Перемешивание в фазовом пространстве

Относительно теоремы Лиувилля необходимо сделать одно замечание. Хотя фазовый объем, занимаемый мечеными фазовыми точками, остается постоянным в процессе динамической эволюции, форма этого объема меняется очень сложным образом из-за неустойчивости фазовых траекторий. Близкие точки быстро расходятся на большое расстояние, поэтому с течением времени область АГо с гладкой границей превращается в область АГ весьма причудливой формы, напоминающей мыльную пену. В связи с этим говорят, что статистический ансамбль обладает свойством перемешивания в фазовом пространстве. [c.17]

Перемешивание в фазовом пространстве 17 Плазменный параметр 217 Плотность импульса 163 [c.292]

Предположим, что нам тем или иным способом удалось установить, что движение частиц системы является движением с перемешиванием в фазовом пространстве. Тогда можно, исходя непосредственно из уравнений движения, получить ослабление корреляций. Действительно, пусть, например, частица очень [c.105]

В гл. 6 уже обсуждался вопрос о выводе кинетического уравнения для классических Я-систем. Обычная процедура получения кинетического уравнения связана с использованием гипотезы об ослаблении корреляций или эквивалентного ей допущения (например, приближения хаотических фаз). Это приближение позволяет ввести сокращенное описание системы в виде кинетического уравнения. Однако, как было показано в гл. 6, если известно, что динамическая система является Я-системой, то никаких гипотез для получения кинетического уравнения не требуется. Сокращение описания возникает автоматически вследствие существования процесса перемешивания в фазовом пространстве по одной из переменных системы. По этой же переменной происходит и быстрое ослабление корреляций. Аналогичное утверждение (с определенными оговорками) можно сделать и для квантовых Я-систем. [c.198]

Хаотическое поведение свойственно большей части динамических систем как консервативных, с сохранением энергии, так и диссипативных. Для гамильтоновых систем, у которых фазовый объем сохраняется, движение носит характер перемешивания в фазовом пространстве начальная "капля" фазового пространства, размер которой задан неопределенностью начальных данных, сложным образом деформируется в процессе движения. "Капля" испускает из себя "отростки", которые затем вытягиваются, деформируются и постепенно "прорастают" во все фазовое пространство, сохраняя свой объем, так что все это становится похожим на комок ваты. Близкие траектории при таком движении экспоненциально быстро расходятся друг от друга, средний темп их разбегания характеризуется энтропией Колмогорова-Синая. В процессе перемешивания траектории могут сколь угодно близко подходить к любой заданной точке в пространстве. Такие системы называются эргодическими — средние значения некоторой функции от координат фазового пространства по времени и по пространству совпадают в них между собой. [c.340]

Если спадание K t) (к среднему) экспоненциально, то говорят, что в системе есть перемешивание. Перемешивание есть несомненный признак стохастичности динамической системы [1]. Достаточно наглядно процесс перемешивания в фазовом пространстве можно представить себе следующим образом. Возьмем ансамбль траекторий с начальными условиями внутри маленького фазового объема — капли фазовой жидкости . Пусть эта капля отличается по цвету от остальной жидкости внутри рассматриваемой области фазового пространства. Если [c.462]

Все это указывает на вероятность проявления эргодичности движения в фазовом пространстве. А поскольку для эргодичности безразлично, является траектория системы случайной или периодической, это не противоречит проявлению когерентных структур при пленочном волновом течении, причем с увеличением чисел Рейнольдса фазовая траектория все более приближается к перемешиванию, на что указывалось ранее [32]. [c.24]

Самое удивительное в том, что при определенных условиях движение очень простых систем становится не только похожим, но и неотличимым от случайного. Как объяснить это Объяснений несколько, остановимся на так называемом алгоритмическом подходе в теории динамических систем. Перенесемся в фазовое пространство — обычное пространство координат и пространство скоростей (или импульсов) системы. Если теперь мы поместим в фазовое пространство динамическую систему (даже очень простую), то ее роль состоит в превращении случайности начальных условий в макроскопическую случайность движения системы. При существовании в системе, так называемой, локальной неустойчиво-Сти когда близкие траектории расходятся, на каком-то этапе движение определяется деталями начальных условий и сильно зависит от них. Предположим, что фазовое пространство ограничено. Тогда, рано или поздно, разбежавшиеся траектории вернутся друг к другу. И так будет много раз. Происходит как бы перемешивание фазового пространства, проявляющееся в хаотическом движении фазовых траекторий. [c.31]

