Теория эргодическая

Резюмируем результат, к которому мы пришли. Для того чтобы выводы теории соответствовали опыту, необходимо, чтобы через короткие промежутки времени — настолько короткие, что можно пользоваться теорией возмущений — производились максимально полные опыты, устанавливающие состояние системы (ячейки) и переходы между состояниями. Так как в действительности такие опыты не производятся, вероятностная схема теории не может соответствовать действительности. Стремление восстановить соответствие с действительностью в этом пункте, избегая представления о максимально полных опытах и пользуясь неполным описанием состояний, было исходной идеей упомянутой работы Паули. Заметим, что при невозмущенной, без промежуточных измерений, эволюции изолированной системы основной результат, получившийся в рассматриваемой теории,— эргодический, т. е. равномерный [c.151]

В качестве примера приведем результаты исследования ряда характеристик триботехнических материалов при стационарных режимах трения, подтверждающие возможность применения более простой и быстродействующей теории эргодических стационарных процессов. [c.486]

Теория эргодическая 67, 256, 281 Течения стационарные 297 Тождество Якоби 181, 184, 189 Тор инвариантный 369 --нерезонансный 369 [c.471]

Важное следствие инвариантности меры — возможность усреднения по времени. Имеет место одна из основных теорем эргодической теории [c.17]

Эмпирическая теория разрушения 405 Эргодическая гипотеза 251 Эффективная жесткость на изгиб 28—35 [c.556]

Итак, при рассмотрении профилограмм неровностей поверхности как реализаций стационарных, эргодических и нормальных функций в теории случайных функций получены следующие математические ожидания и дисперсии параметров (или функционалов) неровностей поверхности (см. табл. 5). [c.77]

В дальнейшем мы увидим, что при известных условиях справедливо и более сильное утверждение, а именно что величина ф Р) постоянна не только на траектории, но и во всей области Q. Это свойство инвариантных областей играет фундаментальную роль в статистической механике. Впервые оно было высказано в форме правдоподобной гипотезы в кинетической теории газов, где эргодическая теорема используется весьма широко. Нетрудно видеть, что это свойство (постоянство функции ф (Р) в области Q) не имеет места для уравнений Гамильтона в классической динамике Для того чтобы оно выполнялось, необходимо, чтобы система обладала некоторыми особыми свойствами, о которых речь будет ниже ( 22.15). [c.443]

Существует предположение, что Э. В. как целого можно оценить, используя понятие энтропии Колмогорова — Синая (А-энтропии см. Энтропия, Эргодическая теория). К-энтропия явл. мерой хаотичности и неустойчивости, она связана со ср. скоростью разбегания близких в нач. момент траекторий. Причём ЛГ-энтропия тем больше, чем быстрее разбегаются траектории, т. е. чем сильнее неустойчивость траекторий и хаотичнее система. Однородное распределение вещества гравитационно неустойчиво развитие неустойчивости приводит к образованию отд. сгустков. При гравитац. сжатии сгустка гравитац. энергия вещества переходит в тепловую энергию движения частиц. Поэтому образование звёзд и галактик из равномерно распределённого вещества сопровождается ростом А -энтропии. Т. о., в рамках этого предположения для Вселенной справедлив закон роста энтропии, хотя она и не является термодинамич. системой и в ходе эволюции становится структурно более сложной. [c.619]

В этом случае, очевидно, следует понимать как некоторое среднее (по множеству реализаций) описание процесса (т. е. среднее по многим образцам одинаковой геометрии, с одной и той же длиной трещины и из одного и того же материала). В этом смысле теория годится для любых трещин, в том числе, для микротрещин, длина или приращение длины которых сравнимы или гораздо меньше размера зерна (но гораздо больше межатомного расстояния). Применение теории к одной единственной реализации случайного процесса на основании эргодической гипотезы вполне законно в том случае, когда приращение длины трещины и сама эта длина значительно больше среднего размера зерна (распределение деформационных и прочностных характеристик материала от точки к точке можно считать стационарным случайным процессом). В том случае, когда длина трещины (или соответственно приращение длины) сравнима или гораздо меньше размера зерна, становится существенным статистический разброс. [c.374]

