Фазовое пространство случайного Процесса

Совокупность реализаций фазовой траектории случайного процесса X t) и анализ возможного характера протекания процесса во времени определит область состояний Gt, т. е. такую область в фазовом пространстве, в которую попадают все значения параметров за данный промежуток времени t = Т. Если эта область является частью области работоспособности G, т. е, его подмножеством G с G, то изделие будет устойчиво по отношению к отказам, так как вероятность его возникновения F (t) = = О, Это условие можно записать так же, как [c.48]

В выражениях (4.171), (4.172) v (t) — случайный вектор в пространстве качества V Q — область в этом пространстве, характеризующая допустимые состояния системы Г — граница допустимой области — нормальная по отношению к границе составляющая вектора скорости v ( ) Vf — значения вектора v (t) на поверхности Г. Для двумерной области (4.170) компоненты вектора качества и соответствующая плотность вероятности выражаются через фазовые переменные случайного процесса и (t) следующим образом [c.129]

Для того чтобы использовать рассмотренную выше теорию для описания поведения частицы с учетом инерции, необходимо расширить фазовое пространство, включив в него не только положение, но и скорость частицы. Такой формально определенный двумерный (или в трехмерном пространстве — шестимерный) случайный процесс z(t) = (x t), v(t)) уже оказывается марковским. Используя полученные в гл. IV формальные решения стохастического уравнения Ланжевена, с учетом (4.6) находим при малых Ai (см. (4.7), (4.8) [c.72]

Процесс потери машиной работоспособности может быть представлен в виде траектории случайной функции X (/) в л-мерном фазовом пространстве. [c.45]

Эти причины, как было показано выше (гл. 1, п. 3), связаны с воздействием на машину различных видов энергии, приводящих к возникновению процессов, снижающих начальные параметры изделия. На характер реализаций случайных функций, описывающих траекторию изменения состояния в фазовом пространстве, решающее влияние оказывает физика процессов старения и их взаимодействие с изделием. [c.50]

Как в стоячей, так и в бегущей волне происходит не только детерминированное движение атомов, но н их диффузия в фазовом пространстве вследствие того, что акты поглощения и испускания фотонов — чисто квантовые случайные процессы. Коэф. пространств, диффузии для атома с массой М в бегущей волне равен [c.554]

Если параметрическое возбуждение отлично от белого шума, анализ устойчивости существенно усложняется. Стационарный нормальный процесс с дробно-рациональной спектральной плотностью можно получить, пропуская белый шум через линейный фильтр с постоянными параметрами. В статье [65] было предложено расширять фазовое пространство с помощью переменных, описывающих процесс в системе фильтра, и исследовать устойчивость по отношению к моментным функциям в расширенном фазовом пространстве. Таким путем были построены области устойчивости для случайных процессов со скрытой периодичностью и обнаружены аналога побочных параметрических резонансов. Ряд примеров приведен в работе [8], где также дано сопоставление теоретических результатов с данными вычислительного эксперимента. [c.531]

Вектор скорости и( ) изображающей точки системы в ее фазовом пространстве скоростей можно рассматривать как случайный процесс с независимыми приращениями. [c.438]

В системах с одной степенью свободы, фазовым пространством которых является плоскость, возможны периодические колебания. Когда говорят о детерминированности, имеется в виду однозначность, взаимосвязь причины и следствия, а представления о хаосе уподобляют случайному процессу, т.е. хаос отвечает состоянию, при котором изменение во времени состояния системы нельзя ни предсказать, ни воспроизвести [4,6,7]. [c.21]

Система Лоренца. Возникает вопрос возможно ли хаотическое поведение реальных динамических систем в ограниченной области фазового пространства В системах с одной степенью свободы хаотическое движение невозможно. Действительно, стохастичность возникает при перепутывании и расходимости траекторий. Однако, в силу того что фазовые траектории не пересекаются, единственно возможными аттракторами в ограниченной области являются предельные циклы и неподвижные точки. Ситуация меняется в случае трехмерного фазового пространства (система с 1, 5 степенями свободы). До недавнего времени никто, например, не сомневался в том, что в принципе можно достичь точного прогноза погоды, обработав достаточное количество информации. От этого подхода пришлось отказаться благодаря поразительному открытию детерминированные системы с малым числом степеней свободы ведут себя хаотически, причем случайное поведение имеет принципиальный характер — от него нельзя избавиться, собирая больше информации. Здесь случайный процесс определяется вероятностью того, что динамическая переменная может принять любое значение из некоторой области фазового пространства. [c.179]

