Бифуркация удвоения периода

Рассмотрим потерю устойчивости периодическим движением при переходе мультипликатора через —1. Равенство л = —1 означает, что начальное возмущение через интер)зал времени То меняет знак, не меняясь по абсолютной величине еще через период То возмущение перейдет само в себя. Таким образом, при переходе ц через значение —1 в окрестности предельного цикла с периодом То возникает новый предельный цикл с периодом 2То — бифуркация удвоения периода ). На рис. 20 условно изображены две последовательные такие бифуркации на рисунках а, б сплошными линиями показаны устойчивые циклы периодов 2То, 47 о, а штриховыми — ставшие неустойчивыми предыдущие циклы. [c.170]

Если принять условно неподвижную точку отображения Пуанкаре за точку л = 0, то вблизи нее отображение, описывающее бифуркацию удвоения периода можно представить в виде разложения [c.171]

Мультипликатор —1 и бифуркация удвоения периода. [c.45]

Рис. 18. Бифуркация удвоения периода

Оставшиеся рисунки иллюстрируют дальнейшие возможные изменения фазового портрета. На рис. 20д показан момент образования -критического седло-узла его исчезновение приведет к рождению странного аттрактора. На рис. 20 е изображено первое простое касание неустойчивого и устойчивого многообразий точки Q. В этот момент и при дальнейшем изменении параметров, приводящем к рождению гомоклинических точек транс-версального пересечения, аттрактор в кольце является странным. На рис. 20 ж уже произошла бифуркация удвоения периода точки N и возникла устойчивая двоякопериодическая траектория (замкнутой инвариантной кривой не стало). При дальнейшем изменении параметров может реализоваться каскад [c.51]

Рис. 30. Три последовательные бифуркации удвоения периода в типично семействе отображений, сохраняющих площадь (гамильтонов случай)

Системы с аттракторами Фейгенбаума. Известно, что бесконечная последовательность бифуркаций удвоения периода [c.151]

Справедливо ли это хотя бы для диффеоморфизмов диска, — неизвестно. Возможно, что еще до того, как произойдет бесконечное множество бифуркаций удвоения периода, уже возникает бесконечное неблуждающее множество за счет касания многообразий седловых точек. [c.152]

Бифуркация удвоения периода и бифуркация рождения тора из цикла в мягком случае — внутренняя бифуркация, в жестком — кризис. [c.160]

Н — число Рэлея, — критическое значение й, при котором возникает конвекция, /2 = м/2л). При бифуркациях удвоения периода появляются дополнительные линии на частотах ш/2, Зм/2, 5м/2,. (рис. 8.4,6), м/4, Зсо/4, 5м/4,. .. (рпс. 8.4, в). При переходе к квазипериодическому движению, [c.224]

Отметим, что порог синхронизации, по-видимому, следует определять по началу сложного поведения систем при выходе из области синхронизации, например по появлению бифуркаций удвоения периода. [c.238]

В системах, описываемых двумерным и п-мерным точечными отображениями, зависящими от одного параметра, при бифуркациях удвоения периода имеют место аналогичные универсальные закономерности [420, 693]. Так, на примере двумерного отображения [c.245]

Численное моделирование уравнения (3.1) при k = i, у<0, Во = 0, B = i [153] показало, что при значениях параметров, соответствующих [517] (а = 0,4 к = —0,0529), бифуркации удвоения периода и переход к хаосу не наблюдаются. Эти явления происходят лишь при больших значениях l y (1 1 > I YkI = = 0,058), что соответствует большим значениям амплитуды внешней силы. Так, например, при if = —0,061 (а == 0,4) первая [c.268]

Во = 0) может быть несимметричным (рис. 9.15, б — е), во-вторых, переход к хаосу происходит путем бифуркаций удвоения периода, а при дальнейшем увеличении В наблюдаются обратные бифуркации (рис. 9.15, г и ж)- При еще больших В появляются островки периодических движений. Так, например, на рис. 9.15 д ж и изображены фазовый портрет и спектр движения с утроенным периодом. [c.273]

В общем случае, эволюцию системы описывают бифуркационными диаграммами, содержащими каскад бифуркаций, отвечаюший последовательности Фейгенбаума [25] при переходе через порог устойчивости период Т удваивается в последовательности 2Т, 4Т, 8Т и т.д. Такая последовательность отвечает последовательности бифуркаций удвоения периода. На рисунке 1.10 показан [c.41]

В этом параграфе основной период, т. е. период первого периодического движения, обозначаем как То (а не ft). Критические значеиня числа Рейнольдса, отвечающие последовательным бифуркациям удвоения периода, будем обозначать здесь иосредством Ri. Rj,. .., опуская индекс кр (число Ri заменяет прежнее Rhpz). [c.170]

