Дробная система Лоренца

Дробная система Лоренца [c.62]

Как известно [2], замечательное свойство системы Лоренца состоит в том, что она описывает режим странного аттрактора, в котором универсальная траектория представляет фрактальное множество, характеризуемое дробной размерностью (см. [18]). Легко заметить, что обнаруженные в режимах (е), (1) двумерные затухающие колебания отвечают срезам странного аттрактора плоскостями 5, т/ и 8, к (но не сводятся к ним). Для перехода от этих колебаний в режим странного аттрактора следует включить движение вдоль перпендикулярной оси (к — ъ режиме (е) и — в режиме (1)). Как видно из соотношений (1.64), это может быть достигнуто только в случае соизмеримости времен релаксации г,. Таким образом, переход в режим странного аттрактора следует ожидать [c.46]

Очевидная причина указанных противоречий состоит в неправомерном использовании обычных скейлинговых соотношений (1.72) для дробной системы Лоренца (1.130), обладающей фрактальным фазовым пространством. Для подсчета размерности этого пространства учтем, что каждой из стохастических степеней свободы s, S, и число которых п = 3, отвечает сопряженный импульс, так что гладкое фазовое пространство должно иметь размерность D = 2п. Такое пространство реализуется в простейшем случае отсутствия обратной связи, когда определяющий ее показатель о = О, и шум является аддитивным. С ростом показателя а > О, величина которого задает эффе1стивную силу и интенсивность шума в равенствах (1.120), обратная связь усиливается, и флуктуации приобретают мультипликативный характер. Согласно [45], при этом фазовое пространство становится фрактальным, и его размерность уменьшается в (1 - о) раз. В результате размерность пространства, в котором происходит эволюция самоорганизующейся системы, сводится к значению [c.72]

При уменьшении фазового объёма траектории могут стремиться к нск-рой гговерхности в исходном фазовом пространстве, имеющей размерность D = n — k, к—целое, к п. Ъ частном случае к = п это отвечает приближению к нек-рому стационарному состоянию — особой точке в Ф. п. В то же время известно, что и при f - 0 может существовать предельное множество (аттрактор), мера к-рого имеет размерность d> 1 (как правило, дробную, т. и. фрактальную размерность). Такая ситуация реализуется, напр., когда Ф. п. содержит странный аттрактор. Объект с такими свойствами всегда содержится в системе Лоренца (15) при f=10, й = 8/3, /->24,74. [c.268]

Выше мы исследовали процесс формирования одиночной лавины. Перейдем теперь к рассмотрению самоподобного ансамбля лавин, характеризуемого распределением (1.71). Следуя методу, изложенному в п. 2.2, мы будем учитывать шумы всех степеней свободы, а также дробную обратную связь, введенную в п. 2.3. Основой нашего рассмотрения является система Лоренца, однако теперь синергетические параметры характеризуют не сыпучую среду, а ансамбль лавин, который в рамках подхода Эдвардса [40, 41], обобщенного на неадцитивную систему, представляется по аналогии с термодинамической системой. Это позволяет описать изменение размера лавины, неаддитивной сложности ( omplexity) и кинетической энергии сыпучей среды. В рамках синергетического подхода указанные степени свободы играют роль параметра порядка, сопряженного поля и управляющего параметра соответственно. [c.65]

Система единиц и уравнений Хевисайда—Лоренца имела лишь весьма ограниченное применение. Рационализованиость системы не котировалась как ее заметное преимущество. В остальном же в системе Хевисайда—Лоренца сохпанились все особенности, свойственные гауссовой системе, и в частности дробные показатели и совпадения размерности разных физических величин. Переход к рационализованной системе не оправдывался и какими-либо ее практическими преимуществами. Предпочтение было отдано гауссовой системе в нерационализованной ( классической ) форме, [c.87]

Новая область явлений возникает в диссипативных системах, фазовый объем которых не остается постоянным, а сокращается со временем. Конечное состояние в этом случае представляет собой движение на некотором подпространстве, называемом аттрактором, размерность которого меньше размерности исходного фазового пространства. Изучение регулярного движения в таких системах восходит к Ньютону и в дальнейшем было связано с развитием теории обыкновенных дифференциальных уравнений. На этой ранней стадии было выяснено, что траектория может притягиваться к таким простым аттракторам, как неподвижные точки, замкнутые траектории и торы, на которых устанавливается, соответственно состояние равновесия, периодическое и квазипериоди-ческое движение. И только сравнительно недавно, в пионерской работе Лоренца [283], было показано, что и в диссипативных системах встречается хаотическое движение. Лоренц обнаружил такой аттрактор в модели, описываемой системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Рюэль и Тэкенс [355 ] использовали для аттрактора с хаотическим движением термин странный аттрактор ). Топология странных аттракторов весьма примечательна. Она характеризуется масштабной инвариантностью ), при которой структура аттрактора повторяется на все более мелких пространственных масштабах. Такие структуры, называемые фракталами, обладают любопытным свойством дробной размерности, промежуточной между размерностью точки и линии, линии и плоскости и т. д. [c.19]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...