Сепаратрисы седла

На рис. 7. ПО изображены последовательные стадии перехода через общие бифуркации от обычного синхронизма к стохастическому. При переходе от рис. а к б происходит смена узла на фокус. Затем (рис. 7. ПО, в) фокус меняет устойчивость, и от него рождается устойчивый предельный цикл. Одновременно происходит сближение сепаратрис седла 5Г и 5i и соответственно 52 и So. После этого (рис. 7. ПО, г) сепаратрисы пересекаются, причем вместе с пересечением сепаратрис 5а и 52 происходит исчезновение устойчивого предельного цикла. [c.364]

Е лишь конечное число односторонних производных (оно равно [сб] —целой части а). Поэтому, выбрав функцию / так, чтобы в системе (12) развести сепаратрису седла и гладкое инвариантное многообразие узла, получим, что центральное многообразие системы (12) негладко. Гладкость его части, заключенной в полосе е <ео, не превосходит 1/2 / ео и стремится к бесконечности при ео- 0. [c.68]

Векторные поля с петлей сепаратрисы седла, имеющего нулевую седловую величину, встречаются в типичных семействах с не менее чем двумя параметрами. Бифуркации таких полей в типичных двупараметрических семействах описаны в п. 2.6. Бифуркации петли сепаратрисы в типичных многопараметрических семействах исследованы в работе [79]. [c.98]

Теорема 1 ([92]). В типичном двупараметрическом семействе векторных полей класса С , г З, встречаются только такие поля с петлей сепаратрисы седла, имеющего нулевую седловую величину, бифуркации которых в этом семействе изображены на рис. 39. [c.108]

Лукьянов В. И.. О бифуркациях динамических систем с петлей сепаратрисы седло-узла . Дифференц. уравнения, 1982, 18. вып. 9, 1493—1506 [c.213]

Таким образом, если особая точка системы (1.1) - узел, то /ii оо при приближении к особенности (нри сз О, т.е. на интегральных кривых, отличных от сепаратрис седла системы (3.1)), а если особая точка системы (1.1) седло, то /ii 0. [c.82]

Одна пз сепаратрисе седла начинается в узле 01 . Другая, пройдя через узел 00 , достигает линии ударной волны , которой для всех 1У является парабола [12 [c.700]

Состояние равновесия такого типа, как у данной системы, называется седлом. Траектории, стремящиеся к седлу О, в данном случае полупрямые X =- О и у = О — называются сепаратрисами седла. [c.49]

Состояние равновесия А является центром (см. пример 5). Состояние равновесия О — седло, стремящиеся к нему при 1 —> —оо или I - -оо траектории — сепаратрисы седла (см. пример 6). [c.54]

Состояние равновесия О (О, 0) системы (65) является так же, как у системы (62), седлом. Однако расположение сепаратрис седла у системы (65) (рис. 22) отличается от расположения сепаратрис системы (62). [c.54]

В рассматриваемых примерах уже встречались различные типы незамкнутых траекторий или, точнее, полутраекторий полутраектории, стремящиеся к замкнутой траектории при i—> —оо, полутраектории, стремящиеся к некоторому предельному континууму , состоящему из двух петель сепаратрис седла и самого седла. Можио ли сказать, что в рассматриваемых примерах представлены все возможные типы траекторий или возможны траектории совсем иного характера Этому вопросу посвящена глава II. [c.58]

Рассмотренное состояние равновесия называется седлом (рис. 83). Траектории Ьс , С, с- называются сепаратрисами седла О. [c.160]

В 7, п. 3 было показано, что одна из сепаратрис седла О, стремящаяся к О при I оо (обозначим ее через Lj), обладает следующим свойством каково бы ни было число > О, все точки сепаратрисы Li, соответствующие достаточно большим t, лежат в области, ограниченной полупрямыми у = - - K( x ш у = — Kf t, содержащими положительную полуось X (т. е. луч 6 = 0). Но это означает (см. замечание 1 в начале п. 1), что сепаратриса Li стремится к точке О в направлении 0 = 0. Точно так же остальные три сепаратрисы стремятся к состоянию [c.199]