В общем случае случайный процесс определяется как семейство измеримых отображений g, пространства элементарных событий 2 в некоторое измеримое пространство А (фазовое пространство процесса точки А называют состояниями процесса),, параметризованных параметром t ( время ), который в нашем случае пробегает R, R+,Z или N. Нас интересуют стационарные (в узком смысле) процессы (условие стационарности — аналог изолированности или автономности). К числу таковых принадлежат процессы, которые получаются так имеются измеримая [c.158]

Рассмотрим некоторые способы вывода соотношений типа (24.36), формально не опирающиеся на гипотезы подобия. Начнем с гипотезы Обухова (19596), согласно которой процесс изменения координаты X и скорости V выделенной жидкой частицы можно считать марковским случайным процессом в шестимерном фазовом пространстве (X, V) (по поводу определения марковского процесса см., в частности, стр. 532—533 части 1 настоящей книги). Эту гипотезу мы подробно обсудим в п. 24.4 (см. ниже стр. 505— 508). Пока же отметим, что из нее автоматически следуют родственные [c.484]

Фазовое пространство 288 Флуктуации термодинамические 26 Фоккера—Планка уравнение 94, 96 Фонтанирования эффект 217, 244 Функция распределения в теории случайных процессов 141 [c.447]

Иначе говоря, мы предполагаем, что плотность р (г , р ,. ) остается достаточно постоянной в течение соответствующего времени в области (я, я-(- я) в фазовом пространстве. Это предположение о случайности распределения не может, конечно, выполняться точно во все моменты времени. Мы предполагаем здесь справедливость его для временных интервалов, представляющих интерес с макроскопической точки зрения. Процессы, для которых справедливо уравнение (137), называются марковскими. [c.203]

Весьма общими вероятностными характеристиками процесса х () являются функции распределения одноточечные Р х, I), двухточечные Р х, 1 Хх, Ц) и т. д. Их определение приводит нас к задаче усреднения уравнений непрерывности для траекторий в фазовом пространстве динамических систем. Такие уравнения [стохастические уравнения Лиувилля) является уравнениями в частных производных по и координатам фазового пространства системы х = (х1, х ,. . х ) и содержат случайно меняющиеся параметры а 1). Уравнения, которым подчиняются вероятностные распределения Р х, 1 носят [c.11]

Необходимо сделать еще одно замечание относительно связи фрактальной геометрии и фрактальной физики со случайными процессами и их исследованием методами математической статистики. Дело в том, что свойства той или иной фрактальной структуры целиком определяются процессами её породившими. Если не рассматривать регулярные фракталы, представимые как предел последовательности некоторых рекурсивных преобразований в математических примерах конструирования подобных объектов, то в остальных случаях наиболее важными являются стохастические фрактальные системы, порождаемые в ходе некоторого случайного процесса. Например, широко используемом для порождения и анализа свойств фрактальных объектов в численных экспериментах является метод ограниченной диффузией агрегации (ОДА) [43], при котором процесс образования фрактального агрегата описывается как последовательное налипание частиц диффундирующих издалека к области, где растет агрегат таких частиц, к какой-либо точке (частице), уже сформированного на предыдущих шагах агрегата. Другие примеры связаны с анализом задач о случайном блуждании (обобщения статистических моделей диффузии, броуновского движения и т.п.). Статистические свойства характеризующих эти случайные процессы случайных величин и порождаемых ими в физическом или фазовом пространстве траекторий оказываются в общем случае описываемыми устойчивыми по Леви распределениями [44], представляющими собой обобщение классических нормальных (гауссовых распределений). [c.149]

Винеровский процесс (стандартный) —это гауссовский случайный процесс с параметрическим множеством 7 = [0, оо), фазовым пространством Х=Ю=(—оо, оо) [c.65]

Если случайные функции Nk t) не являются б-коррелированными случайными процессами, а относятся к классу произвольных стационарных или со стационарными приращениями процессов, то увеличением числа переменных и соответствующим увеличением количества уравнений вновь можно прийти к случаю описания динамических систем в форме (3,28). В этом случае возникает ситуация, в которой некоторые из компонент вектора N (t) являются результатом прохождения б-коррелированных процессов через формирующие фильтры, а также допредельными моделями последних. Упомянутые компоненты следует рассматривать как дополнительные фазовые координаты расширенного фазового пространства динамической системы (3.28). Данный подход особенно удобно использовать при моделировании динамических систем (3.28) на АЦВМ. Произвольному нестационарному случайному процессу N (t) по известной лемме из теории случайных функций [69] можно сопоставить энергетически эквивалентный б-кор-релированный случайный процесс. [c.158]

