Размерность фазовых пространств

В этом параграфе формулируются теоремы трансверсальности и принцип сведения , позволяющий понижать размерность фазового пространства за счет своего рода отбрасывания несущественных (гиперболических) переменных. [c.13]

Замечание. Суммарная размерность устойчивого и неустойчивого множества негиперболической особой точки с одно мерным центральным многообразием равна п+1 (п—размерность фазового пространства). Поэтому в классе векторных полей с такой особой точкой наличие гомоклинической траектории этой точки — явление общего положения. [c.89]

Размерность матрицы Н в уравнении (7.4.11) может оказаться довольно большой. Если размерность фазового пространства (размерность вектора х) равна л, а в рядах Фурье (7.4.8) и (7.4.9) удерживается соответственно по ТП1 и ТП2 гармоник, то размерность матрицы Н равна п(2т + 1 (2т2 + 1) [c.494]

Перейдем к описанию бифуркаций устойчивого двумерного тора Бифуркации устойчивого двумерного тора можно разделить на собственно бифуркации тора как инвариантного устойчивого многообразия, на бифуркации фазового портрета на торе и, наконец, бифуркации отдельных периодических движений lia торе. Если размерность фазового пространства, в котором находится двумерный устойчивый тор, больше трех, то возможны его бифуркации (так же, как и периодического движения) типов N-i и N . В трехмерном фазовом пространстве возможны только бифуркации N+,. При бифуркации 7V+, устойчивый тор Г" сливается с седловым и исчезает. При бифуркации N-1 устойчивый тор удваивается , и одновременно от него отделяется седловой тор При бифуркации устойчивый тор Т переходит в неустойчивый и одновременно от пего отделяется трехмерный устойчивый тор или устойчивый тор Т становясь неустойчивым, сливается с трехмерным седловым тором. [c.167]

В этих координатах х,у функция Н не зависит от Xi. Таким образом, если зафиксировать значение F = у = с, система уравнений Xk = дН/ду) , ук = —dH/dxk к 2) будет гамильтоновой с п — 1 степенью свободы. Итак, один интеграл позволяет понизить размерность фазового пространства на две единицы (а не на одну, как в общем случае). Одна единица пропадает при фиксировании значения F = с, а. вторая — за счет исключения сопряженной циклической переменной Xj. Однако эффективное использование интеграла F для понижения порядка упирается в задачу явного интегрирования гамильтоновой системы i = vp z). [c.63]

К сожалению, в более сложных ситуациях, в частности, при размерности фазового пространства больше двух, теорема Opa носит эвристический характер если ее условия выполнены и нет оснований ожидать вырождения спектра, то можно надеяться и на справедливость результата. Такая ситуация складывается в нашей задаче при [c.50]

Пример 1. Сформулируем одну гипотезу, принадлежащую В. Тену [2]. Пусть начало координат х = О является изолированным положением равновесия системы (1), размерность фазового пространства п нечетна, и рассматриваемое векторное поле обладает инвариантной мерой с гладкой плотностью р х) (div(pz/) = О, р > 0). При данных предположениях начало координат х = О неустойчиво как в [c.90]

Размерность фазового пространства, описывающего состояние аппарата, может увеличиваться при усложнении задачи. К фазовым координатам г, V, О могут добавляться новые координаты, например, — текущее время работы двигателя для задачи с ограниченным ресурсом двигательной системы или Ср и — для задач оптимального сброса баков и двигателя. Тогда система (1.1) дополняется дифференциальными уравнениями, описывающими изменение этих фазовых координат в отмеченных примерах эти уравнения таковы [c.267]

Пространство или его часть называется фазовым пространством, если его можно трактовать как пространство состояний (фаз) некоторой физической, механической или еще какой-нибудь подобной системы. В этом слу- чае каждая координата точки (xi,...,xn) трактуется как результат измерения некоторой числовой величины, характеризующей состояние системы размерность фазового пространства (т. е. число л) является наименьшим числом тех величин, которыми нельзя пренебречь при данном уровне идеализации рассматриваемой системы. [c.558]

Самопересечение траекторий и пересечения различных траекторий легко обнаруживаются указанным выше (см. стр. 557) сравнением осциллограмм и являются признаком заниженной размерности фазового пространства. [c.559]

