Пуанкаре сечение

Для визуализации хаотических движений двухстепенных систем используют отображение Пуанкаре сечение Пуанкаре, фазовое сечение), сводящее фазовый поток к дискретному двумерному отображению плоскости на себя. [c.55]

Пространство действий 344 —347 Пуанкаре сечение 15, 31—34. 53, 60, 61, 65 — 67, 69, 102, 103, 140, 141, 177, 411 [c.525]

Пример. Множество всех касательных векторов к двумерной поверхности Л/ образует двумерное векторное Р. (касательное Р.) 1 = ГЛ/. Векторное поле на № определяет сечение в Р. ГД/ . Классич. теорема Пуанкаре утверждает, что единственное замкнутое многообразие Л/ , допускающее гладкое касательное поле без особенностей на Л/ , — тор Г . Нетрудно доказать, что теорема Пуанкаре включает следующее утверждение только касательное Р, к Г есть прямое произведение. [c.284]

Пусть две замкнутые кривые 71 и 72 — сечения поверхности П соответственно плоскостями i = и i = 2- Тогда f ydx = = J ydx, этот результат впервые получен Пуанкаре [146, т. П1]. [c.21]

Рассмотрим двумерное сечение трехмерной поверхности интеграла энергии, на которой расположены решения системы (3.11), гиперплоскостью Х2 = 0. Периодические траектории (3.12) пересекают это сечение в точках, которые являются неподвижными при отображении Пуанкаре. Так как они имеют гиперболический тип, то можно ставить вопрос о взаимном расположении их устойчивых и неустойчивых сепаратрис. Эта задача исследована численно в работе [138]. Результат представлен на рис. 24. [c.275]

Другой тип сечения не связан со спецификой системы (1)-(3) и представляет собой стандартное сечение Пуанкаре [c.242]

Применение вектора Стокса дает возможность эффективно рассчитывать преобразование излучения поляризационными системами, обеспечивая при этом достаточную наглядность путем интерпретации нормированного вектора Стокса как точки на единичной сфере. Это возможно благодаря тому, что три компоненты Si, З2 и З3 вектора Стокса можно рассматривать как координаты в декартовой системе, а So — как единичный радиус сферы. Сфера, на которой расположен конец вектора Стокса, соответствующий любой форме поляризации, называется сферой Пуанкаре. Таким образом, каждая точка на сфере однозначно сопоставляется с определенной поляризацией (рис. 4.1.3). При описании положения точки на сфере обычно используют географическую терминологию, т. е. верхняя P и нижняя Рг точки сферы называют полюсами, а различные окружности в сечении сферы — меридианами, параллелями и экватором. [c.248]

Бифуркация удвоения периода. В трехмерных системах возможны новые бифуркации, анализ которых удобно провести методом сечения Пуанкаре. Выберем в фазовом пространстве х, у, г поверхность г = (р х, у). Тогда координаты = Уп) и рп+1 = хп+1, Уп+1) двух последовательных пересечений траектории с поверхностью могут быть связаны соотношением Рп+1 = рп). Оператор Г определяется в результате интегрирования уравнений движения и задает отображение Пуанкаре. Периодическому движению соответствует неподвижная точка ро = Г(ро). [c.173]

Функция У (р) имеет минимальное значение Кгт = 1/12 при значении (ртт — тг/2, Т.е. В точке XI — о, Х2 — 1/2. Поскольку Н х, р) — Е является первым интегралом, то траектории лежат в трехмерном объеме четырехмерного фазового пространства. Если движение регулярно, то траектории будут пересекать двумерную поверхность Х1 — О (сечение Пуанкаре) по некоторой кривой. При Е = 1/12 эти кривые — замкнутые и непрерывные траектории — лежат на двумерных поверхностях. Значению Е — 1/8 соответствует переход от порядка к хаосу. При Е — 1/6 почти все пары траекторий, исходящие из близких точек х2, Р2), экспоненциально расходятся. Стохастические траектории — обычное явление в гамильтоновой динамике [109]. [c.258]