Сложную структуру имеют ветровые волны, характеристики к-рых определяются скоростью ветра и временем его воздействия на волну. Мехлниам передачи энергии от ветра к волне связан с тем, что пульсации давления в потоке воздуха деформируют поверхность. В свою очередь эти деформации влияют на распределение давления воздуха вблизи водной поверхности, причём эти два эффекта могут усиливать друг друга, и в результате амплитуда возмущений поверхности нарастает (см. Автоколебания). При этом фазовая скорость возбуждаемой волны близка к скорости ветра благодаря такому синхронизму пульсации воздуха действуют в такт с чередованием возвышений и впадин (резонанс во времени и пространстве). Это условие может выполняться для волн разных частот, бегущих в разл. направлениях по отношению к ветру получаемая ими энергия затем частично переходит и к другим волнам за счёт нелинейных взаимоде11Ствий (см. Волны), В результате развитое волнение представляет собой случайный процесс, характеризуемый неирерывным расиреде-ление.м энергии ио частотам и направлениям (пространственно-временным спектром). Волны, уходящие из области действия ветра (зыбь), приобретают болео регулярную форму. [c.333]

При исследовании стохастичности ДС иногда удаётся обнаружить ф-ции /, к-рые порождают случайные процессы/ с достаточно быстрым, напр, экспоненциально быстрым, убыванием при с-юо ковариационной функции K t)=Ef,+,f,-Efi+,Efs (где Е—матем. ожидание, т. е. интеграл по мере J1, а черта означает комплексное сопряжение). Часто оказывается, что те же процессы f, удовлетворяют центральной предельной теореме [в случае дискретн. времени и веществен, ф-ции / последнее означает, что распределение случайной величины DS ) S —ES ), где 5 =/о +. ..+/ -1, а Z)5 = (S,- S ) —дисперсия, стремится при 1 >сс та нормальному распределению с нулевым матем. ожиданием и единичной дисперсией]. Ф-ции/с этими свойствами могут существовать даже в том случае, когда система обладает не очень явно выраженной стоха-стичностью, но наличие таких свойств у самых простых и естеств. ф-ций, определённых на фазовом пространстве,—достаточно надёжный признак стохастичности. [c.629]

Предположим, что случайное воздействие v (t) есть гауссовский стационарный процесс с дробно-рациональной спектральной плотностью. Тогда v (/) можно представить как многомерный однородный марковоций процесс в фазовом пространстве, соответствующем вектору у г/1,. .., Уп, где уу = v, у = v..... [c.137]

Динамическая природа турбулентности. Сделаем несколько общих замечаний о динамической природе турбулентности в нелинейной диссипативной газожидкой системе, которая может обмениваться с окружающими телами как энергией, так и веществом (в силу чего возможно образование различных пространственно-временных структур, последовательности которых и составляют процесс самоорганизации). При наличии турбулентности каждая индивидуальная частица такой среды движется случайно, так что ее координаты и направление движения изменяются со временем по закону марковского случайного процесса. Полное статистическое описание турбулентного течения сводится к определению вероятностной меры на его фазовом пространстве (г,/ ), состоящем из всевозможных индивидуальных реализаций характеризующих его случайных термогидродинамических полей. Поэтому турбулентность можно рассматривать на основе статистической механики многих частиц (см., напр., (Обухов, 1962)), или для ее описания использовать кинетическое уравнение, являющееся аналогом уравнения Больцмана в фазовом пространстве для некоторой условной функции плотности распределения вероятностей /турб Р О служащей основной статистической характеристикой пульсирующего движения (Клгшонтович, [c.20]

Изложение применения метода Монте-Карло для исследования жидкостей будет неполным, если хотя бы кратко не коснуться его соотношения с методом молекулярной динамики, рассмотренным в гл. 4 первого тома. Объединяет оба эти метода то, что они применяются к малым конечным системам, используют одинаковые периодические граничные условия, оба дают для подобных систем точные решения, но для различных задач. В методе молекулярной динамики асимптотически точные результаты в принципе получаются путем усреднения по времени функций фазового пространства вдоль одной или нескольких характерных фазовых траекторий системы с помощью интегрирования элементарных уравнений движения Ньютона для системы. Равновесные свойства получаются в результате усреднения по времени, проводимого после затухания переходного процесса, обусловленного выбором начального состояния. В методе Монте-Карло асимптотически точные результаты для средних по различным конфигурациям, определяемых в том или ином статистическом ансамбле, получаются путем усреднения по случайным блужданияль в этом конфигурационном пространстве. (Различие двух методов, заключающееся в том, что в методе молекулярной динамики траектория определена в фазовом пространстве координат и импульсов системы, а в методе Монте-Карло — в конфигурационном пространстве, являющемся проекцией фазового пространства на координаты [c.316]