Начиная с точек А , А2, В2, мы можем вести приближенное построение (вычисление) траекторий, проходящих через эти точки, и получить таким образом приближенный ход сепаратрис седла О. [c.253]

Теперь можно однозначно установить поведение сепаратрис седел. Легко видеть, что (о-сепаратрисы седла А совпадают с осью у. Рассмотрим а-сепаратрисы седла А. Сепаратриса, проходящая в полуплоскости а < О, стремится к отрицательному концу оси у, так как все другие состояния [c.506]

Теперь можно однозначно установить поведение сепаратрис седла. Так, (о-сепаратрисы седла выходят из неустойчивого узла в бесконечности, так как других а-предельных множеств нет. Нетрудно убедиться, что предельный цикл расположен между (о-сепаратрисами. Но тогда одна из а-сепаратрис седла должна стремиться к устойчивому продельному циклу, а другая — должна стремиться к устойчивому узлу в бесконечности (рис. 315, б). [c.513]

При ц<0 на экваторе сферы Пуанкаре возможна единственная особая точка — простой узел, и, как было отмечено, сепаратриса седла имеет петлю. Качественная картина изображена на рис. 80. [c.123]

Значение параметра ц = 1 опять является бифуркационным. В этом случае сепаратрисами седла 5(1/[а, 0) и седло-узлов на экваторе будут прямые у = х— 1). Качественная картина имеет вид, изображенный на рис. 83. [c.125]

Наконец, последний тип бифуркации проиллюстрирован на рис. 3.5, где показан случай рождения устойчивого предельного цикла из петли сепаратрисы седла. Пусть сепаратрисы седла при некотором значении X имеют расположение, представленное на рис. 3.5, а. Предположим, что при увеличении параметра X ветви сепаратрисы сближаются и при некотором значении Х == Яц сливаются, образуя петлю (рис. 3.5, б). Если при дальнейшем увеличе-1И1И X сепаратрисы седла вновь разделяются так, как показано на рис. 3.5, б, то из петли рождается предельный цикл. Значение А. = в этом случае является бифуркационным. [c.52]

Допустим, что значению h = О соответствуют сепаратрисы седла, имеющие вид восьмерки, изображенной на рис. 7.72 тогда близкие к этой восьмерке фазовые траек- грии ведут себя, как показано на том же рис. 7.72. При [c.332]

Бифуркация от сепаратрисы седла. Перейдем к рассмотрению малого неавтономного возмущения автономной системы с сепаратрисой, идущей из седла в него же. Предварительно опишем бифуркацию, возникающую при малом автономном возмущении, изученную в работах А. А. Андронова и Е. А. Леонтович [5]. [c.369]

Центральное многообразие этой системы двумерно исследуем его пересечения с плоскостями е = onst. Система (12) получается добавлением уравнения е = 0 к семейству из последних двух уравнений. При е > О уравнение этого семейства имеет две особые точки седло 5g(]/E,0) и узел Ne — OJ, отношение а собственных значений которого равно 1/2]/ е. Пересечение центрального многообразия системы (12) с плоскостью E = onst содержит (гладкую) сепаратрису седла Sg и фазовую кривую, входящую в узел Ne- Через узел Ne проходят (при нецелом а) ровно две гладкие инвариантные кривые соответствующего уравнения остальные фазсвые кривые входят в узел, имея в точке [c.68]

Пример. Изображенная на рис. 32 система имеет npw е = бо полуустойчивый предельный цикл, на который наматывается неустойчивая сепаратриса седла и с которого сматывается устойчивая сепаратриса другого седла. После исчезновения цикла, скажем, при е>8о, сепаратрисы этих седел замыкаются, когда параметр е пробегает последовательность значений ei>6o, Ei- eo. Локальная бифуркация здесь — слияние устойчивого и неустойчивого циклов в полуустойчивый при е=Ео и его исчезновение при е>ео. Она сопровождается счетным множеством полулокальных бифуркаций — замыкания сепаратрис при e=Ei. [c.88]