Из этих свойств траекторий в фазовом пространстве вытекают аналогичные предложения о геодезических на самом многообразии. Физики называют эти свойства стохастичностью асимптотически при больших t траектория ведет себя так, как если бы точка была случайной. Например, свойство перемешивания означает, что вероятность после выхода из А оказаться в В через большое время t пропорциональна объему Б и т. п. [c.279]

Рассмотрим сколь угодно малую ячейку фазового прост ан-ства. При перемешивании она должна расплываться по всему фазовому пространству. Это означает, что точки, которые в начальный момент были близки между собой, с течением времени удаляются друг от друга и начинают двигаться независимо. Поэтому свойство перемешивания естественно ожидать у таких неустойчивых систем, у которых траектории с течением времени быстро удаляются друг от друга. Иными словами, сколь угодно малые возмущения начальных условий приводят к сколь угодно сильному уходу фазовой траектории системы от своего невозмущенного значения. Если фазовое пространство системы является конечным (хотя бы по одной переменной), то фазовые траектории не могут разойтись из-за неустойчивости более чем на характерный размер пространства и начинают запутываться. Описанный тип неустойчивого движения называется локальной неустойчивостью. Если обозначить через расстояние между двумя точками в фазовом пространстве, принадлежащими разным [c.29]

Энтропия h определяет скорость изменения энтропии S в результате чисто динамического процесса перемешивания траекторий в фазовом пространстве. [c.34]

Для анализа того, как возникает кинетическое описание системы в области стохастичности ее движения, т. е. в области перемешивания траекторий в фазовом пространстве, удобно рассмотреть сначала пример какой-либо простой системы (ком. 4). Выберем в качестве такой системы нелинейный осциллятор, воз- [c.107]

Легко показать, что перемешивание означает эргодичность. В самом деле, пусть А является инвариантным подмножеством фазового пространства. Тогда имеет место равенство At = А, откуда At h А = А А = А ъ, следовательно, [c.381]

Таким образом, в той области параметров, в которой система (22.9) при ц О описывается отображением (22.12), (22.13) в ее фазовом пространстве имеется стохастический аттрактор, на котором существует инвариантное распределение вероятностей, а движение обладает свойством перемешивания. [c.475]

РАЗМЁШИВАНИЕ (перемешивание) в фазовом пространстве — свойство потока траекторий консервативной динамической системы, достаточное для перехода этой системы в процессе её временнби эволюции к стохастич. поведению. [c.247]

Вообще говоря, главная задача неравновесной статистической механики состоит в том, чтобы вывести кинетические уравнения или уравнения неравновесной термодинамики, исходя из уравнения Лиувилля. Наиболее впечатляющей и даже парадоксальной особенностью этой задачи является то, что мы хотим вывести необратимые во времени макроскопические уравнения из обратимого уравнения Лиувилля. Парадоксальность ситуации в теории неравновесных процессов была замечена очень давно. В качестве примеров напомним известный парадокс обратимости Лошмидта [119] и парадокс возврата Цермело [168], которые были выдвинуты против Я-теоремы Больцмана в кинетической теории газов. Проблему необратимости хорошо понимал Гиббс [13], когда обсуждал возрастание энтропии вследствие перемешивания в фазовом пространстве. [c.80]

Действительно, как уже отмечалось в 7, точная (или <<тонкая , по Эренфесту) плотность р ансамбля изолированных систем в Г-пространстве в каждой данной движущейся точке фазового пространства не изменяется с течением времени. Поэтому интеграл но всему фазовому пространству от любой функции плотности р также не будет зависеть от времени. Из-за этого обстоятельства Гиббс от рассмотрения тонкой плотности перешел к рассмотрению плотности грубой и изучению величины In где Рл— среднее значение тонкой плотности в ячейке с номером X. Это выражение является, как легко видеть, с точностью до мноя ителя ДГд конечной суммой по малым и равным ячейкам ДГх, пределом которой является интеграл Jp In рб/Г. В то же время очевидно, что эта сумма (обозначаемая Гиббсом наряду с интегралом через г) изменяется во времени и стремится к минимуму при стремлении к равномерному перемешиванию в фазовом пространстве (в том смысле, в каком говорилось в 5). Эречфест вводит для In Р специальное обозначение 2. Следует отметить, что ячейки АГл, по которым производится суммирование, должны быть равными по величине, и, следовательно, эти ячейки совершенно не являются теми макроскопическими областями, которые соответствуют различным возможным исходам макроскопического опыта (см. 7). В этом случае ДГх не были бы равны по величине, и, следовательно, сумма 1пР . не отличалась бы от суммы, апроксимирующей интеграл Jplnpf/r, лишь постоянным множителем. Также, нанример, [c.43]

