Фазовое пространство. Плотность числа состояний

Как возникает квантование фазового пространства Что такое плотность числа состояний [c.54]

Если ансамбль систем находится в состоянии статистического равновесия, то число систем, находящихся в данном состоянии, не должно изменяться со временем, и, следовательно, плотность D в данной точке фазового пространства должна быть постоянной. Изменение D в данной точке пространства [c.296]

Плотность состояний. Подсчитаем теперь число состояний, которым обладает микрочастица в интервале энергий от до - -+ dE. Для этого проведем в пространстве импульсов две сферы радиусами р ц р + dp (рис. З.П). Между этими сферами находится шаровой слой, имеющий объем 4 зтр dp. Число элементарных фазовых ячеек, заключенное в этом слое, [c.117]

Определим предварительно число состояний, обладающих энергией , так как эта величина входит в выражение для функций распределения. При точном рассмотрении кратность вырождения уровней должна определяться нз решения уравнения Шредингера, однако правильные результаты могут быть получены следующим простым способом. Для каждого электрона мы можем ввести фазовое пространство шести измерений, в котором координатами являются три пространственные координаты лг, у, г и трн компоненты импульса р , р и р электрона. Еслн мы разделим затем это фазовое пространство произвольным образом на ячейки объёма А , то можно получить соответствующую плотность состояний, приписывая два состояния каждой ячейке. Эти два состояния соответствуют электронам, движущимся по одной и той же орбите, но с противоположными направлениями спина. Грубо это может быть обосновано с помощью условии, накладываемого на фазовый интеграл в классической квантовой механике, откуда следует, что объём фазового пространства, соответствующий каждому уровню, равен А для каждой пространственной координаты. Следовательно, [c.156]

Все точки, определяемые теми векторами состояния, компоненты которых заключены в интервале между х и х + dx, у и у + dy..., W к W + dw, будут находиться внутри объема dQ и определяют его. Пусть их число составляет dN. Тогда число точек (т. е. звезд) в единице объема в этой малой области равно dN/dQ. Эта фазовая плотпость / будет изменяться от точки к точке в фазовом пространстве поэтому она является функцией л% у, z, и, V и W. Если звездная система эволюционирует, то эта плотность будет также зависеть от времени. Отсюда [c.487]

Найти число квантовых состояний для частицы, находящейся в сосуде в форме куба с ребром длиной I, и сравнить его с объемом классического фазового пространства. Найти также плотность состояний. [c.73]

Сравнение метода канонических собраний с методом микроканонических. Канонический ансамбль состоит из большого числа N систем одной и той же природы, которые можно рассматривать как копии одной из них, находящихся в различных состояниях. Но эти собрания отличаются от тех, которые мы уже рассматривали, значительно большей общностью предположений о состояниях, в которых могут находиться системы, составляющие одно из собраний. Действительно, мы не введем ограничения, что системы обладают определенной энергией. Изображающие точки вместо того, чтобы находиться в тонком слое около поверхности данной энергии в многомерном пространстве, распределены по всей фазовой протяженности S. Это распределение будет обладать определенной плотностью /э, выбранной таким образом, что состояние собрания всех систем стационарно, т. е. что несмотря на непрерывное движение изображающих точек, плотность остается все время той же в определенной точке пространства Е. Величина р должна, таким образом, быть функцией всех q и />, в которую время явным образом не входит. Основываясь на теореме Лиувилля, легко видеть, какова должна быть природа этой функции q и р. [c.47]

Для нолучения Г. р. вводится статистический ансамбль Гиббса совокупность большого (в пределе бесконечно большого) числа копий данной системы (клас-сич. или квантовой), соответствующих заданным макро-сконич. условиям. Рассматривается распределение систем (членов ансамбля) в фазоеом пространстве координат q И импульсов р частиц или по квантовым состояниям всей системы. Г. р. имеют место как для состояний классич. системы с ф-цией Гамильтона ff(p, ф в фазовом пространстве (р, q)= р ,.. р , i,- Ы всех N частиц системы, так и для квантовых состояний системы с уровнями анергии ёГ. р. в классич. статистике зависят от координат и импульсов лишь через Н (р, q) и не зависят от времени, удовлетворяя Лиу-вилля уравнению, к-рое выражает сохранение плотности вероятности в фазовом пространстве. Г. р. в квантовой статистике зависят от гамильтониана системы Й, удовлетворяя квантовому ур-нию Лиувилля, выражающему эволюцию во времени матрицы плотности. [c.452]