Поскольку прогнозирование остаточного ресурса относится к конкретному, индивидуальному объекту, а прогноз неизбежно содержит элементы вероятностного характера, то возникает вопрос об истолковании вероятностных выводов применительно к индивидуальным объектам и индивидуальным ситуациям. Современная теория вероятностей и математическая статистика традиционно отдают предпочтение статистической интерпретации вероятности как единственному толкованию, имеющему объективный смысл. Аналогичное толкование дают и в системной теории надежности, развитой в первую очередь применительно к массовой продукции, работающей в статистически однородных условиях. Применительно к уникальным объектам приходится использовать менее популярное понятие индивидуальной, субъективной или байесовской вероятности как меры уверенности в истинности суждения. Теория статистических решений почти целиком основана на байесовском истолковании вероятности, причем выводы индивидуального характера базируются на статистической информации, полученной из анализа представительных выборок. Применительно к прогнозированию индивидуальных показателей надежности роль статистической информации играют данные о нагрузках, свойствах материалов, соединений и деталей, причем эти данные относятся либо к массовым явлениям, либо к эргодическим процессам. Понятия индивидуальных показателей надежности в конечном счете представляют собой математическую формализацию интуитивных представлений, которые использует группа экспертов при обсуждении вопроса о возможности дальнейшей эксплуатации конкретного технического объекта. [c.25]

Как уже говорилось в основной тексте, мы хотим отразить здесь современное состояние эргодической проблемы — классического вопроса, который традиционно связан со статистической механикой с самого ее зарождения. За последнее десятилетие в зтой области был достигнут весьма значительный прогресс, что привело к возникновению парадоксальной ситуации. С одной стороны, удалось пролить свет на невероятную сложность поведения динамических систем. Теперь ясно, что даже отдельная малая динамическая система проявляет в течение своей эволюции множество особенностей, которые прежде рассматривались как чисто статистические . С другой стороны, эргодическая теория в своем развитии все больше отделяется от статистической механики. В настоящее время представляется весьма затруднительным привлечение результатов эргодической теории для обоснования статистической механики. [c.354]

В последнее время появились некоторые новые результаты, которые серьезно активизировали исследования в этой области. Прежде всего надо назвать чисто аналитические результаты. Они содержатся в теореме, сформулированной Колмогоровым в 1954 г. и доказанной Арнольдом и независимо Мозером в 1963 г., поэтому обычно эту теорему кратко называют КАМ-теоремой ). Речь идет о результате теории возмущений, относящемся к следующей задаче. Рассмотрим интегрируемую систему, описываемую гамильтонианом Нд (/). Она характеризуется набором торов, покрытых эргодическими траекториями. Попытаемся ответить на вопрос, что произойдет, если вводится малое возмущение, т. е. если теперь рассматривается система с модифицированным гамильтонианом [c.363]

Современная тенденция исследований по эргодической теории заключается в классификации различных типов потоков в фазовом пространстве и в изучении свойств различных классов потоков. Русская школа, начало которой положено пионерскими работами Хинчина и которую затем возглавили такие ученые, как Колмогоров, Аносов, Арнольд и Синай, особенно активно разрабатывает это направление. [c.377]

Заметим, что эргодическая теория состоит из двух частей ) Абстрактная, или чисто метрическая эргодическая теория. В ней рассматриваются преобразования в некотором пространстве с мерой, сохраняющие последнюю. [c.382]

В этой теории не предполагается, что преобразования описываются уравнениями Гамильтона или вообще дифференциальными уравнениями. Эргодичность и перемешивание — примеры относящихся к этой теории понятий, а теорема Биркгофа или приведенное выше простое рассуждение о том, что из перемешивания следует эргодичность,—примеры относящихся сюда теорем. 2) Эргодическая теория более конкретных динамических систем, описываемых уравнениями Гамильтона. Ее основная задача — установление (или опровержение) эргодичности или других статистических свойств тех или иных динамических систем. Выше автор говорил о первом направлении, теперь он переходит ко второму.— Прим. ред. [c.383]

Результаты Синая были подготовлены длительным предыдущим развитием эргодической теории в обоих отмеченных в предыдущем примечании направлениях. Особенно большое значение имели работы по геодезическим потокам на многообразиях отрицательной кривизны, начатые еще Адамаром в 1899 г. и в известной степени завершенные в работах Д. В. Аносова 1962 г. [ДАН СССР, 151, 1250 (1963)]. Еще до завершения этого направления Н. С. Крылов в посмертно опубликованной книге Работы по обоснованию статистической физики (Изд-во АН СССР, 1950) отметил, хотя и не мог строго обосновать, аналогию мен ду геодезическими потоками и бильярдной системой.— Прим. ред. [c.383]

Отметш мимоходом, что существующие математические теории эргодических систем носят обычно качественный [c.35]