Этот же вывод был получен в конце 9.4 пз общих соображений о расплывании волнового пакета для устойчивой системы. Покажем, что неравенство (5.37) возникает и в случае квантовой Я-системы. Известно, что для классической Я-спстемы минимальным характерным временем является время Тс перемешивания в фазовом пространстве. Только на временах г Тс могут проявиться стохастические свойства системы. Совмещение этого условия с условием (5.32) снова приводит к неравенству (5.37) для существования квазиклассического приближепия па таких временах, на которых могли бы проявиться стохастические свойства системы. [c.177]

Термин Р. введён Дж. У. Гиббсом (1. У. С1ЬЬз, 1902) по аналогии между движением системы взаимодействующих частиц в фазовом пространстве и перемешиванием жидкостей ( растворителя и красителя ). При этом жидкости рассматриваются как непрерывные среды, неразрывные и несжимаемые реальные молекулярная структура и диффузия не учитываются. Бели в нач. момент жидкости не бьши перемешаны, то при любом возмущении (встряхивание, взбалтывание и др.) такая система с течением времени станет практически однородно перемешанной (рис. 2). [c.247]

Однако наряду с этой областью перемешивания (или областью стохастичности) в фазовом пространстве (1) всегда будут существовать нач. условия, к-рым отвечает регулярное периодическое или квааипериодическое поведение. Особенно наглядно это видно на секущей [c.695]

Фиг. n.6.i. Различные типы потоков в фазовом пространстве неэргодичес-кий (а), эргодический, но без перемешивания б), перемешивание (в).

В ходе размешивания начальной области ДГ все большие и большие макроскопические области становятся наиболее вероятными вплоть до установления более или менее равномерного распределения частей области АГ по всей поверхности заданной энергии, при котором с подавляющей вероятностью мы получим в результате измерения наибольшую из макроскопических областей — равновесное состояние (см. 5). Этот процесс соответствует возрастанию энтропии до максимума. Именно такое представление имел в виду Гиббс, когда он писал о перемешивании краски в жидкости [7] и об установлении равномерного окрашивания для наблюдателя с ограниченной разрешающей силой . Если задать некоторый ансамбль непрерывно распределенных в фазовом пространстве систем, то, как известно, точная ( тонкая по Эренфесту [1] или, как иногда говорят, микроскопическая ) плотность в каждой данно1г движущейся точке не изменяется, грубая же ( макроскопическая ) плотность стремится стать равномерной. [c.38]

Характерным свойством открытой системы с большим числом (Л оо) независимых динамических переменных (г,р) является ее динамическая неустойчивость из-за перемешивания (экспоненциальной расходимости близких в начальный момент фазовых траекторий), так что любое начальное распределение функции плотности вероятностей в фазовом пространстве стремится к предельному равновесному распределению, то есть наиболее хаотичному состоянию с максимальной энтропией (в смысле Больцмана-Гиббса-Шенона). Турбулизацию движения жидкости или газа можно представить также как результат изменения топологии фазовых траекторий, приводящего к перестройке аттракторов и качественному изменению бифуркации) состояния движения. Корреляции скорости в любой точке потока ограничены малыми временными интервалами, зависящими от начальных условий, за пределами которых причинную связь между полем скоростей в различные моменты времени, в том числе корреляцию с предыдущим движением, установить невозможно. Все это подкрепляет представление о стохастическом характере пульсаций скорости в турбулентном потоке, которые возникают как результат потери устойчивости ламинарного движения гидродинамической системы при изменении внешних управляющих параметров (например, числа Ке). С этой точки зрения турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное - турбулентность отождествляется с хаосом (или шумом). Отражением стохастической природы турбулентности служит плотное переплетение фазовых траекторий с различным асимптотическим поведением (топологией) и структурой окружающих их областей притяжения (аттракторов). Такое поведение траекторий в фазовом пространстве означает, что система обладает эргодичностью, то есть почти для всех реализаций случайного поля временные средние равны соответствующим статистическим средним, ее временные корреляционные функции быстро затухают, а частотные спектры непрерывны. Эргодическое свойство, по-видимому, является одной из характерных черт стационарного однородного мелкомасштабного турбулентного поля (см., например, Кампе де Ферье, 1962)). [c.21]

Можно поставить вопрос как часто среди динамических систем общего типа встречаются системы с перемешиванием Или иначе каких систем больше, устойчивых или систем, имеюпщх локальную неустойчивость Если к последним отнести системы, у которых область локальной неустойчивости в фазовом пространстве может быть любой (в том числе и очень малой), то именно они составляют основную часть множества всех систем. Типичными оказываются системы, имеющие ненулевую область стохастического движения. Почему это так, станет ясно несколько позже. [c.31]