Вычислим ср. значение 7 по заданному интервалу времени нек-рой ф-цви координат и импульсов f(x,p). Для этого выберем на атом интервале я моментов времени г , разделённых равными промежутками, им соответствует я точек в фазовом пространстве. Разобьём всё фазовое пространство на элементы, размер к-рых мал по сравнению с характерными для системы значениями X и р, ио ещё настолько велик, что в каждом из них находится много точек, изображающих состояние системы в моменты времени Тогда число таких Точек в элементе объёма будет примерно пропорционально величине этого объёма dxdp. Бели обозначить коэф. пропорциональности, т. е. плотность числа точек в пространстве, через зш х,р), то число точек для элемента с центром в нек-рой точке (ж,р) запишется в виде [c.666]

Однако нетрудно видеть, что это заключение, вообще говоря, не является правильным из близости суммы к интегралу в начальный момент еш е не следует близость их через достаточно большое время t. Для того чтобы представить себе это достаточно ясно, перейдем от рассмотрения фазового пространства одной малой планеты — [х-пространства — к рассмотрению фазового пространства Г всей системы п невзаимодействующ их малых планет. Заметим при этом, что п достаточно велико, чтобы обеспечить упоминаемые ниже прихменения закона больших чисел. Допустим, этп п точек распределены в фазовом (л-пространстве так, что они апрокспмируют некоторый непрерывный закон распределения, т. е. так, как если бы каждая из данных точек помещалась по этому вероятностному закону. Тогда в соответствии с законом больших чисел, количество этих точек, попавших на всякий, достаточно большой интервал (настолько большой, что математическое ожидание числа точек на нем достаточно велико), пропорционально интегралу функции распределения по этому интервалу. Этому, условно вводимому нами непрерывному распределению в -пространстве соответствует определенное непрерывное распределение в Г-пространстве. Рассмотрим в Г-пространстве область М, точки которой изображают такие положения п малых планет в -пространстве, для которых, в соответствии с законом больших чисел, количества планет, приходящихся на все достаточно большие интервалы -пространства, на ничтожно малую долю отличаются от математического ожидания, вычисленного в предположении существования условно нами введенного вероятностного закона. (Очевидно, что интеграл от введенной нами плотности вероятности в Г-пространстве по такой области М очень мало отличается от единицы, а если, например, плотность вероятности постоянна в той области, где она отлична от нуля, то область М составляет подавляющую часть этой области.) Эта область М будет с течением времени переходить в другие области фазового пространства. В частности, в силу размешивания, можно утверждать, что для любой области N можно найти такое, достаточно большое время что для любого область М будет содержать части, принадлежащие области N, Допустим, что в качестве области N выбрана область О таких состояний системы малых планет, при которых они распределены в конфигурационном -пространстве весьма неравномерно (т. е. как бы область неравновесного состояния всей системы п планет). Тогда легко видеть, что при всех достаточно больших t существует конечная часть МО области Л/, все точки которой [c.107]

Характерным свойством открытой системы с большим числом (Л оо) независимых динамических переменных (г,р) является ее динамическая неустойчивость из-за перемешивания (экспоненциальной расходимости близких в начальный момент фазовых траекторий), так что любое начальное распределение функции плотности вероятностей в фазовом пространстве стремится к предельному равновесному распределению, то есть наиболее хаотичному состоянию с максимальной энтропией (в смысле Больцмана-Гиббса-Шенона). Турбулизацию движения жидкости или газа можно представить также как результат изменения топологии фазовых траекторий, приводящего к перестройке аттракторов и качественному изменению бифуркации) состояния движения. Корреляции скорости в любой точке потока ограничены малыми временными интервалами, зависящими от начальных условий, за пределами которых причинную связь между полем скоростей в различные моменты времени, в том числе корреляцию с предыдущим движением, установить невозможно. Все это подкрепляет представление о стохастическом характере пульсаций скорости в турбулентном потоке, которые возникают как результат потери устойчивости ламинарного движения гидродинамической системы при изменении внешних управляющих параметров (например, числа Ке). С этой точки зрения турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное - турбулентность отождествляется с хаосом (или шумом). Отражением стохастической природы турбулентности служит плотное переплетение фазовых траекторий с различным асимптотическим поведением (топологией) и структурой окружающих их областей притяжения (аттракторов). Такое поведение траекторий в фазовом пространстве означает, что система обладает эргодичностью, то есть почти для всех реализаций случайного поля временные средние равны соответствующим статистическим средним, ее временные корреляционные функции быстро затухают, а частотные спектры непрерывны. Эргодическое свойство, по-видимому, является одной из характерных черт стационарного однородного мелкомасштабного турбулентного поля (см., например, Кампе де Ферье, 1962)). [c.21]