Сечение Пуанкаре и хаотические движения [c.55]

Замечание. Исследование топологии инвариантных торов с помощью сечений Пуанкаре выполнено также в [205], в других переменных и без прояснения механического смысла различных движений (в частности, анализа устойчивости). [c.123]

Наряду с достижениями теории возмущений и другими математическими результатами, одной из основных побудительных причин возрождения интереса к нелинейной механике было изобретение цифровой ЭВМ. Уже с самого начала использование ЭВМ для интегрирования уравнений движения было соединено с методом сечения Пуанкаре, при котором такое интегрирование iV-мерных уравнений заменяется итерацией соответствующего N—1)-мерного отображения. В результате оказалось возможным наблюдать за движением системы в фазовом пространстве в течение сотен тысяч колебаний. Обнаруженные уже в первых экспериментах удивительно тонкие пространственные структуры движения быстро привлекли внимание как теоретиков, так и экспериментаторов. Отсюда две основные особенности нашего изложения материала мы существенно опираемся на результаты численного моделирования, с одной стороны, и на соответствие между непрерывным движением (iV-мерным потоком) и его дискретным N—1)-мерным отображением Пуанкаре — с другой (см. гл. 3). Центральным моментом нашего описания динамики является численный эксперимент, который считается, как правило, окончательной проверкой теоретического анализа. Примеры численного моделирования приводятся в каждой главе также для иллюстрации и пояснения физической сущности явлений. [c.15]

Сечение Пуанкаре. Метод сечения Пуанкаре является одним из основных методов анализа гамильтоновой динамики. Для автономных систем с двумя степенями свободы фазовое пространство четырехмерно. Выберем в фазовом пространстве некоторую двумерную поверхность (см. рис. 1.3, а) и рассмотрим последовательные пересечения ее траекторией. Пересечение происходит каждый раз, когда траектория проходит сквозь поверхность в некотором определенно.м направлении (например, слева направо). [c.31]

Рис. 1.9. Поверхность сечения Пуанкаре для гамильтониана Тоды при разных энергиях Е (по данным работы [136]).

В 3.1 устанавливается связь между гамильтоновыми системами и каноническими отображениями путем использования метода сечения Пуанкаре в фазовом пространстве. На примере отображения поворота показывается, как построить отображение по [c.175]

В литературе рассматривалось несколько моделей ускорения Ферми, которые приводят к различным отображениям на поверхности сечения Пуанкаре. Модель Улама показана на рис. 3.11, а. Точное [c.221]

Подобно тому как непрерывное движение динамической системы можно описать разностными уравнениями на поверхности сечения Пуанкаре, физическую задачу, сформулированную в виде отображения, можно представить в форме уравнений Гамильтона. Это позволяет использовать методы усреднения и резонансной теории возмущений, рассмотренные в гл. 2. Как показано в п. 3.1в, разностные уравнения можно преобразовать в дифференциальные с помощью периодической б-функции (3.1.33). В случае отображения [c.235]

Численные исследования структуры вторичных резонансов стандартного отображения отсутствуют. Однако они проделаны для большого числа гамильтонианов с двумя степенями свободы, поверхность сечения Пуанкаре которых похожа на фазовую плоскость стандартного отображения. Примером является задача о движении частицы в магнитном поле и поле косой волны [383, 385] (см. п. 2.26). Соответствующий гамильтониан в системе отсчета волны имеет вид [см. (2.2.67) ] [c.266]

Показатели Ляпунова для (М—1)-мерного отображения на поверхности сечения Пуанкаре пропорциональны показателям, для непрерывной траектории в УИ-мерном фазовом пространстве [c.298]

Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре. Рассмотрим теперь интегральный инвариант Пуанкаре — Картана (85), взяв в качестве контуров, охватывающих трубку прямых путей, только одновременные контуры, т. е. контуры, которые получаются сечением этой трубки гиперплоскостями / = onst (рис. VI 1.8). Чтобы отличить одновременные контуры от контуров, произвольно проведенных на трубке прямых путей, будем обозначать их через С. Для всех точек такого контура t имеет одно и то же значение и, следовательно, для таких контуров дифференциал времени dt равен нулю. В силу этого интегральный инвариант Пуанкаре — Картана, рассматриваемый только на одновременных контурах, имеет вид [c.297]

Пуанкаре установил ), что если условиться называть прямой — плоское диаметральное сечение двуполостного гиперболоида окружностью — плоское, не диаметральное сечение этих поверхностей углом между двумя плоскими днаметральпыми сечениями ( прямыми ), проходящими через какую-либо точку поверхности двуполостного гиперболоида,—разделенный на У—1 логарифм ангармонического отношения пары мнимых прямолинейных образующих п пары касательных к этпм двум диаметральным сечениям и длиной отрезка какого-либо диаметрального сечения — логарифм ангармонического отношения двух концов отрезка и двух бесконечно удаленных точек конического сечения, то получим систему названий геометрии Лобачевского. [c.328]

Возьмем дна произвольных замкнутых контура С и С, которые охватывают эти трубки и соответствуют друг другу в силу преобразования (1). Кроме того, пере, ечем обе трубки одной и той же гиперплоскостью = onst. В сечении получим два плоских контура Со и Со. Эти контуры также переходят друг в друга при каноническом преобразовании (1), так как при каноническом преобразовании величина t остается неизменной. Из инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана следует, что [c.148]

Работы [395, 411, 569] интересны тем, что в них, по-видимому, впервые убедительно показано, что размерность аттрактора в некоторых гидродинамических системах может быть весьма небольшой. В указанных работах использовалась методика обработки данных эксперимента согласно процедуре Паккарда — Такенса. В [411] рассмотрено течение жидкости между двумя вращающимися концентрическими цилиндрами с отношением радиусов 0,875. Виды аттрактора в координатах F(i), F(i + t), где V t) — радиальная составляющая скорости жидкости, и соответствующие сечения Пуанкаре для ряда значений R/R (R — число Рейнольдса, пропорциональное угловой скорости вращения внутреннего цилиндра, R — критическое число Рейнольдса, при котором возникают вихри Тейлора) показаны на рис. 9.125, я и б (сечения Пуанкаре получены пересечением фазовых траекторий в трехмерном пространстве V t), F(i + t), F(i + 2t) с плоскостью, параллельной оси F(i + 2t) и проходя- [c.380]

Теорема 3 [191]. Если ао О, то для любого локально трансверсального сечения Е траектории 7 и любого натурального 3 найдется компактное инвариантное гиперболическое множество Л С , на котором отображение последования Пуанкаре топологически сопряжено сдвигу Бернулли в пространстве бесконечных последовательностей из з символов. [c.308]

Составление уравнений движения. Уравнения (2), (4) описывают основные два типа движений рассматриваемой механической системы со связями (1) безударные перелеты и соударения. Недостаток такого описания состоит в разнотипности уравнений одно из них дифференциальное, другое — разностное. Априори, сугцествуют два способа унификации переход к дифференциальной либо к разностной форме. Традиционным является второй из этих способов, ас-социируюгцийся с построением точечных отображений типа отображений Пуанкаре ([9, 29, 37, 44, 67, 81] и др.) При этом, как правило, в качестве сечения выбирают поверхность удара (предполагается, что система подчинена единственной односторонней связи) [c.242]

Данное сечение не всегда удовлетворяет требованиям, предъявляемым к сечениям Пуанкаре, поскольку отдельные орбиты могут касаться его или не иметь с ним обгцих точек. Это обуславливает дополнительные трудности при анализе таких систем, связанные с необходимостью различать особенности поведения самой динамической системы и артефакты, вызванные неправильностью сечения. Тем не менее, сечение по поверхности удара с успехом применялось для решения таких задач, в которых возврат траектории на поверхность (5) гарантируется видом уравнений (2) — так называемый метод припа-совывания ([5, 29, 33, 37, 61] и др.). [c.242]