Медленное убывание корреляций на больших временах озна-чает отсутствие в квантовых Я-системах полного перемешивания — обстоятельство, являющееся прямым следствием соотношения неопределенности. Грубая интерпретация сделанного замечания состоит в том, что в ячейке фазового пространства объемом % невозможно разместить более одного состояния, и поэтому состояния нельзя достаточно хорошо размешать в фазовом пространстве. [c.185]

Несколько сложнее обстоит дело в реальных гамильтоновых системах, где существуют два масштаба универсальностп. Пусть точке А в фазовом пространстве соответствуют некоторые значения действия /о и фазы 4о. По фазе происходит быстрое перемешивание. Поэтому через некоторое, не слишком большое время точка на траектории, выходящей из (/с, о), будет иметь [c.222]

Перемешивающим называется биллиард, в котором возмо/кпо движевис шара с перемешиванием. Область фазового пространства, занимаемая стохастическими траекториями, может составлять часть всей области фазового пространства допустимого движения. Общая картина динамики частицы в биллиарде определяется его геометрией. Биллиарды очень наглядны и удобны для изучения общих свойств гамильтоновых динамических систем. Интерес к ним связан, однако, не только с этим. Можно установить однознач ное соответствие между конкретными динамическими задачами и задачей [c.244]

Стохастичность н турбулентность. Во исом тскстс монографии существенно использовалось свойство гамильтоновости рассмотренных динамических систем. Это означало, что фазовый объем системы сохраняется и процессе ее движения. Перемешивающееся в фазовом пространстве, или стохастическое движение обозначалось одновременно турбулентностью движения в фазовом пространстве. При анализе возникновения стохастичности в континуальных системах типа взаимодействующих волн переход к перемешиванию означает также переход и к турбулентному движению в пространстве координат спстемы. [c.250]

При осмысливании этого парадокса возникают два вопроса первый и главный — почему нет перемешивания второй — почему система не приходит к какому-либо равновесному состоянию (например, последовательности солитонов), а периодически колеблется Прежде чем ответить на эти вопросы, напомним, что рассматриваемые системы консервативны, т. е. в фазовом пространстве соответствующих им конечномерных моделей (из N взаимодействующих гармоник) не может быть ни асимптотических устойчивых состояний равновесия, ни каких-либо других аттракторов (предельных траекторий или множеств траекторий, возможных в системах, где есть сжатие фазового объема). Однако в фазовом пространстве таких систем, как мы увидим в гл. 22 и 23, даже при небольшом числе N возможно существование хотя и не притягивающих, но занимающих достаточно большую область в фазовом пространстве множеств, устроенных очень сложно, движение внутри которых и отвечает нашим интуитивным представлениям о перемешивании. Обсуждаемые нами сейчас системы принадлежат к классу вполне интегрируемых систем, в которых существование подобных сложных (перемешивающих) областей в фазовом пространстве невозмож- [c.421]

В ходе эволюции динамич. системы, обладающей аттрактором, объём фазовой капли неограниченно уменьшается—капля сжимается к аттрактору. Однако сам аттрактор, имея нулевую меру в исходном фазовом пространстве, может оказаться нетривиальным множеством, движение на к-ром является стохастическим. Это значит, что 1) на таком аттракторе движение является локально неустойчивым и для него может быть введена К-энтропия и 2) это движение обладает свойствами эргодичности и перемешивания. Аттрактор, на к-ром реализуется стохастич. динамика, наз. стохастическим или странным аттрактором. Последний термин предложен Д. Рюэ-лем и Ф, Таксисом (D. Ruelle, F. Takens). [c.401]

Из условия перемешивания (5.8) автоматически следует свойство эргодичности (5.4)—(5.6). Различие между только эргодическим движением и движением с перемешиванием проще всего понять из рис. 1.16. В эргодпческом случае без перемешивания траектория последовательно заполняет фазовое пространство с той же методичностью, что п периодически опускающийся и подымающийся маятник. Совсем иной характер заполнения фазового пространства имеет место при перемешивании. Сначала за некоторое время Т система достаточно равномерно покроет сеткой траекторий все фазовое пространство. Через время 2Т это явление примерно повторится, причем таким образом, что размеры ячеек сетки окажутся приблизительно в два раза меньше, и т. д. [c.28]

