Собственное энергетическое состояние

ДОМ в электромагнитное поле от фотонов спонтанного излучения), а атомная система рассматривается в рамках квантовой механики, т. е. ее состояние IY> представляется в виде суперпозиции собственных энергетических состояний и ) и lw ,>, соответствующих собственным значениям и таким образом, [c.22]

Собственное энергетическое состояние [c.61]

Умножая уравнение на собственные значения (2.11) слева на состояние Х, находим уравнение, определяюш,ее волновую функцию ит Х) собственного энергетического состояния гармонического осциллятора в произвольном представлении Х) [c.62]

Далее, рассмотрим более сложный случай, когда состояние осциллятора является суперпозицией многих собственных энергетических состояний [c.66]

Тепловое состояние. В тепловом состоянии п-е собственное энергетическое состояние занято с вероятностью где (3 = = Ш/(/свТ). Здесь О, /св и Т обозначают, соответственно, частоту осциллятора, постоянную Больцмана и температуру теплового состояния. В данном случае матрица плотности имеет вид [c.73]

Ситуация становится интереснее, если начальное состояние не является собственным состоянием Но. Так как набор собственных энергетических состояний [c.76]

В этом случае результат не сводится к возникновению обш,ей фазы, поскольку каждое энергетическое состояние приобретает свою, отличную от других, фазу. Следовательно, мы получаем суперпозицию собственных энергетических состояний с разными фазами, которая описывает движение начального волнового пакета. [c.76]

Получить волновую функцию собственного энергетического состояния гармонического осциллятора в импульсном представлении. [c.85]

Указание Записать формулу (2.2) для собственных энергетических состояний. [c.85]

Из этого условия с необходимостью следует, что функция Вигнера р или (и) р должна принимать отрицательные значения. В частности, в гл. 4 мы покажем, что функция Вигнера собственного энергетического состояния гармонического осциллятора может принимать отрицательные значения. Это поразительное свойство делает невозможной интерпретацию функции Вигнера как реального распределения вероятностей. Тем не менее, функция Вигнера полезна при вычислении квантово-механических средних значений. [c.97]

Рис. 3.1. Функция Вигнера шестого собственного энергетического состояния

Во многих учебниках по квантовой механике утверждается, что гармонический осциллятор является классической системой. Это аргументируется тем, что, как мы видели в предыдущем разделе, в случае квадратичного потенциала уравнение движения для функции Вигнера сводится к классическому уравнению Лиувилля. Однако собственные энергетические состояния зависят от постоянной Планка и являются [c.108]

Таким образом, слева мы имеем произведение двух операторов, а справа — один оператор, умноженный на с-число. Если воспользоваться правилом соответствия Вейля-Вигнера, то правая часть этого уравнения превращается в функцию Вигнера собственного энергетического состояния, умноженную на собственное значение. Левая часть сложнее, так как содержит произведение двух операторов. [c.115]

Согласно формулам (3.32) и (2.15), функция Вигнера т-го собственного энергетического состояния имеет вид [c.118]

Исходя из двух связанных уравнений в фазовом пространстве (3.17) и (3.18), вывести уравнения, определяющие функцию Вигнера собственного энергетического состояния обращённого гармонического осциллятора с потенциалом [c.118]

Уравнения для случая собственных энергетических состояний ангармонического осциллятора [c.121]

Как представить собственное энергетическое состояние в фазовом пространстве В классической механике движение частицы определённой энергии Е описывается эллипсом в фазовом пространстве, образованном переменными координатой х и импульсом р. Это следует из закона сохранения энергии, записанном в виде [c.124]

Почему бы не сопоставить эту круговую орбиту в фазовом пространстве элементарному представлению собственного энергетического состояния Покажем, что в пределе больших квантовых чисел волновая функция данной энергии ит х) действительно может быть представлена как линейный интеграл в таком базовом пространстве. [c.125]

Функция Вигнера. В гл. 3 мы ввели понятие функции Вигнера как возможного расширения классической функции распределения в фазовом пространстве на квантовый случай. Было получено выражение для функции Вигнера собственного энергетического состояния гармонического осциллятора. Вывод в гл. 3 основывался на дифференциальном уравнении в частных производных в фазовом [c.129]

Вычисление интеграла Вигнера. Подставим волновую функцию собственного энергетического состояния в координатном представлении [c.130]

