Уравнения Гамильтона. Фазовое пространство

Уравнения Гамильтона. Фазовое пространство [c.166]

УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО 167 [c.167]

УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО 109 [c.169]

Трубка интегральных кривых образована решениями системы уравнений Гамильтона, проходящими через заданный произвольный замкнутый контур Со начальных состояний системы в расширенном фазовом пространстве. Это — двухпараметрическая поверхность. Один из ее параметров — время, а другой определяет начальную точку на контуре Со. [c.659]

Перейдем к изучению инвариантов систем канонических уравнений Гамильтона, получающихся интегрированием по объему фазового пространства. Сначала докажем теорему Лиувилля об интегральном инварианте произвольной системы дифференциальных уравнений. Пусть движение точки пространства Л переменных х, .., ,Хт задано с помощью следующей системы дифференциальных уравнений [c.668]

Следствие 9.5.6. Движение, определенное системой канонических уравнений Гамильтона, сохраняет объем фазового пространства. [c.670]

Показать, что элемент площади любой двумерной поверхности фазового пространства сохраняется в силу канонических уравнений Гамильтона. [c.701]

Перейдем к рассмотрению доказательства принципа детального равновесия. Введем плотность условной вероятности в фазовом пространстве P( qP , pP qi], Pi), i). Величина P есть плотность вероятности нахождения системы в области фазового пространства с центром qi , р, в момент времени t, если сначала она находилась в точке qp , рр . Значения координат и импульсов частиц в момент времени t, qi , pi получаются на основе решения уравнений Гамильтона [77, 123] [c.182]

Интегрирование в (7.159) проводится по областям фазового пространства, отвечающим значениям переменной у, лежащим в интервалах у, у- -Ау при / = 0 и у, у + Ау — в момент времени t. Очевидно, практическое применение соотношений (7.159) для расчета функции f невозможно, хотя бы в силу необходимости для этого нахождения решений уравнений Гамильтона (7.155) для макроскопической системы. В дальнейших рассуждениях используются лишь наиболее общие свойства функции /, не требующие знания ее явного вида. [c.183]

Попытавшись изобразить все множество траекторий в лагранжевом пространстве конфигураций, мы получим безнадежно запутанное переплетение линий. Движение может начинаться из любой точки пространства конфигураций в произвольном направлении и с произвольной начальной скоростью. Невозможно получить какое-либо упорядоченное представление всех этих линий. Обратимся теперь к фазовому пространству уравнений Гамильтона — уравнений не второго, а первого порядка. При заданном положении С-точкн эти уравнения определяют значение ее скорости. Движение может начаться в любой точке фазового пространства, но задание одной точки Р однозначно определяет всю траекторию. Выражаясь аналитическим языком, можно сказать, что для полного решения канонических уравнений [c.203]

Общая параметрическая формулировка канонических уравнений в форме (6.10.15) с теоретической точки зрения обладает серьезными преимуществами по сравнению с другими формулировками. Ее можно считать наиболее выразительной формой канонических уравнений. Она совсем по-новому освещает роль консервативных систем. Заметим, что после преобразования времени t в одну из механических переменных любая система становится консервативной. Обобщенная функция Гамильтона К не зависит явно от независимой переменной т, и поэтому наша система в расширенном фазовом пространстве становится консервативной. Движение фазовой жидкости является установившимся, и каждая частица жидкости все время находится на какой-то определенной поверхности [c.221]

Цепь наших рассуждений, приведшая к распространению свойств консервативных систем на произвольные реоном-ны системы, основывалась на добавлении к фазовому пространству двух новых измерений t и pt. Можно действовать и другим методом, оставляя время t независимой переменной и сохраняя обычное фазовое пространство. Можно рассмотреть каноническое преобразование qi, pi в Q/, Pi, не вводя время t в число активных переменных преобразования. Время t входит в -такое преобразование только как параметр, т. е. уравнения преобразования, связывающие старые и новые переменные, непрерывно меняются. При таком зависящем от времени каноническом преобразовании функция Гамильтона Н не является инвариантной. Как видно из уравнения (7.4.13), функция Гамильтона Н для новой системы координат равна [c.273]

Это характерное свойство W-функций не имеет аналога в теории коби. Уравнение Гамильтона в частных производных приводит к некоторому тождеству, связывающему q , Pk, которое заставляет точку оставаться на определенной поверхности в фазовом пространстве. [c.294]