Остановимся на свойстве изоморфности более подробно [38, 212, 213]. Пусть переменные (х) и преобразование определяют некоторую динамическую систему. Пусть также в результате перемешивания устанавливается равновесная функция распределения f (x). Аналогично введем динамическую систему в том же пространстве (ж) с динамикой, определяемой преобразованием и с равновесным распределением /< Чж). Тогда динамические системы Г Ча ) х и Т Чх) х) являются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение Q области Г Чж) фазового пространства одной системы на область фазового [c.35]

Все множество гомоклинических точек назовем гомоклинической структурой . Различные системы имеют топологически эквивалентные гомоклинические структуры , если совпадают их системы гиперболических точек. В этом случае можно говорить, что законы стохастического поведения фазовых траекторий также эквивалентны, или, иначе, такие системы изоморфны. При перекрытии большого числа резонансов возникает гомоклиииче-ская структура , порожденная очень большим числом гиперболических точек, и можно ожидать, что точное знание числа гиперболических точек несущественно, если это число велико. Отсюда мы приходим к выводу, что все гамильтоновы системы с одинаковой размерностью и с большим числом сильно перекрытых ( Г>1) резонансов являются изоморфными, если они имеют приблизительно равные значения К. Напомним, что при К> мера островков устойчивости, которые могли бы внести некоторое разнообразие в стохастическую динамику, очень мала ( 1/Ю. Поэтому остается сделать еще один шаг, заключающийся в утверждении, что все физические спстемы с одинаковым числом степеней свободы в той области фазового пространства, в которой 1 и реализуется тем самым быстрое перемешивание, являются изоморфными Г-спстемами (ком. 5). [c.101]

До сих пор предметом нашего исследования были системы с малым числом степеней свободы. Естественно ожидать, что увеличение числа степеней свободы N должно приводить к более легким условиям возникновения перемешивания. Следует ли ожидать, что при 1 движение является практически стохастическим, и областями устойчивости (т. е. областялш фазового пространства и значенпй параметров задачи, где движение является условно-периодическим) можно пренебречь По существу, этот вопрос означает, что характер движения системы более существенно зависит от Л чем от других параметров задачи. В этом месте мы попадаем в плен широко распространенного представления о том, что законы статистической механики становятся применимы при больших N. В действительности вопросительный знак переходит лишь в другое место какие N можно считать большими Чем число N = при котором законы статистической механики заведомо выполняются в доступных нашему вниманию объектах, отличается от числа N = 10 , при котором появлепие стохастичности становится далеко пе безусловным (как мы увидим ниже) [c.123]

Понятие огрубление ОТНОСИТСЯ к функции распределения, а не к фазовому пространству, которое в классической механике является непрерывным. Более того, эта непрерывность и есть источник случайности динамических траекторий (см. примечание редактора на с. 307). Правильнее было бы сказать, что перемешивание является интегральным, а не локальным свойством движения, которое формально определяется условием (см., например, [486]) а (Т"х) g (X) ) (X) (X)) при и-> оо, где Л - любые <неогрубленные) функции.— Прим. ред. [c.299]

Здесь I j,—групповая скорость плазмонов. Вследствие резонансного затухания ионно-звуковых волн в газе плазмонов с декрементом у, и фазового перемешивания мод непрерывного спектра (5) вносимое первым источником макроскопич. возмущение исчезает на расстояниях порядка ,/y где с, — скорость звука. Второй источник, расположенный в точке z=I ly возбуждает в плазме на частоте ионно-звуковую волну и возмущение типа (5) и, кроме того, модулируя моды непрерывного спектра от первого источника, порождает на разностной частоте Пэ = П2 —нелинейное возмущение спектральной плотности плазмонов, являющееся источником эхового сигнала. В точке эха моды непрерывного спектра становятся когерентными, поэтому суммирование по к приводит к возникновению в окрестности точки 2 макроскопич. возмущения концентрации плазмы йи,. Пространств. форма эхового сигнала несимметрична слева от точки эха профиль амплитуды 5и,, описывается ф-цией ехр (О, а справа—ф-цией ехр(- ), где = Уэ(г-г,)/с.,. [c.648]

Модель процесса теплопереноса в гетерогенной среде была предложена Л. И. Рубинштейном (1948). Согласно этой модели пространство среды занято взаимнопроникающими континуумами, причем интенсивность межфазового теплообмена пропорциональна разности фазовых температур в рассматриваемой точке среды. Хотя при переносе тепла в пористой среде эффект дополнительного пульсационного (конвективного) перемешивания также имеет место ), он не приводит к изменению порядка эффективного коэффициента теплопроводности (В. М. Ентов, 1965). [c.647]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...