Условия квантования, ВКБ из фазового пространства

Обычно квантовомеханический гамильтониан идентифицируется с радиальной частью квадратичного оператора Казимира полупростой группы Ли С в подходящей параметризации. При этом выбор базисных функций в пространстве представления О играет ту же роль, что и выбор начальных условий в фазовом пространстве функциональной группы для классической задачи (см. IV. 6). Скобки Пуассона, определяющие классическую систему, заменяются на коммутаторы динамических переменных соответствующей квантовой системы. Существует глубокая взаимосвязь между решением задачи квантования и теорией представлений групп, впервые установленная Костан-том для систем типа цепочки Тода, для которых получено интегральное представление однокомпонентных волновых функций [c.230]

В предыдущих главах мы сформулировали вигнеровское представление квантовой механики, в частности, представление произвольного квантового состояния. Это одна возможность. Другой, ещё более простой способ основан на ВКБ-анализе собственного энергетического состояния, рассмотренный в предыдущей главе. Суть метода — в представлении собственного энергетического состояния в виде единственной траектории, как показано пунктирными линиями на рис. 7.1. Как следует из условия квантования Бора-Зоммерфельда-Крамерса, эта крамерсовская траектория для т-го собственного состояния данной энергии охватывает в фазовом пространстве площадь 27гЙ(ш + 1/2). [c.220]

Менее традиционные применения связаны с вычислением коротковолнового приближения для собственных значений и собственных функций операторов Шредингера, Лапласа и Бельтрами — Лапласа [91]. Дальше для определенности будем говорить об операторе Шредингера. Формулы коротковолнового приближения позволяют по решениям уравнений движения классической механической системы строить приближенные решения уравнения Шредингера, описывающего поведение соответствующей квантовой системы. В частности, если классическая система имеет в фазовом пространстве инвариантный тор, удовлетворяющий арифметическим условиям квантования, то формулы коротковолнового приближения позволяют построить по этому тору асимптотику собственного значения оператора Шрёдингера и соответствующей почти-собственной функции . В близкой к интегрируемой системе есть много инвариантных торов, причем они образуют гладкое семейство (п. 2.2). Соответственно, вообще говоря, есть много торов, удовлетворяющих условиям квантования. Это позволяет приблизить большую часть спектра соответствующего оператора Шрёдингера. [c.213]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...