Как было показано в п. 2.2., полгруппа Пуанкаре выделяется однозначно из группы БМС тогда, когда существуют хорошие сечения. В этом случае 4-импульс Бонди-Сакса (в обозначениях НП) определяется как [17, 51, 54, 62, 63] [c.165]

По гладкой горизонтальной оси может двигаться точка единичной массы. В расширенном фазовом пространстве этой системы построить трубку прямых путей, исходящую из контура Gq, заданного параметрически уравнениями (а) = sin а, р а) = osa, t a) = О, О а 2т1. Для этой трубки вычислить интеграл Пуанкаре. Сравнить его с интегралом Пуанкаре-Картана по контуру Gi, полученному путем сечения трубки плоскостью p — t = 0. [c.233]

Бифуркационная диаграмма с указанием устойчивости ветвей приведена на рис. 31. В сочетании с фазовыми сечениями Пуанкаре в канонических переменных (например, Андуайе-Депри, рис. 32, 33) она является очень полезной для динамики, т. к. позволяет наглядно представить себе качественное поведение всех остальных траекторий интегрируемой системы в фазовом пространстве. [c.114]

Замечание. Для построения фазовых портретов мы используем сечения Пуанкаре в переменных Андуайе-Депри, описанных в 3 гл. 1. Для с = О секущую плоскость мы выбираем в виде д = , а для с = 1.15 выбираем д = тт. Это связано [c.124]

В переменных г,ф), где (р = атвоф, решение уравнения (11.26) снова определяет коническое сечение вида (11.23). Траектория также получается намоткой линии (11.23) на конус с центром в одном из фокусов. Аналогично задача Пуанкаре а = 0) приводит к геодезическим на конусе. Можно повторить все рассуждения для пространства Лобачевского. [c.345]

Рассмотрите параметризованную замкнутую кривую, касательные векторы к которой близки к образующей потока. Зафиксируйте последовательность поперечных сечений в равноудаленных друг от друга точках кривои и рассмотрите произведение соответствующих отображений Пуанкаре. Введите подходящие координаты на каждой трансверсали н продолжите отображения Пуанкаре на все евклидово пространство с сохранением гипюболичностн. Затем повторите доказательство леммы Аносова о замыкании (теорема 6,4.15). Единственная неподвижная точка произведения отображений Пуанкаре соответствует периодической орбите потока, которая остается близкой к исходной орбите потока после небольшой репараметризации. [c.750]

В дополнение к основному материалу рассмотрены также и другие важные вопросы. Влияние внешнего шума на динамику системы с двумя степенями свободы представлено в 5.5 (с использованием результатов п. 5.4г), для большего числа степеней свободы — в 6.3, а некоторые приложения рассмотрены в 6.4. Описание диссипативных систем в гл. 7 является более или менее независимым от обсуждения гамильтоновых систем. При изучении материала гл. 7 следует обращаться к введению в 1.5, а также к описаниям метода сечения Пуанкаре в п. 1.26 и показателей Ляпунова в п. 5.26 и 5.3. Бифуркации удвоения периода рассмотрены в п. 7.26, 7.3а и в дополнении Б (см. также п. 3.4г). Другие специальные вопросы, такие, как теория возмущений Ли ( 2.5), методы ускоренной сходимости ( 2.6), некоторые аспекты теории ренормализации ( 4.3 и 4.5), неканонические методы (п. 2.3г), глобальное устранение резонансных знаменателей (п. 2.4г и, частично, 2.5в), вариационные методы (п. 2.66 и 4.6) и модуляционная диффузия (п. 6.2г), можно отложить до ознакомления с основным материалом. [c.12]

