Фрактальная размерность

Количественной характеристикой фрактала является фрактальная размерность. Для выяснения смысла этого фрактального показателя решим не- [c.78]

Для определения фрактальной размерности требуется использование оптической микроскопии в широком интервале изменения увеличения и разрешения. Это достигается при комбинировании световой, сканирующей электронной и трансмиссионной электронной микроскопии (в отдельных случаях также используют ионную туннельную электронную микроскопию). [c.92]

В [15] установлена линейная зависимость между фрактальной размерностью структуры и размером зерна dj [c.94]

Эта зависимость в логарифмических координатах линейная таш енс угла наклона прямой отвечает фрактальной размерности D. [c.97]

Однако, при статическом растяжении сплавов корреляция между механическими свойствами и фрактальной размерностью границ зерен отсутствует. Таблица 2.1 [c.98]

Результаты измерений фрактальной размерности гладких и изрезанных 1 раниц зерен сплавов, подвергнутых различной термической обработке (Танака, Лицу ка) [c.98]

Существуют и другие методы определения фрактальной размерности [c.98]

Все Мб оды определения фрактальной размерности, рассмотренные выше, базировались на непосредственном изучении исходной микроструктуры и измерении ее показателей. Такие структуры можно отнести к статическим. Вместе с тем, при деформации происходит самоорганизация динамических структур, обусловленная обменом системой, энергии и веществом с окружающей средой, приводящим к накоплению дефектов кристаллической решетки и, как следствие, к разрыхлению структуры. [c.99]

Поэтому важным является определение фрактальной размерности структуры не только исходной, но и динамической. Степень разрыхления структуры непосредственно контролируется пластическими свойствами материала, а следовательно, фрактальная размерность пластически деформированных объемов должна зависеть от степени деформации. Однако, такую связь легче всего установить в критических точках (точки бифуркаций), обладающих свойствами универсальности. [c.100]

Исследования [1], показали, что наиболее информативным показателем пластичности, контролирующем фрактальную размерность объема, претерпевающего предельную пластическую деформацию, является поперечная деформация (у) к моменту разрушения, т.е. степень деформации, отвечающей неравномерному фазовому переходу, при достижении которого спонтанно меняется механизм диссипации энерг ии (переход от деформации к разрушению). [c.100]

Физическими предпосылками, положенными в основу установления связи фрактальной размерности с предельной поперечной деформацией является следующие [18] классическая механика в однородной изотропной модели твердого тела использует три коэффициента упругости, являющихся характеристиками состояния вещества модуль Юнга Е, модуль сдвига G и коэффициент Пуассона V, определяемый отношением поперечной деформации к про- [c.100]

Рассмотрены обладающие свойством универсальности принципы макротермодинамики, синергетики и фрактальной физики. На базе этих принципов развита междисциплинарная методология анализа механического поведения материалов в критических точках, позволившая установить универсальные связи параметров, контролирующих эти точки, с фрактальной размерностью структуры среды вблизи неравновесных фазовых переходов. [c.2]

Как уже отмечалось, синергетика оперирует с диссипативными структурами, образующимися в неравновесных условиях в результате обмена энергией (или веществом) с окружающей средой при подводе внешней энергии к материалу. Их спонтанное образование предопределяет нарушение симметрии. Количественной мерой структуры с нарушенной симметрией является фрактальная размерность. Хотя теория фрактальной размерности была развита в математике еще в 20-е годы, однако в физику эти представления вопши недавно. [c.4]

Фракталами называют самоподобные объекты, инвариантные относительно локальных дилатаций, т.е. объекты, которые при наблюдении при различных увеличениях повторяют один и тот же (самоподобный) рисунок. Фракталы обладают также свойством универсальности. Слово "универсальный" означает "всеобъемлющий", а самоподобный означает подобный сам себе (подобно матрешкам, вложенным друг в друга). Понятия универсальность и самоподобие с развитием синергетики и теории фрактальных структур получили новую жизнь, так как принципы синергетики и фрактальной геометрии объединяют все науки. Универсальность фракталов заключается в том, что они инвариантны к природе объекта - физической, химической, биологической или какой-либо другой. Свойство универсальности фрактальных структуф позволяет использовать фрактальную размерность как единую количественную меру разупорядоченности структуры различной природы. В материаловедении традиционно используется евклидова размерность d, позволяющая описывать точечные дефекты размерностью d=0, отрезки прямых линий - d=l, плоских элементов - d=2, объемных - d=3. Однако, природа изобилует объектами с дробной размерностью, т.е. не отвечающей ни одной из указанных значений. Их структура может быть количественно оценена фрактальной размерностью, которая в силу того, что объект разрежен, всегда больше топологической размерности. [c.77]