Решение динамической задачи, таким образом, сводится к квадратурам. Уравнение (18.2.21) определяет траекторию в -пространстве (безотносительно ко времени). Уравнения (18.2.20), (18.2.21) дают решение задачи Лагранжа о движении в g -пространстве, а уравнения (18.2.20) — (18.2.22) — решение задачи Гамильтона о движении в фазовом пространстве. [c.333]

Теорема Лиувилля. Для уравнений Гамильтона дивергенция поля А равна нулю. Отсюда следует (см. 21.8, п. 3), что объем протяженность) фазового пространства является инвариантом преобразования, определяемого дифференциальными уравнениями. Иными словами, фазовая жидкость несжимаема . В этом состоит известная теорема Лиувилля, играющая важнейшую роль в кинетической теории газов. Как известно, множителями системы являются ее пространственные интегралы, они удовлетворяют условию [c.439]

Примеры инвариантных областей. Рассмотрим систему, для которой функция Гамильтона ограничена снизу в фазовом пространстве. Можно считать, что точная нижняя грань функции Гамильтона равна нулю этого всегда можно добиться, если прибавить к этой функции надлежащим образом выбранную постоянную (что не изменяет уравнения движения) или изменить произвольную постоянную в функции V. Будем предполагать также, что поверхность Н = h (Л > 0) является замкнутой. Но функция Н представляет собой интеграл уравнений Гамильтона, гак что поверхность // = А (А > 0) является инвариантной областью. Замкнутая область, ограниченная двумя такими поверхностями (т. е. множество точек х, для которых hi Н (ж) Аг), также представляет собой инвариантную область. [c.441]

Можно дать новое, весьма изящное доказательство теоремы Пуассона ( 22.3). Возьмем в качестве функции ф известный интеграл исходной системы Гамильтона, при этом семейство траекторий в фазовом пространстве преобразуется само в себя, т. е. каждая траектория преобразуется в другую, близкую траекторию системы. Если а з (д р t) есть другой интеграл уравнений Гамильтона, то приращение его при контактном преобразовании (т. е. разность г]) Q Р i) — г (д р t)) будет равно (г з, ф) эта последняя величина остается постоянной, поскольку преобразованная траектория является одновременно траекторией исходной системы. Таким образом, (г ), ф) является функцией от (д р г), которая сохраняет постоянное значение вдоль траекторий гамильтоновой системы, иными словами, если ф и г з — известные интегралы уравнений Гамильтона, то (t 5, ф) также будет интегралом этих уравнений, и теорема Пуассона, таким образом, доказана. [c.518]

Принцип Даламбера. Уравнения Лагранжа и Гамильтона. Канонические преобразования. Теория Гамильтона — Якоби. Особое внимание к геометрии фазового пространства. [c.441]

Эволюция во времени микроскопического состояния описывается траекторией q t) p t)) в пространстве Г. При этом фазовые переменные qi t) и pi t) изменяются со временем согласно уравнениям Гамильтона [c.12]

Каждой системе, входящей в ансамбль, соответствует точка в фазовом пространстве q p). С течением времени каждая такая фазовая точка движется по собственной траектории согласно уравнениям Гамильтона (1.1.1). [c.14]

Уже отмечалось, что динамическое состояние классической системы задается точкой q p) в фазовом пространстве Г. Состояние с q = q и р = —р будем называть обращенным во времени динамическим состоянием. Когда координаты и импульсы изменяются со временем согласно уравнениям Гамильтона (1.1.1), точка X t) = описывает некоторую траекторию в фазовом пространстве. Определим [c.20]

Более ясное качественное представление о соответствии между классической и квантовой теориями достигается при их изложении в идентичной форме. Такая возможность связана с использованием взамен уравнений Шредингера эквивалентных гейзенберговских уравнений движения для динамических переменных, которые совпадают по форме с классическими уравнениями Гамильтона, отличаясь от них операторным характером и не-коммутативностью канонических импульсов и координат. Еще большее сближение формализма достигается при описании квантовых динамических переменных числовыми функциями классических фазовых переменных Х — (д, р). Это возможно после введения линейного базиса е(Х) в пространстве квантовых динамических переменных на основе представления [c.385]