Распределения в фазовом пространстве. Пока мы обсудили эволюцию во времени только одного параметра, характеризующего квантовое состояние, а именно, среднего числа фотонов. Квантовое состояние, однако, определяется либо функцией непрерывной переменной, такой как Р-функция Глаубера-Сударшана, либо распределением для дискретного числа фотонов. В задачах, приведённые в конце данной главы, рассмотрен вопрос о том, как записать уравнение (18.23) для матрицы плотности в с-числовом представлении и решить их с помощью такой техники. Данный подход позволяет рассмотреть влияние на квантовое состояние процессов затухания или усиления. В частности, показано, что усиление всегда вносит дополнительный шум, и распределения в фазовом пространстве уширяются. [c.575]

Динамическому состоянию непотенциальной системы соответствует точка обобщенного фазового пространства. Статистическому ансамблю [17] непотенциальной системы соответствует множество точек обобщенного фазового пространства. Как было указано, элемент объема фазового пространства Г инвариантен относительно эволюции динамической непотенциальной системы. Аналогично работе [101] предположим, что элемент количества состояний статистического ансамбля с1Ы , соответствующий элементу ОдОр , также инвариантен. В этом случае можно говорить о сохранении плотности распределения числа состояний в пространстве Г [c.173]

Для описания электронного множества мы введем функцию распределения f r,k,t), которая дает вероятность некоторого состояния в зоне п, с Л-вектором в Л и радиус-вектором г. Точнее произведение функции распределения на плотность состояний и элемент объема фазового пространства dxrdxk [дает число электронов (в расчете на основную область) в интервале пространства (г, itr ) и в Л-интервале к, dx ) в момент времени t. Для однородного твердого тела в равновесии / (г, к, t) равна функции распределения Ферми (6.10). Что касается ее зависимости от Л, то мы можем функцию распределения идентифицировать со средним числом заполнения я, как мы это делали в 50. [c.208]

Таким образом, функция wiX) = wiqi, q2,.., pj дает плотность этой вероятности в точке qi, qi,. .Рп. Для наглядности мы можем представить себе, что фазовое пространство заполнено очень большим числом точек, изображающих возможное состояние систем а dW дает долю всего числа точек, лежащих в элементе dX. [c.185]

Существенно, что знание фазы периодического движения частицы и знание стационарного состояния взаимно исключают друг друга. Фаза движения частицы (на траектории) в стационарном состоянии не существз ет, ибо каждая попытка обнаружить её перебрасывает систему в другое стационарное состояние. Только в предельном случае больших квантовых чисел плотность группы волн из многих стационарных состояний может изменяться с течением времени в согласии с классической траекторией. Эта возможность вытекает уже и следующих простых соображений. Вследствие соотношений неопределённости волновой пакет в фазовом пространстве занимает по крайней мере площадь /г, тогда как классическая траектория с энергией Е , п-го состояния, охватывает в фазовом пространстве площадь пН. Только если п больиюе число, эта площадь велика по сравнению с /г. Только в этом случае, следовательно, действительно может существовать пакет плотности, совершающий обращение по классическому пути. [c.163]

Например, если мы изучаем поведение газа в сосуде, то должны представить себе огромное число сосудов с газом, если мы рассматриваем кристалл, то должны представить себе огромное число аналогичных кусков кристалла и т. д. Экземпляры системы могут иметь разные объемы и числа частиц, но погружены в одну и ту же среду. Такие совокупности (воображаемых) экземпляров системы называют статистическими ансамблями, и мы в дальнейщем (см. 61, 62) рассмотрим разные частные случаи таких ансамблей, в зависимости от того, какие параметры фиксированы в ансамбле (энергия, температура, объем, число частиц и т. д.). Благодаря различию начальных условий и взаимодействию со средой состояние каждого экземпляра меняется с течением времени по-разному. Это значит, что каждая изображающая точка, описывающая состояние одного из экземпляров ансамбля, движется по своей фазовой траектории. Совокупность этих точек образует в Г-пространстве газ или, скорее, как мы увидим, жидкость с плотностью p(p,q,t). [c.301]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...