Рисунок 2.3 - Ковер Серпинского Физический смысл определения фрактальной размерности регулярных фракталов сводится к след> ющему. Прямая линия представляет собой множество точек в пространстве при любом изменении масштаба мы получаем то же самое множество точек. Кроме того, параллельное смещение линии не изменяет множество. Это означает, что прямая инвариантна относительно переноса и изменения масштаба, т.е. обладает свойством самоподобия. Размерность подобия d для прямых, плоскостей и кубов равна, соответственно, 1, 2 и 3. В случае фрактальных множеств маспггабный множитель равен

Его фрактальная размерность равна 1,66 0,03. Фрактальную размерность таких структур, как правило, определяют путем получения фотофафий, выполненных с различным увеличением, с последующим нанесением на фотографии квадратной сетки. Далее подсчитывается число квадратов, в которое попали точки объекта. Фрактальная размерность определяется по величине тангенса угла накгюна прямой, построенной в двойных логарифмических координатах число отмеченных квадратов - коэффициент увеличения. Этот метод применим к квазиодномерным объектам. Дчя квазидвумерных струюур используют связь между массой М фрактала и радиусом R окружности, опоясывающей фрактал [c.87]

Р.И. Минц и др. [10J использовали этот метод для анализа фрактальных структур при кристаллизации жидкости на подложке. Определенная указанным методом фрактальная размерность для различных систем укладывалась в интервале 1 < D i 2. Обнаружен скачок D при К=Ккр, причем он был тем резче, чем больше R p. Отмечено, что критический размер фрактала отвечает про- [c.87]

Развитие представлений о фракталах ставит на новую основу анализ структуры пористых материалов. До настоящего времени структуру пористых материалов связывали с плотностью и размером пор. Однако, устойчивых закономерностей связи структуры со свойствами установить не удалось. Согласно концепции фракталов качества параметра структуры пористого материала следует принять фрактальную размерность, определяемую распределением пор по размерам. Если рассматривать систему из пустот пористого материала как кластер, то фрактальные свойства такого материала можно определить по рассеянию рентгеновского или нейтронного облучения. Д. Шефер и К. Кефер [11] для анализа структур, формирующихся в ходе случайных процессов в силикатных системах, использовали малоугловые рассеяния света и рентгеновских лучей. Схема на рисунке 2.8 иллюстрирует набор структур, которые ранее не были установлены в силикатах. [c.88]

Функция 1(К) имеет вид где х - показатель, в пределах которого BbinojnmeT H степенная связь I = Г(К). В этом случае х играет роль ( )рактапь-ной размерности, связывающей размер объекга R с его массой М. ля листоподобного фрактала 2 < D < 3. Для рассеяния от трехмерных объектов с фрактальными поверхностями х = 6 -, где - фрактальная размерность гладкой поверхности. Для пористых материалов х = 7 - у, где у - показатель, характеризующий распределение р(г) пор по их размерам [c.89]

Изрезанные границы зерен фрактальны (см. рисунок 2.11, б) и обуславливаются дробной фрактальной размерностью поверхности 2 < D < 3. Такая структура характерна для высокодеформированных границ. Существует даже термин "зубчатые границы", которые получаются путем термомеханической [c.93]

Другим методом исследования фрактальной размерности микроструктур и других объектов является клеточный метод, введенный Хаусдорфом enje в 1919 г. для определения дробной размерности объектов нестандартной формы. Он заключается в следующем. Исследуемый объект покрывается п-мерными кубиками со стороной равной I, причем при каждом акте покрытия / изменяет- [c.94]

Танака и Лицука (ссылку см. в [1]) для определения фрактальной размерности границ зерен использовали метод покрытия изучаемой на фотографии области равномерной квадратной сечкой с длиной стороны квадрата г (рисунок 2.13). Они подсчитали число квадратов N, стороны которых хотя бы один раз пересекают 1раницы зерен (на представленном рисунке N=36). Фрак-7яльную размерность D определяли из соотношения [c.96]

Рисунок 2.13 - Схематическое изображение метода определения фрактальной (поклеточной) размерности границ зерен по фотографии. N=36 Границу зерна рассматривали как топологически одномерную линию, хотя в действительности она является двухмерной плоскостью в трехмерном евклидовом пространстве твердого тела. Значение фрактальной размерности границ зерен получили на образцах с гладкими и извилистыми фаницами зерен, Их структуру изменили применением различных режимов термообработки. Улучшение характеристик ползучести связывали с разностью AD фрактальной размерности фаниц для двух типов - изрезанных и гладких. Было установлено, что увеличение сгепени фрактальности границ повышает долговечность т сплава. Аналогичные результаты были получены и на других сплавах. В таблице 2.1 приведены значения D для двух тигюн i-раниц изученных сталей и разность AD.