Многократное повторение бифуркаций удвоения периода открывает один из возможных путей возникновения турбулентности. В этом сценарии число бифуркаций бесконечно, причем они следуют друг за другом (по мере увеличения R) через все убывающие интервалы последовательность критических значений Ry, R2,. .. стремится к конечному пределу, за которым периодичность исчезает вовсе и в пространстве возникает слож[1ый апериодический аттрактор, ассоциируемый в этом сценарии с возникновением турбулентности. Мы увидим, что этот сценарий обладает замечательными свойствами универсальности и масштабной инвариантности М. J. Feigenbaum, 1978) ). [c.172]

Последовательность бифуркаций удвоения периода (нумеруемых далее порядковыми номерами 1, 2,. ..) не обязательно должна начинаться с первой же бифуркации периодического движения. Она может, в принципе, начаться и после нескольких первых бифуркаций с возникно ением несоизмеримых частот, после их синхронизации за счет рассмотренного в 30 механизма. [c.172]

Преобразование (32,5) имеет неподвил<ную точку — корень уравнения х, = 1 —Хх . Эта точка становится неустойчивой при X > Л[, где Ai — значение параметра Х, для которого мультипликатор (х = —2Я,л , = —1 из двух написанных уравнений находим Л = 3/4. Это — первое критическое значение параметра Х, определяющее момент первой бифуркации удвоения периода появления 2-цикла. Проследим за появлением последующих бифуркаций с помощью приближенного приема, позволяющего выяснить некоторые качественные особенности процесса, хотя и не дающего точных значений характерных констант затем будут сформулированы точные утверждения. [c.173]

Таким образом, интенсивность новых спектральных компонент, появляющихся после бифуркации удвоения периода, превышает таковую для следующей бифуркации в определенное, не зависящее от номера бифуркации, число раз (М. У. Feieenbaum, 1979) ). [c.180]

Рассмотрим вначале режимы мягкого возникновения стохастич. автоколебаний. Осн. бифуркации в этом случае представлены на рис. 4. Это — рождение тора из предельного цикла при потере им устойчивости, бифуркация удвоения периода, слияние устойчивого и седлового циклов и их исчезновение, сопровождающееся возникновением странного аттрактора, сложные деформации ( гофрирование ) тора и его разру- [c.695]

ФЁДОРОВСКИЕ ГРУППЫ — то же, что пространственные группы симметрии (см. Симметрия кристаллов). ФЁЙГЕНБАУМА УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ—явление универсальности, связанное с бесконечными последовательностями бифуркаций удвоения периода устойчивых перио-дич. траекторий. Это явление было обнаружено и исследовано М. Фейгенбаумом (М. Feigenbaum) в 1978 [1—3]. Бифуркация удвоения периода происходит в том случае, когда для периодич, траектории у, зависящей от параметра ц, собственное значение А. (ц) оператора монодромии, задающего сдвиг вдоль Y на период, проходит через значение [c.276]

На рис. 75 изображена бифуркационная диаграмма, характеризующая переход динамической системы от порядка к хаосу, который сопровождается бесконечной последовательностью бифуркаций удвоения периода в соответствии с законом Фейгенбаума [188]. В общем случае движение такой системы описывается одномерным точечным отображением с гладким максимумом, для которого функция последования записывается в виде [186] [c.106]

Серии бифуркаций при касании инвариантных многообразий 5+ и 8 . Описываемые в этом разделе серии бифуркаций были обнаружены в работах [117—119, 137, 262]. Они возникают в нроцессо сближения и касания интегральных многообразий седловых равновесий или седловых периодических движений. Касания инвариантных многообразий и 8 приводят к возникновению гомоклинических структур или их изменениям как на уровне исходных инвариантных многообразий, так и новых, возникающих в гомоклинической структуре. Эти серии бифуркаций состоят в попарном рождении периодических движений разных типов, например и Г , и последующем трансформировании периодического движения Г по типу серии бифуркаций удвоения периода. В результате возникает как бы двойная серия бифуркаций рождения пар и последующих удвоений одного из движений в каждой паре. Рождение из ничего пар периодических движений, по существу, уже было описано в главе 6 в ситуациях 2, 3 и 6. Проводимое там рассмотрение следует лишь несколько нрод(1Л-жить с точки зрения происходящих в этих ситуациях бифуркаций. [c.178]