Поскольку в это выражение входит только безразмерная энергия г], функция Вигнера постоянна вдоль траекторий в фазовом пространстве, отвечающих постоянной энергии, то есть вдоль эллипсов. Однако зависимость т от энергии довольно интересная. Так как т-й полином Лагерра 1/ш(С) является полиномом т-й степени, он имеет т нулей как функция Следовательно, функция осциллирует между положительными и отрицательными значениями, как это показано на зис. 4.4, то есть функция Вигнера т-го собственного энергетического состояния состоит из волновых горбов и впадин. Здесь важно заметить, что Ьт 0) = 1 и поэтому [c.131]

Следовательно, функция Вигнера т-го собственного энергетического состояния в начале координат фазового пространства меняет знак в зависимости от чётности или нечётности квантового числа, как показано на рис. 4.4. [c.131]

Рис. 4.4. Функция Вигнера собственного энергетического состояния

Такое поведение характерно не только для энергетических собственных состояний гармонического осциллятора. На рис. 3.2 показана функция Вигнера собственного энергетического состояния осциллятора Морса. Мы снова видим, что в области фазового пространства, заключённой внутри классической траектории, возникают бросающи- [c.103]

Рис. 3.2. Пространственная плотность вероятности (на заднем плане) и функция Вигнера (передний план) собственного энергетического состояния осциллятора Морса. Функция Вигнера обладает сложной структурой в области фазового пространства, окружённой классической траекторией, соответствующей квантовому значению энергии. В области фазового пространства вне траектории видна рябь. Взято из работы М. Hug et al., Phys. Rev. A. 1998.

Функция Вигнера как волновая функция. Чтобы проиллюстрировать это, решим два связанных уравнения для случая собственного энергетического состояния гармонического осциллятора. На этом примере мы покажем, что уравнение на собственные значения энергии в фазовом пространстве одномерного гармонического осциллятора сводится к уравнению Шрёдингера двумерного гармонического осциллятора. [c.109]

В первое уравнение входит лапласиан по двум переменным и ( в фазовом пространстве. Кроме того, сами эти переменные входят в уравнение квадратично. Следовательно, это уравнение на собственные энергетические состояния одномерного гармонического осциллятора полностью аналогично уравнению Шрёдингера для собственных энергетических состояний двумерного гармонического осциллятора. Отсюда вытекает, что можно найти функцию Вигнера с помош,ью разложения по произведениям волновых функций гармонического осциллятора, содержаш,их полиномы Эрмита. [c.109]

В разделе 2.2.2 мы определили координатное представление собственного энергетического состояния гармонического осциллятора. Соответствующее граничное условие — затухание волновой функции в классически недоступной области — отбирает из всех возможных решений соответствующего уравнения Шрёдингера волновую функцию данной энергии. Поэтому граничные условия в координатном пространстве приводят к дискретности собственных значений энергии и определяет их величину. [c.110]

Уравнение Шрёдингера в фазовом пространстве. Проиллюстрируем эту технику представления квантово-механических операторов с-числами для случая не зависящего от времени уравнения Шрёдингера. В частности, покажем, что получаются два связанных уравнения в фазовом пространстве (3.17) и (3.18), определяющие функцию Вигнера собственного энергетического состояния. [c.115]

Сосредоточим внимание на собственных энергетических состояниях, когерентных и сжатых состояниях и повёрнутых квадратурных состояниях. В частности, обсудим распределение по энергии для этих состояний. Для случая полевого осциллятора это соответствует статистике фотонов электромагнитного поля. Когда речь идёт о колебательном движении, распределение по энергии соответствует вероятности заполнения отдельных фононных мод. Мы покажем, что распределение по энергии когерентного состояния является пуассоновским, в то время как соответствующее распределение сильно сжатого состояния содержит характерные осцилляции. Мы выведем простые аналитические выражения для этих распределений в пределе больших квантовых чисел. Именно здесь мы столкнёмся с первыми примерами того явления, которое красной нитью проходит через всю книгу в соответствующем асимптотическом пределе сложные явления становятся простыми. Следуя М. Берри, будем называть такой подход асимптотологией. Ещё один вопрос, обсуждаемый в данной главе, — временная зависимость координатных и импульсных распределений упомянутых выше состояний. Эти распределения можно найти из эволюции во времени [c.123]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...