [c.214]

Это — не что иное, как канонические уравнения движения, если переменный параметр t отождествить со временем, а функцию В с функцией Гамильтона Н. Чтобы лучше понять получившийся результат, представим себе, что мы следим за движением фазовой жидкости в течение некоторого интервала времени А . Предположим, что частицы жидкости помечены, так что можно определять положение каждой из них. В какой-то момент времени / сделаем моментальный снимок движущейся жидкости затем в момент t At — второй моментальный снимок. Все частицы жидкости сдвинулись со своих прежних мест, но их перемещения бесконеч- [c.253]

При этом следует помнить, что р,- в функции Гамильтона Н заменены на dSldqi. Предположим, что мы можем найти производящую функцию S, удовлетворяющую этому уравнению в частных производных. Тогда мы сможем получить движение фазовой жидкости в виде последовательных фаз зависящего от времени канонического преобразования с заданной производящей функцией 5. После соответствую-щих дифференцирований и исключений это преобразование может быть найдено в явном виде. Уравнения преобразования записываются в такой форме [c.256]

Получение этих формул равносильно полному интегрированию динамической задачи, потому что все механические переменные записаны в виде явных функций времени t и 2п постоянных Qi,. .., Q , Pi,..., Рп, которые могут быть выбраны в соответствии с произвольными начальными условиями. В действительности эти постоянные являются координатами той фиксированной точки Q,-, Р,-, которая преобразуется в двин<ущуюся точку qi, pi движение последней обусловлено тем, что наше преобразование зависит от времени. В результате оказывается, что в явной форме описано все движение фазовой жидкости. При этом координаты QiPi играют роль произвольных постоянных интегрирования. [c.256]

Эти уравнения снова показывают, что два положения движу-щейся фазовой охидкости связаны друг с другом при помош и канонического преобразования. Теперь, однако, можно сказать больше роль W в уравнениях (7.9.10) показывает, что главная функция Гамильтона является производяш,ей функцией того канонического преобразования, которое переводит движущуюся фазовую жидкость из одного состояния в другое, более позднееЧ [c.259]

Геометрически это решение канонических уравнений можно интерпретировать следующим образом. Первоначальные мировые линии движущейся фазовой жидкости образуют бесконечное семейство кривых и заполняют все фазовое пространство. Интересующее нас каноническое преобразование производит такое отображение пространства самого на себя, которое выпрямляет эти мировые линии, превращая их в бесконечное мнооюество параллельных прямых линий, наклоненных под углом 45° к оси времени /. [c.267]

Уравнения (9.9.14) допускают интересную геометрическую интерпретацию. В гл. VII, п. 8, показано, что движение фазовой жидкости можно рассматривать как непрерывное выполнение бесконечно малых канонических поеобразеваний. Сосредоточим внимание на векторе скорости [c.369]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...