Выше было рассказано о результатах численного исследования уравнения (4.10) при М = 0,1 /г = 1. Однако, как показали аналогичные численные исследования, такие же результаты получаются и при других значениях параметров М ш Ъ, если только Н> М. При несоблюдении этого условия ж к< М возможность сведения к точечному отображению окружности в себя исчезает, и необходимо исследовать точечное отображение двумерного цилиндра в себя. Общая схема изменений фазового портрета оказывается следующей. При малых ц- возникают устойчивые вращательные синхронизмы, области притяжения которых разделяются сепаратрисами 3 и 3 седловых ненрдвижных точек. С ростом параметра ц, число их возрастает, и вместе с этим возникают пересечения сепаратрисных кривых седловых неподвижных точек, отвечающих разным синхронизмам. Это приводит к усложнению вида областей притяжения устойчивых синхронизмов. Дальнейшее увеличение параметра ц- сопровождается появлением новых пересечений сепаратрис и возникновением гомоклинических структур, содержащих циклы. При этом характер приближения фазовых точек к устойчивым синхронизмам носит весьма сложный немонотонный характер фазовая точка то приближается к нему, то удаляется и, лишь попав в достаточно малую его окрестность, стремится к нему. В соответствии с этим области притяжения устойчивых синхронизмов имеют сложный и тонкий характер. При дальнейшем росте параметра [х начинаются бифуркации удвоения периодов устойчивых синхронизмов с одновременным образованием новых седдовых синхронизмов которые ведут к еще большей хаотизации движений и утопьше-нию областей притяжения устойчивых синхронизмов. При ничтожно малых возмущениях фазовая точка блуждает по поверхности секущего цилиндра, не попадая в малые окрестности устойчивых синхронизмов. [c.206]

Периодическое движение теряет устойчивость, но одно-времепно появляется устойчивое периодическое движение удвоенного периода. Эта последняя трансформация может повторяться много раз, образуя бесконечную серию бифуркаций удвоения периода. [c.215]

Прежде всего, остановимся на переходе от порядка к хаосу, сопровождающемся бесконечной последовательностью бифуркаций удвоения периода в соответствии с законом Фейгенбаума [444, 445, 447, 448]. Такой переход характерен для систем, движение которых точно или приближенно описывается одномерным точечным отображением с гладким максимумом. Если вблизи максимума, который без ограничения общности можно считать расположенным в точке а = 0, функция последования записывается в форме [c.240]

Другими универсальными характеристиками перехода Фей-генбаума являются отношение интенсивностей появляющихся субгармоник при ге-й и (ге+ 1)-й бифуркациях удвоения периода и изменение формы сплошного спектра при обратных бифуркациях. В работе [446] Фейгенбаум получил, что при ге оо Sn+i 2k) = Sn(k), Sn+i(2k+i)=r S (k + i/2), где у = 2 = = 4aVV2(l + а ) 6,57, (А)—интенсивность к-ш гармоники основной частоты (й = 2я/Г вдали от п-ш бифуркации удвоения. Полученные соотношения означают, что огибающая спектра рожденных при (ге+1)-й бифуркации субгармоник (вдали от точки бифуркации) должна лежать ниже огибающей спектра рожденных при п-й бифуркации субгармоник на 20 Ig "К 16,35 дБ. Однако, как показано в [593], Фейгенбаум ошибся при вычислении величины Y. В действительности у = У2р = 4,5785. .., что соответствует разности между огибающими спектров в 13,214... дБ. Этот результат неоднократно подтвержден как в физических, так и в численных экспериментах (см., например, [535, 658]). Форма сплошного спектра после перехода к хаосу подчиняется аналогичным закономерностям. В работе [680] получено, что спектральная плотность при (ге+1)-й обратной бифуркации (Sn+iia)) связана со спектральной плотностью при п-й бифуркации 8 а)) соотношением [c.245]

Как уже отмечалось, кроме бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода, в принципе возможна такая же последовательность бифуркаций утроения периода. Она также должна подчиняться ряду универсальных закономерностей [130, 516]. Для систем, описываемых одномерным точечным отображением с функцией последования вида (4.1), эти закономерности подобны закономерностям Фейгенбаума, но с другими константами. Зависимость констант б и а от показателя степени % в выражении (4.1) для последовательности бифуркаций утроения периода продемонстрирована в табл. 8.5 [516] [c.247]

В работе [210] получены некоторые универсальные закономерности при малом внешнем периодическом воздействии на систему, описываемую одномерным точечным отображением типа параболы. Показано, что с ростом величины воздействия значения бифуркационного параметра [х , соответствующие ге-й бифуркации удвоения периода, монотонно растут. (В случае нерезонансного воздействия найденные значения соответствуют бифуркациям удвоения квазипериода тора.) Отметим, что распространение полученных результатов на область хаоса, возможно, позволит объяснить наличие порога синхронизации и его связь с положительным ляпуновским показателем. [c.247]

Смотреть страницы где упоминается термин Бифуркация удвоения периода : [c.175] [c.45] [c.52] [c.85] [c.430] [c.700] [c.700] [c.276] [c.106] [c.102] [c.202] [c.216] [c.240] [c.245] [c.246] [c.247] [c.259] [c.271] [c.272] [c.272]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...