Метод сечения Пуанкаре можно обобш,ить и на системы с числом степеней свободы Л/ >2. Для независящего от времени гамильтониана системы с N степенями свободы размерность энергетической поверхности в фазовом пространстве равна 2N—1 [рис. 1.3, в (/) [. Исключим, как и раньше, одну из переменных, например рд,, и рассмотрим последовательные пересечения траектории с (2N—2)-мерной поверхностью дг = onst с координатами р ,. . . , рл-i, 1,. . . , [рис. 1.3,6 (2)]. При этом поверхность сечения по-прежнему представляет собой сокращенное фазовое пространство с сохраняющимся объемом. В случае существования одного или более интегралов движения все пересечения будут лежать на одной поверхности, размерность которой меньше 2N—2. В противном случае они будут заполнять некоторый 2N—2)-мерный объем. [c.34]

Регулярные траектории. Из-за того что зависимость регулярных траекторий от начальных условий оказывается разрывной, их присутствие еще не означает наличия в системе изолирующего (глобального) интеграла или определенной симметрии. Однако там, где такие траектории существуют, им соответствуют точные интегралы движения. Для регулярных траекторий угловые переменные зависят от времени либо квазипериодически (типичный случай), либо периодически. В первом случае частоты движения несоизмеримы, и траектория плотно покрывает поверхность инвариантного тора, заданного сохраняющимися значениями переменных действия. В последнем случае траектория замыкается через целое число оборотов вокруг тора (более полное представление об инвариантных торах дано в гл. 3). Наиболее удобными методами исследования регулярных траекторий являются теория возмущений и метод сечения Пуанкаре, рассмотренный в 1.2. [c.60]

Отображение поворота. При изучении фазовых траекторий, особенно в случае двух степеней свободы, удобно использовать метод сечения Пуанкаре, подробно описанный в п. 1.26. Для гамильтониана (3.1.1) в качестве поверхности сечения можно выбрать либо плоскость (/j, 0i) (0., — onst), либо плоскость (/,, Эг) (01= onst). В первом случае последовательные пересечения с плоскостью (/j, 0i) отделены друг от друга интервалом времени А/ = 2я/(Оз, причем JI = onst (см. рис. 3.1, а). За это время 0j увеличивается на со А/ = 2яа (/ ), где а — число вращения. Так как J = = J2 [Ji> ). то при заданном Е величину а можно считать функцией только J1- Опуская для упрощения записи индекс 1, получаем уравнения, описывающие переход от -го к п 1)-му пересечению [c.179]

Исследования нелинейной динамики (в том числе и методом сечения Пуанкаре) путем численного интегрирования уравнений Гамильтона очень трудоемки, поскольку шаг интегрирования должен быть много меньше характерного периода движения. В отличие от этого прямое итерирование заданного на том же периоде отображения может быть легко выполнено на сотни тысяч периодов и дает в существенных чертах ту же картину движения, что и уравнения Гамильтона. Такие отображения интенсивно использовались в различных исследованиях нелинейных колебаний. В 3.4 мы рассмотрим этим методом задачу об ускорении Ферми [126]. Здесь же проиллюстрируем некоторые обсуждавшиеся выше особенности на примере квадратичного отображения поворота, исследованного Хеноном [185] [c.204]

Как мы увидим в 6.2, эти результаты на самом деле обманчивы. Действительно, в системе с тремя степенями свободы первая и третья области должны быть связаны слабой диффузией Арнольда, благодаря которой траектория переходит из одной области в другую. Поэтому, по-видимому, и для промежуточной области Oj 0,03, а а, 0,008, что противоречит данным на рис. 5.9. Это еще раз указывает на основную трудность численного определения показателей Ляпунова не существует априорного условия для определения достаточного числа итераций п. Поэтому при численном юдeлиpoвaнии необходимо использовать и другие методы, такие, например, как метод сечения Пуанкаре -). [c.317]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...