Вырождение размерности фазовых пространств (слзгчаи сведения исследования к исследованию или [c.563]

В этой задаче размерность фазового пространства 6, а группа окружность приведенное фазовое пространство четырех- [c.347]

На нерезонансном торе траектория условно-периодического движения всюду плотна. Таким образом, для почти всех начальных условий фазовая кривая невозмущенной невырожденной системы всюду плотно заполняет инвариантный тор, размерность которого равна числу степеней свободы (т. е. половине размерности фазового пространства). [c.369]

При исследовании движений возмущенной системы вне инвариантных торов следует различать случаи двух и большего числа степеней свободы. В случае двух степеней свободы размерность фазового пространства равна четырем и многообразие уровня энергии трехмерно. Поэтому инвариантные двумерные торы делят множество уровня энергии. [c.374]

Второе обстоятельство связано с различием в топологии инвариантных торов в зависимости от размерности фазового пространства, т. е. от числа степеней свободы. При N = 2 торы, соответствующие различным значениям действий (Л, /г), оказываются вложенными друг в друга (рис. 1.14) и, следовательно, не пересекаются. В этом случае говорят, что торы делят пространство. Разрушенные торы оказываются зажатыми между устойчивыми торами, и, следовательно, возмущение фазовой траектории в области разрушения ограничено. Величина этого возмущения стремится к нулю при е 0. [c.26]

В последующих главах мы покажем, как многочисленные следствия этих двух фундаментальных одномерных свойств — теоремы о промежуточном значении и конформности одномерных дифференцируемых отображений — возникают в процессе анализа динамических систем малых размерностей. Следует обратить внимание на то, что использование этих явлений не ограничивается системами с одномерными фазовыми пространствами и голоморфными отображениями. Иногда, когда размерность фазового пространства равна двум или трем, важные инвариантные структуры, связанные [c.387]

Таким образом, стохастическое множество в диссипативной системе — это замкнутое притягивающее множество траектории, на котором все принадлежащие ему траектории неустойчивы. Такое множество называют странным аттрактором [34, 35]. Размерность странного аттрактора всегда меньше размерности фазового пространства. [c.464]

Остановимся теперь на вопросе о связи точечного отображения Т, порождаемого фазовыми траекториями на секу-ш,ей поверхности, с отображением сдвига 7 . Отображение Т секушей поверхности определено в пространстве, размерность которого по крайней мере на единицу меньше, чем размерность фазового пространства системы. В отличие от Т, точечное отображение сдвига определено в пространстве той же размерности, что и фазовое пространство. Поэтому характер связи между структурой фазового портрета динамической системы и структурой точечного отображения сдвига Т-с отличается от связи структуры разбиения фазового пространства на траектории со структурой отображения Т секуш,ей поверхности. Вместе с тем отображение сдвига автономной системы или неавтономной системы, правые части дифференциальных уравнений которой являются периодическими функциями времени /, можно интерпретировать как точечное отображение Т, порождаемое решениями дифференциальных уравнений на [c.88]

Поверхности SpW S q могут быть простого вида, но могут быть и очень сложного. Как будет видно из дальнейшего, они играют важную роль в структуре разбиения фазового пространства на траектории. Особую роль при этом играют поверхности S i и S i размерности я — 1 на единицу меньшей размерности фазового пространства. Эти поверхности разделяют фазовые траектории на потоки траекторий с разным поведением. В этом смысле они подобны сепара-трисным кривым седел на фазовой плоскости. Поэтому им может быть присвоено наименование сепаратрисных поверхностей. [c.247]

Результаты исследования резюмируются ниже в виде таблиц и рисунков. Размерность фазового пространства уравнений, приводимых в таблицах, равна размерности центрального многообразия деформируемого ростка. В первом столбце таблицы указывается класс деформируемых ростков, во втором — его коразмерность V, в третьем описываются типичные ростки, в четвертом указывается топологическая нормальная форма деформируемого ростка, в пятом — главные деформации. Бифуркационные диаграммы и соответствующие фазовые портреты изображаются на рисунках, номера которых указываются в шестом столбце таблицы. Связь между типичными и главными деформациями для рассмотренных ниже классов такова. [c.19]