Многочисленные приложения хаотической динамики в самых разных областях физики и техники, а также других наук обязаны тому существенно новому и принципиально важному обстоятельству, что статистические законы, а вместе с ними простое статистическое описание более не ограничены (нашим незнанием ) только очень сложныки системами с большим числом степеней свободы. Напротив, при определенных условиях, которые сводятся в основном к сильной (экспоненциальной) локальной неустойчивости движения в некоторой области фазового пространства, динамический хаос возможен, например, всего при двух степенях свободы консервативной гамильтоновой системы. Источник чрезвычайной сложности, характерной для индивидуальной реализации случайного процесса, оказался совсем не там, где его искали со времен Больцмана Дело вовсе не в сложном устройстве конкретной динамической системы (и ж тем более не в числе ее степеней свободы) и даже не во внешнем шуме (что есть только иное выражение сложности другой снстелш — окружающей среды), а в точно заданных начальных условиях движения. В силу непрерывности фазового пространства в классической механике эти начальные условия содержат бесконечное количество информации, которое при наличии сильной неустойчивости и определяет предельно сложную, непредсказуемую и невоспроизводимую картину хаотического движения. Такая система не забывает свои начальные условия, а наоборот, следует им во всех мельчайших деталях и именно это и приводит к хаосу, который с самого начала заложен в этих деталях. Конечно, с точки зрения физики все это — весьма существенная идеализа- [c.5]

Случайные процессы как динамические системы. Симво-лическая динамика. До сих пор речь шла о системе с детерминированным изменением состояний (элемент случайности мог бы прн этом войти только как начальное распределение вероятностей на фазовом пространстве). В теории вероятностей-вводится понятие случайного процесса , формализующее представление о классической (неквантовой) систем , эволюция ко-, торой е--являеч -детермшгир5вздпгой7 "но имеет определенные вероятностные хараМёристйкй. Не воспроизводя полностью соответствующих формулировок, отмечу то, что нужно для ТДС> [c.158]

Нелннейное взаимодействие. С ростом амплитуды возбуждаемых волн возникают нелинейные эффекты, ограничивающие амплитуду волн и приводящие к изменению параметров системы плазма — пучок благодаря обратному воздействию возбуждаемых волн. При возбуждении широких волновых пакетов, фазовые скорости к-рых плотно заполняют область изменения фазовых скоростей, области захвата частиц пучка соседними волнами перекрываются. При этом благодаря случайному характеру фаз волн движение частицы аналогично броуновскому и происходит диффузия резонансных частиц в пространстве скоростей. Для описания процессов взаимодействия пучка с плазмой в этом случае возможен статистич. подход. [c.184]

Стохастизация перестройки мартенситной макроструктуры связана со случайным распределением по пучку возможных траекторий в ультраметрическом пространстве (явления типа фазового наклепа приводят к изменениям функции распределения по этим траекториям). При этом следует иметь в виду, что в процессе мартенситного превращения дерево Кейли не сохраняет жесткий каркас — при циклировании макроструктуры оно может изменять свою структуру. Это изменение связано прежде всего с образованием дефектов в ходе фазового наклепа. Поскольку они препятствуют течению мартенситного превращения, то это означает локальное удлинение горизонтального дерева — в отдельных областях ультраметрического пространства происходит изменение метрики, отвечающее уменьшению ветвимости горизонтального дерева [c.193]

В свое время И. Пригожин [11] ввел понятие открытых систем, т.е. таких физических систем, через которые могут протекать потоки энергии и энтропии. При достаточно больших потоках в таких системах могут происходить явления нелинейной самоорганизации. Аналогичные процессы могут развиваться и в квантовых системах. Связь квантовых систем с внешним миром может быть очень малой, но она, тем не менее, может приводить к радикальному их изменению и к квантовой самоорганизации. Такие системы можно назвать информационно открытыми системами. Сильное влияние внешнего окружения на сложные квантовые системы связано с возможностью декогерентности, т.е. уничтожения фазовых корреляций у различных компонент волновой функции. В том случае, когда речь идет об одной частице, такая декогерентность выглядит как коллапс со случайным уничтожением составляющих волновой функции в широких областях пространства. А у обычных макротел "информационное общение" с окружением приводит к стягиванию волновых функций (зависящих от координат центра масс) в очень узколокализованные пакеты, т.е. к превращению макротел в классические объекты. При квантовых измерениях происходит соприкосно- [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...