Геометрическое представление движения в пространстве 2к измерений впервые предложил американский физик Д. Гиббс (1839—1903), который и ввел понятие фазового пространства, считая, что ряд являются ортогональными координатами 2й-мерного евклидова пространства. Использование фазового пространства вносит ряд преимуществ при изучении движения механических систем. Так, например, на многие вопросы механики нельзя дать удовлетворительный ответ, рассматривая одно частное решение системы, соответствующее определенным начальным данным. Необходимо знать все множество траекторий. Движение может начинаться из любой точки /г-мерного пространства в произвольном направлении. В фазовом пространстве задание одной точки Р однозначно определяет всю траекторию. Для полного решения канонических уравнений Гамильтона необходимо знать величины <7,- и р как функции времени 1 я 2к постоянных интегрирования, которые можно интерпретировать как значения 2к координат фазового пространства в момент = 0. Рассматривая 2к координат как различные измерения в фазовом пространстве, можно изобразить полное решение канонических уравнений в упорядоченном виде без пересечений в виде бесконечного множества кривых, заполняющих 2 - -1-мерное пространство (пересечение кривых означало бы, что в одной и той же точке возможны две касательные к кривой, а канонические уравнения при отсутствии особых точек определяют единственную касательную). [c.468]

Аналогичная ситуация возникает и при изучении движения системы с помощью канонических уравнений Гамильтона. Возникает задача — найти такое преобразование фазового пространства, после которого канонические уравнения, в новых переменны.х, можно было бы сравнительно просто проинтегрировать. [c.473]

Пусть 7—замкнутая кривая в расширенном фазовом пространстве М X Ш = z,t гамильтоновой системы i = JH z,t). Каждая точка (zo,to) Е 7 определяет единственную регулярную кривую (z(t), t) в М xR, где z(-) — решение уравнений Гамильтона с начальным условием z(to) = zq. Совокупность этих кривых заметает цилиндрическую поверхность П в М х R, которая называется трубкой траекторий. Согласно теореме Пуанкаре — Картана [69], интеграл ydx— Hdt имеет одно и то же значение для всех гомологичных замкнутых кривых 7 на П (одинаково охватывающих трубку траекторий П). [c.21]

Зафиксируем одну из этих квадрик ( первую ) и рассмотрим уравнения Гамильтона в пространстве прямых, функцией Гамильтона которых является первая индуцированная функция прямой. Каждая фазовая кривая на фиксированной поверхности уровня функции Гамильтона состоит из касательных прямых одной геодезической квадрики (лемма А). Остальные индуцированные функции имеют с этой функцией нулевую скобку Пуассона по лемме В (ибо плоскости, касающиеся конфокальных друг другу поверхностей в точках одной прямой, ортогональны по теореме 2). [c.441]

Фазовой траекторией называют кривую, описываемую фазовой точкой. Таким образом, изучая поведение фгзовой точки, мы получаем полную информацию о динамическом состоянии системы. Следует иметь в виду, что через каждую точку фазового пространства проходит только одна фазовая траектория, так как уравнение Гамильтона однозначно определяет динамическое состояние системы. Фазовая траектория, очевидно, не может пересечь себя, поскольку в противном случае имела бы место двузначность в точке пересечения. [c.8]

Введение. Мы привели дифференциальные уравнения движения к особенно удобному каноническому виду. Однако наша конечная цель будет достигнута только тогда, когда мы сможем решить эти уравнения. Поскольку нам неизвестен метод непосрественного интегрирования этих уравнений, то приходится идти косвенными путями. Одним из таких путей является метод преобразований координат. Мы пытаемся отыскать такую систему координат в фазовом пространстве, в которой входящая в канонические уравнения функция Гамильтона имела бы настолько простой вид, чтобы уравнения движения могли быть непосредственно проинтегрированы. Естественно, что с этой точки зрения желательно исследовать всю группу преобразований координат, связанных с каноническими уравнениями. Изучение этих канонических преобразований оказывает ценную помощь при интегрировании уравнений механики. Теория канонических преобразований в основном связана с именем Якоби. Хотя он, возможно, и не обладал воображением, присущим Гамильтону, и его усилия были в основном направлены на решение задачи интегрирования уравнений, однако открытие канонических преобразований явилось все же огромным достижением. Получившаяся в результате теория интегрирования сыграла важную рель в развитии современной атомной физики. В далеко идущих исследованиях Гамильтона проблема интегрирования являлась второстепенной задачей. [c.225]