Виды динамических систем. По характеру ур-ний и методам исследования Д. с. делят на классы. Конечномерные и бесконечномерные (распределённые) Д. с.—системы с конечномерным и бесконечномерным фазовым пространством. В конечно-мерно.м случае консервативные и диссипативные Д. с. — системы с сохраняющимся и несохраняющимся фазовым объёмом. Г амильтоновы системы с ф-цией Гамильтона, не зависящей от времени, образуют подкласс консервативных систем. У диссипативных систе.м с неогранич. фазовым нространством часто существует ограниченная область в нём, куда попадает навсегда любая траектория. Д. с. с н е п р е-рывным временем (потоки) и Д. С. с дискретным временем (каскады) дискретность времени иногда отражает существо реального процесса (дискретность моментов прохождения импульса через усилитель п оптическом квантовом генераторе, сезонность в экологии, смена поколений в генетике н т. д.). Грубые и пегрубые Д. с. понятие грубости (структурной устойчивости) характеризует качественную неизменность типа движения Д. с. при малом изменении её параметров. Значения параметров, при к-рых система перестаёт быть грубой, наз. б и ф у р-к а ц и о н н ы м II (см. Бифуркация). При размерности фазового пространства больше 2 могут существовать целые области в пространстве пара.метров, где Д. с. оказывается негрубой. [c.626]

Для динамич. систем с размерностью фазового пространства, большей двух, устойчивые и неустойчивые многообразия седловых состояний равновесия и (или) седловых предельных циклов наз. многомерными С. или сепаратрисными многообразиями. Многомерные С. могут разделять фазовое пространство на области притяжения разл. аттракторов. Связанные с сепаратрисны-1Ш многообразиями бифуркации могут приводить к возникновению странны.х аттракторов, напр., аттрактор Лоренца рождается в момент, когда неустойчивые С. седла пересекаются устойчивыми сепаратрисными шогообразиями седловых предельных циклов. [c.487]

В многомерных системах размерность странных аттракторов может быть много меньше размерности фазового пространства, что соответствует частичной синхронизации степевей свободы системы. [c.695]

Слабая Т. J)T. волновых полей, когда из-за сильной дисперсии волновые пакеты перекрываются на. малое время и взаимодействие между волнами оказывается достаточно слабым—справедливо приближение (гипотеза) случайных фаз волн. Пример слабой Т. (в таком понимании)—волнение на поверхности моря без образования барашков. 2) Движение среды (или поля), соответствующее хаосу динамическому. При этом размерность фазового пространства динамической системы, описывающей Т. (или число независимых возбуждённых мод колебаний), прибл. glO. В простейшем случае — это низкоразмерный временной хаос (примером является Лоренца систсма). В более общем случае — низкоразмерный пространственно-временной хаос (пример—динамика дефектов в жидких кристаллах). [c.178]

Если размерность фазового пространства больше чем 2, то наряду с указанными типами устойчивости могут появляться и более сложные, комбинир. типы (напр., седло — узел, узел — фокус и др.). [c.254]

Разд. стохастич. слои в фазовом пространстве могут пересекаться, образуя нек-рую сеть каналов, внутри к-рых динамика системы является стохастической (рис. 8). Эта сеть наз. стохастич. паутиной (паутиной Арнольда). Если размерность фазового пространства 2Л =4, то двумерные инвариантные торы разделяют трёхмерный объём, в к-ром движется система (из-за сохранения энергии), на изолир. области (подобно тому, как линия на плоскости делит 2-мерное пространство на изолир. части). Однако уже для трёх и более степеней свободы (N>2) JV-мерные торы не разделяют (2N— 1)-мерную энер-гетич. поверхность. Поэтому стохастич. паутина оказывается связной, подходя сколь угодно близко к любой точке фазового пространства. Наличие паутины приводит к не-огранич. переносу частиц вдЬль стохастич. слоя, называемому диффузией Арнольда. [c.400]