Эти данные определенно указывают на фрактальную природу фаниц зерен, независимо от степени их изрезанности, наблюдаемой при микроскопических исследованиях. Просматривается также корреляция между фрактальной размерностью фаниц и жаропрочностью сплавов. Фракгальность исходной [c.97]

Покажем это на примере исследова11ИЯ фрактальной размерности зерен-ной ст11уктуры (D) стали, разработанной для высоконагруженных труб нефтяного сортамента [16], содержащей 0,4% С, 10% Мп и 1,4% V, дополнительно легированной Ni (7-13%) и Си (0,5-4%). Для определения D использовали метод покрытия микрофотографии изучаемой структуры равномерной квадратной сеткой с длиной стороны г, изменяющейся в интервале 1 -25 мм D определялось по соотношению (2.20). [c.98]

Значения механических свойств и фрактальной размерности структуры границ зерен изученной стали (данные E.I. Курзиной и др.) [c.99]

Связь фрактальной размерности структуры зоны предразруше-ния при растяжении с механическими свойствами металлов и сплавов Пласгичность. [c.99]

Образование фрактальных структур в упругодеформированной среде связанно с возникновением в ней неоднородных флуктуаций плотности и сдвига 2Г . Самоподобие упругоизотропного фрактала при росте деформации сохраняется (причем фрактальная размерность самоподобной с фуктуры не изменяется, df onsi), если изменение его шютности при упругой деформации подчиняется закону, совпадающему с законом изменения плотности фрактала при изменении его геометрических размеров 113], т.е. если [c.102]

При переходе упругой деформации от микро- к мезоуровню и смене соответствующего типа фрактальной структуры югастеров коэффициент Пуассона изменяется вследствие накопления в локальных объемах дефектов и приобретает смысл эффективного коэффициента Пуассона Критическая деформация кластера о> С0держаще10 необратимые повреждения, связана с его критической фрактальной размерностью df соотношением вида 1131 [c.103]

Эти зависимости показаны на рисунке 2.14. Анализ этих соотношений привел к установлению минимального значения критической фрактальной размерности макрокластера, равного D =l,67, вплоть до которого изменение объема на микро- и мезоуровнях не нарушает закона постоянства объема при деформации на макроуровне. [c.105]

Интересно отметить, что фрактальная размерность модельног о кластера, полученного в процессе агрегации частиц ограниченной диффузией на квадратной решетке (d 2 модель Виттена-Сандера кластер - частица, случай броуновского движения частиц), имеет значение df l,68 0,07 [9]. При применении к указанной модели приближения среднего ноля, связанного с учетом среднего масштаба экранирования, ограничивающего глубину проникновения частиц вглубь кластера, в [18] получено общее для фрактальной размерности кластеров выражение [c.105]

В металлах и сплавах реализуется большое разнообразие структур - от высокоупорядоченных до полностью разупорядочеииых. Использование концепции фрактаюв применительно к микрострукт) рам в сплавах показало большую эффективность применения фрактальной размерности для количественного описания дислокационных структур, границ зерен, распределения частиц Б сплавах, строения поверхностей разрушения, дендритных структур и др. [c.106]

Особый интерес представляют структуры, самоорганизующиеся в точках бифуркаций в процессе эволюции неравновесной системы. Их фрактальная размерность инвариантна к внешним условиям, т.е. обладает свойствами универсальности и масштабной инвариантности. Использование этих свойств и параметра порядка D =l,67 позволяет определить критические параметры, контролирующие вязкохрупкий переход. Из установленной выше связи между фрактальной размерностью Dy, и критическим значением эффективного коэффициента Пуассона (соотношение 2.27) следует, что при =1,67 и Vjfj=v /о=0,17. С учетом того, что при вязкохрупком переходе а [c.107]

Анализ экспериментальных данных по температурной зависимости разных сталей с 0,5< [/<0,8 показал, что между критическим значением фрактальной размерности структуры зоны предразрушения, определяемой в процессе растяжения образцов при комнатной температуре (далее обозначена D ) по величине =0,5 и 0,33, и значениями to s и Гдзз существуют линейные зависимости [c.107]

Таким образом, в зависимости от типа динамической структуры, колличественно характеризующейся показателем фрактальной размерности зоны предразрушения, при понижении температуры может реализоваться структурный переход от рассеяного разрушения (в результате образования объемных фрактальных кластеров) к сосредоточенному разрушению за счет образования фрактального перколяционного кластера по фронту макротрещины. Этот переход отвечает критической температуре структурной хладноломкости, равной -75 С при D =l,67. Анализ литературных данных [c.108]

В ранее проведенных исследованиях [3] по установлению связи между фрактальной размерностью С1руктуры и механическими свойствами не учитывалась высокая информативность точек бифуркации, что ограничило применение установленных закономерностей, [c.108]

Мультифрактал представляют в виде взаимосвязанных подмножеств, каждое из которых характеризуется своей фрактальной размерностью. Так что мультифрактальный анализ сводится к определению спектра размерностей. Далее будут рассмотрены подходы и методы мультифрактальной параметризации структур. [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...