В этой главе прежде исего будет рассказано о том, как можно описать движение механической систел1ы с 5 стеиенями свободы в 25-мерном фазовом пространстве. Канонические уравнения выводятся из уравнений Лагранжа, Канонические преобразования обсуждаются весь 1а кратко, более подробно рассматриваются свойства скобок Пуассона, их инвариантность относительно канонических преобразований, их значение для отыскания интегралов движения и связь с бесконечно малыми контактными преобразованиями. Бегло рассмотрен случай движения заряженной частицы Б электромагнитном поле. В последнем параграфе принцип наименьшего действия выводится из вариационного принципа Гамильтона и обсуждается вопрос о том, как молено рассматривать время на равных правах со всеми остальными координатами q . [c.123]

Могут спросить, в чем значение канонических уравнений движения. Здесь можно сослаться на два обстоятельства. Первое из них заключается в том, что квантовая механика (как старая квантовая механика, так и современная — волновая или матричная) основывается скорее на гамильтоновом формализме, чем на лагранжевом следует отметить, однако, что лагранжев формализм оказывается чрезвычайно полезным для полевой теории. Второе же обстоятельство состоит в том, что формализм Гамильтона особенно удобен для теории возмущений, т. е. для рассмотрения таких систем, для которых невозможно получить точные решения уравнений движения. Поскольку такие системы являются скорее правилом, чем исключением, то очевидно, что для теории возмущений имеется необъятная область применения — как в классической, так и в квантовой механике. Мы вернемся к теории возмущений в гл. 7, но в оставшейся части этой главы и в следующей главе мы подготовим весь формальный аппарат, необходимый для того, чтобы перейти к теории возмущен и1. Наконец, нельзя не упомянуть и тот факт, что статистическая механика широко использует гамильтонов подход 2s-Mepnoe (р, (7)-простраиство в статистической механике называется фазовым пространством. [c.126]

Для нолучения Г. р. вводится статистический ансамбль Гиббса совокупность большого (в пределе бесконечно большого) числа копий данной системы (клас-сич. или квантовой), соответствующих заданным макро-сконич. условиям. Рассматривается распределение систем (членов ансамбля) в фазоеом пространстве координат q И импульсов р частиц или по квантовым состояниям всей системы. Г. р. имеют место как для состояний классич. системы с ф-цией Гамильтона ff(p, ф в фазовом пространстве (р, q)= р ,.. р , i,- Ы всех N частиц системы, так и для квантовых состояний системы с уровнями анергии ёГ. р. в классич. статистике зависят от координат и импульсов лишь через Н (р, q) и не зависят от времени, удовлетворяя Лиу-вилля уравнению, к-рое выражает сохранение плотности вероятности в фазовом пространстве. Г. р. в квантовой статистике зависят от гамильтониана системы Й, удовлетворяя квантовому ур-нию Лиувилля, выражающему эволюцию во времени матрицы плотности. [c.452]

При ЭВ0ЛЮ1ЩИ системы изображаюш ая точка движется по траектории в фазовом пространстве (см. фиг. 1.2.1, в). Эту траекторию можно представить совокупностью 2N функций времени 9i ( ) Pi (0. которые определяются как решения уравнений Гамильтона [c.18]

При переходе от классической механики к квантовой не только изменяются понятия состояния системы и уравнений движения — вместо точки фазового пространства состояние характеризуется Т-функцией и вместо уравнений Гамильтона появляется уравнение Шредингера,— но также коренным образом изменяется и отношение этих понятий к опыту. В классической теории мы предполагаем, что какое-то определенное, хотя бы и неизвестное нам микросостояние существует независимо от опыта, и что любой немаксимально полный опыт, выделяющий область фазового пространства ДГ , лишь определяет границы, внутри которых лежит это микросостояние, никак на него не влияя. В квантовой механике, во-первых, утверждение о существовании определенной Т-функции может быть сделано лишь [c.135]

Рассмотрим некоторые аспекты теории понижения порядка гамильтоновых систем с симметрией. Пусть система уравнений Гамильтона q, = dH/dpi, pi = -dH/dqi (l г n) имеет линейный интеграл F = Ylfi Q)Pi- Ему естественным образом соответствует однопараметрическая группа симметрий пространства положений N—фазовый поток системы уравнений [c.36]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...