Общее описание метода секущей поверхности. Рассмотрим фазовое пространство системы. Выберем в нем какую-нибудь поверхность без контакта 5 п введем на этой поверхности некоторую систему координат у , у ,. .. Ур. Если размерность фазового пространства исследуемой системы п, то любая точка на поверхности 5 будет характеризоваться не более чем п — 1 координатами, т. е. р — 1. Зададим на поверхности 5 некоторую точку М с координатами у , у ,. .. Ур и рассмотрим фазовую траекторию, проходящую через эту точку в направлении увеличения времени t. Можег случиться, что фазовая траектория больше не пересечет поверхность 5. Тогда говорят, что точка М не имеет последующей. Но может быть и так, что спустя некоторое к нечное время фазовая траектория снова пересечет поверхность 5 в некоторой точке М с координатами ,У2, Ур- Точка М называется последующей для точки М. Преобразование, устанавливающее однозначное соответствие между всеми точками поверхности 5 и их последующими, называется почечным отображением поверхности 5 в самое себя. Это преобразование записывается в виде [c.92]

Теорема 2. Пусть размерность фазового пространства п системы (1) нечетна, и 1у[х) — аналитическое векторное поле с нильпотентной линейной частью, обладаюш ее инвариантной мерой с аналитической плотностью. Если существует квазиоднородная структура такая, что начало координат х = О является изолированным положением равновесия укороченного поля Уггъ х), то положение равновесия х = О полной системы (1) неустойчиво как в прошлом , так и в будущем . [c.95]

Для случаев, когда размерность фазового пространства больше двух и в то же время отсутствует малый параметр, имеется ряд качественных результатов (см., например, обзоры В. А. Плисса, 1962, и М. А. Красносельского, 1965), а также результатов, относящихся к специальным интегрируемым системам. Следует, наконец, отметить новые возможности, возникшие в связи с появлением электронных вычислительных машин и позволившие получить решение ряда ответственных задач. [c.94]

Наименьшая размерность фазового пространства, в котором возможен странный аттрактор, равна трем, как в модели Лоренца, описанной в 1.5. Еще более простая система была рассмотрена Рёслером [350], и мы опишем ее ниже. Интересные свойства двумерного отображения со странным аттрактором будут рассмотрены на примере отображения Хенона [187]. [c.416]

Мы уже видели, что хаотическое движение может возникать в диссипативных потоках с размерностью фазового пространства не меньше трех, или в соответствующих этим потокам обратимых отображениях Пуанкаре, размерность которых не менее двух. В общем случае хаотическое движение имеет место лишь для узких интервалов параметров. В этом существенное отличие от гамильтоновых систем, где хаотическое движение сохраняется, как правило, в широком диапазоне параметров. Ниже описаны два критерия локальной стохастичности для диссипативных систем. В п. 7.3а метод квадратичной ренормализации применяется к двумерным обратимым отображениям и показывается сходимость последовательности бифуркаций удвоения периода и возникновение локального хаотического движения. В п. 7.36 получен критерий перехода к хаотическому движению вблизи сепаратрисы на примере вынужденных колебаний осциллятора с затуханием. Наконец, в п. 7.3в pa ютpeнa модель ускорения Ферми с диссипацией и используется описание хаотического движения с помощью уравнения ФПК. Это уравнение позволяет получить первое приближение для инвариантного распределения на странном аттракторе. [c.453]

Другим применением фрактальной размерности является оценка наименьшей размерности фазового пространства, в котором можно описать данное движение. Например, для некоторых предтурбу-лентных конвективных течений в ячейке Рэлея — Бенара (см. рис. 3.1) фрактальную размерность хаотического аттрактора можно найти как некую меру движения (дс (/ ) х ] (см. [123]). Из последовательности [х ] можно составить псевдофазовые пространства разных размерностей (см. разд. 4.4). Численные расчеты показывают, что фрактальная размерностью/ приближается к асимптотическому значению <1 - 3,5, если размерность псевдофазового пространства равна по меньшей мере четырем. Это указывает на то, что приближения низкого порядка в уравнении Навье — Стокса нельзя использовать для моделирования такого движения. [c.156]

Чтобы определить минимальное М, мы строим псевдофазовые пространства все более высокой размерности, используя для этого выборочные измерения х((), до тех пор пока фрактальная размерность не достигнет своего асимптотического значения с1 = М + ц, где д < 1. Тогда минимальную размерность фазового пространства для исследуемого хаотического аттрактора можно принять равной N = Л/ + 1. [c.239]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...