Вопросы теории эргодических процессов, несмотря на ее общую незавершенность, обстоятельно рассмотрены в ряде работ [26, 60, 61, 44, 9]. Нас будет интересовать связь эргодичности и стационарности случайных процессов. Важность этого вопроса определяется тем исключительным удобством, которое обеспечивается эргодичностью случайного процесса, когда для получения статистических характеристик достаточно однократной реализации исследуемого процесса и временнбго осреднения наблюдаемой величины. [c.9]

Главными источниками по отдельным областям эргодической теории являются работы (теория изоморфизма Орнстейна), [138] и [2381 (теория эквивалентности по Как ани), и [275] (теория финитарного изоморфизма), [93] (комбинаторная эргодическая теория), (эргодические теоремы) н [166], [167 (орбитальная эквивалентность преобразований с квазн-инварнантнон мерой). [c.721]

Еще Больцман высказал эргодическую гипотезу — идею о равновероятности всех состояний изолированной системы [4]. Эта гипотеза с топологической точки зрения не может быть верна, и она была заменена квазиэргодической [56] фазовая траектория обязательно проходит через сколь угодно малую окрестность любой точки на эргодической поверхности. Эргодическая гипотеза дала начало больщому разделу математики — эргодической теории. Я. Г. Синай доказал ряд теорем по эргодичности систем, состоящих из твердых сфер [57]. Однако остается открытым вопрос относительно систем, состоящих из частиц, между которыми действуют силы притяжения. Кроме того, в классической эргодической теории не учитывается макроскопический [c.215]

Для оценки точности и достоверности измерений неровностей поверхности в данной теории эвристически рекомендуют определенный способ использования формулы (59). Он заключается в том, что при определении числа Пд в формулу (59) подставляют среднее значение Л47 и дисперсию DR тех параметров шероховатости (Ra, Rq, опорная линия профиля на уровне и), для которых они определены методами теории случайных функций. Профилограммы шероховатости поверхности при этом интерпретируют как реализации стационарной эргодической случайной функции у (х, ш) с нормальным распределением вероятностей. Переменная X означает вектор пространственных координат, меняющихся в области Т евклидова пространства R , а переменная ш — элементарное случайное событие из некоторого вероятностного пространства. [c.74]

В содержание книги включен не только традпционньп материал курсов аналитической механики. Значительное место удел-ено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о ра Дсляемости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашл свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. [c.2]

В содержание книги включен не только традиционный материал курсов аналитической механики. Значительное место уделено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о разделимости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашло свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. Книга заканчивается теорией периодических орбит. Использование здесь (и в некоторых других местах) простейших понятий и рассужденир теории множеств не может затруднить внимательного читателя. [c.10]

В гл. XXII дается доказательство эргодической теоремы, но фундаментальная эргодическая теорема динамики является лишь отправной точкой для хорошо разработанной в настоящее время абстрактной теории. Хопф в своей работе [47] 1937 г. цитирует более пятидесяти работ по эргодическо теории, и это число к настоящему времени выросло в огромной степени ). Ни одно сочинение но механике не будет полным без задачи трех тел — проблемы, оказавшей на развитие этой науки, по-видимому, большее влияние, чем любая другая. [c.12]

Конечно, это условие не всегда выполнимо. Для простых динамических систем, движущихся согласно периодическому закону, ни при их классическом, ни при квантовом рассмотрении функция Ляпунова существовать не может, ибо такие системы через некоторое время возвращаются в исходное состояние. Возможность существования оператора М определяется типом спектра оператора Лиувилля. В рамках классической эргодической теории этот вопрос недавно изучил Мисра [23]. Я постараюсь рассмотреть здесь некоторые следствия возможности существования оператора М уравнения (36), который можно рассматривать как энтропию систем, анализируемых на микроскопическом уровне. Поскольку М — величина положительная, то согласно общей теореме ее можно представить в виде произведения оператора, скажем, и сопряженного эрмитова оператора (Л" )" " (эта операция означает извлечение из положительного оператора квадратного корня) [c.148]

У. по Пуассону (возвращаемость)—свойство динамич. системы возвращаться в ходе эволюции сколь угодно близко к своему нач. положению (в фазовом пространстве) по истечении сколь угодно большого времени (см. Пуанкаре теорема, Эргодическая теория). [c.256]

Делались попытки обоснования Э. г. с помощью исследования свойств фазовых траекторий замкнутых изолированных механич. систем из большого числа частиц. Были доказаны эргодичсские теоремы (см. Эргодическа.ч теория), к-рые сводили Э. г. к предположению о специфич. свойстве фазового пространства (его метрической неразложимости). Однако для обоснования статистич. физики эти теоремы не являются необходимыми, т. к. фазовые траектории чрезвычайно чувствительны к малым возмущениям (см. Раз.мешивание). В частности, они очень чувствительны к малейшему нарушению изоляции или замкнутости системы. Аналогичным свойством чувствительности квантовых состояний к малым возмущениям обладают к квантовые системы. Д. Н. Зубарев. [c.625]

Э. т. (метрическая теория динамических систем)—раздел теории динамических систем, изучающий их статистич. свойства. Возникновение Э. т. (1-я треть 20 в.) было стимулировано попытками доказать эргодическую гипотезу (термин введён П. и Т. Эренфестами, Р. и Т. Ehrenfest), предложенную в кон. 19 в. Л. Больцманом для обоснования статистич. физики. [c.625]

Особое место среди эргодич. теорем занимает мультипликативная эргодическая теорема В, И. Оселедеца (1968), играющая важную роль в приложениях Э. т. Как и классич. эргодич. теоремы, она описывает, поведение ф-ций, заданных на фазовом пространстве ДС, вдоль типичных траекторий. Однако на этот раз речь идёт не о скалярных, а о матричных ф-циях, значения к-рых вдоль траектории не складываются, а перемножаются. Если на фазовом пространстве X, ц) каскада Г задана измеримая ф-ция М со значениями в множестве квадратных матриц к-го порядка, то для любого xsX и любого целого / О естественно рассмотреть произведение М, х) = М(х)М(Т х)... М(Т х). Аналогом индивидуальной эргодич, теоремы служит утверждение, что при условии [c.627]

Изложение неравновесной теории автор начинает с интуитивного описания (гл. 11), затем переходит к рассмотрению кинетических уравнений, их собственных значений и вычислению коэффициентов переноса (гл. 12,13). Подробно рассматривается динамика и субдинамика различных систем (гл. 14—18). Далее автор, используя диаграммный метод, переходит от общего формализма к конкретным случаям (гл. 19—21). Б конце книги помещено приложение, которое является блестяще написанным очерком развития эргодической теории. [c.5]

Пользуемся случаем, чтобы поблагодарить проф. Раду Балеску за внимание к русскому изданию его книги. Редакторы благодарны также проф. Д. В. Аносову за ценную консультацию по вопросам, касающимся эргодической теории. [c.6]

Постараемся изложить здесь основные идеи упомянутого развития. Следует предупредить читателя, что зргодическая теория не что иное, как отрасль математики. Среднему физику не под силу чтение оригинальных статей этого направления. Позтому здесь мы постарались дать некий обзор эргодической теории, почти не содержащий математического аппарата. Нашим намерением было познакомить читателей с тем, что же происходит в этой области. Многие результаты даны без доказательства и сформулированы почти популярно, без погони за точностью. Мы надеемся, однако, что такое пренебрежение точностью компенсируется большей физической наглядностью результатов. [c.354]

П.7. Эргодическая теория и статистическая механнка [c.384]

Если принять такую точку зрения, то эргодическая теорема очень сильно упрощала бы проблему вычисления средних величин. В самом деле, если такая теорема справедлива, то практически неразрешимая динамическая задача вычисления среднего значения величины Ь по траектории (в свою очередь подлежащей определению) для одиночной системы заменяется гораздо более простой задачей вычисления среднего значения этой же величины по энергетической поверхности. Последний метод приводит к весьма привлекательной физической интерпретации. Концепция меры, которая играет столь важную роль в эргодической теории, является столь же решающей и для теории вероятности. Таким образом, мы приходим к заключению, что к динамической величине Ъ можно подходить как к случайной переменной. Вместо одной системы рассматривается бесконечное количество тождественных копий этой системы, распределанных непрерывно по фазовому пространству. Множество таких систем называется ансамблем. Плотность распределения изображающих точек F (х) интерпретируется как плотность вероятности нахождения интересуюш ей нас системы в данной точке фазового пространства. (Иными словами, мера области в фазовом пространстве интерпретируется как вероятность нахождения системы в данной области.) Поскольку полная мера всего фазового пространства равна единице, система определенно находится где-то в доступном ей фазовом пространстве. Макроскопическая динамическая величина В теперь определяется как [c.384]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...