Точки накопления бифуркационных значений параметра являются их односторонними пределами и могут быть лишь следующих двух типов а) в бифуркационный момент, соответствующий точке накопления бифуракционных значений параметра, векторное поле имеет петлю сепаратрисы седла, являющуюся предельной для устойчивой или неустойчивой сепаратрисы другого седла (рис. 35) б) поле имеет цикл с мультипликатором -[-1. предельный для устойчивой и неустойчивой сепаратрис двух разных седел (рис. 32). К этим точкам накапливаются бифуркационные значения, отвечающие векторным полям, имеющим седловые связки. [c.99]

Бифуркации рождения периодич. движения. В табл. 1 приведены основные Б. рождения (если фазовые портреты просматривать слова направо) или исчезновения (если справа налево) периодич. движений. Они разбиты на 3 группы. Если говорить об исчезновении периодич. движений, то к 1-й группе (первые 2 строки) относятся такие Б., при к-рых период периодич. движения Т- ж (или частота оу- О) при ц, - 0, а амплитуда колебаний около ср. значения к нулю не стремится. В автоколебат. системах примером такой Б. является возникновение модуляции при действии периодич. силы на автогенератор. Предельный цикл — образ модулир. колебаний — при этом рождается из петли сепаратрисы седло — узел при слиянии и исчезновении двух состояний равновесия седла и узла (табл. 1, строка 1). Знание подобной Б. позволяет оиределить свойства нового режима, возникшего после перехода через критич. точку,— возникшая модуляция будет характеризоваться конечной амплитудой и близкой к нулю частотой модуляции. [c.211]

Re I.J отрицательны для р и положительны для q корней, причём p + q — n. Если р п (р = 0), точка <У наз. устойчивым (неустойчивым) узлом траектория с началом в мало11 окрестности точки О попадает в О при t—>.-(-03 t—со). Если p O q, точка О на.ч. седлом. Через неё про. одят две поверхности / -мерная Wl и -мерная W o, наз. устойчивой и неустойчивой сепаратрисами точки О они образованы траекториями, стремящимися к О при t— - 00 и t— —оо соответственно. Остальные траектории уходят из окрестности седла при I -—оо (рис. 1). Траектория, лежащая одновременно в Wl и W o (и не совпадающая с О), наз. двоякоасимптотической к О или петлей сепаратрисы седла. При стационарном движении ей отвечает бегущая локализов. волна, в данном случае спадающая при t — 00 (таковы нек-рые соли тоны). [c.626]

Траектории, сколь угодно близкие к сепаратрисе седла, при неограниченном возрастании I удаляются от сепаратрис. Такое поведение траекторий, очевидно, ни в какой мере не прот1Шоречит теореме 4 (о непрерывной зависимости от начальных значений), так как дта теорема рассматривает поведение близких траекторий только на конечном промежутке значений I. Нетрудно убедиться в том, что если взять за исходную [c.49]

Точное определение сепаратрисы будет дано в п. 4 5. Здесь мы заметим, что сепаратрисой седла называется не траектория, а полутраек-тория. При этом, говоря о сепаратрисах, стремящихся к седлу, мы не считаем различными сепаратрисы, из которых одна является частью другой (например, С О ж СоО на рис. 22). С этой точки зрения в рассматриваемом примере к седлу стремится 4 сепаратрисы. Две из этих сепаратрис принадлежат одной и той же траектории — петле . [c.54]

Наряду с этим сепаратрисой седла называют также любую положительную полутраекторию, выделенную из траектории Ьс или Ьс (такие полутраектории называются со-сенаратрисами), и любую отрицательную полутраекторию, выделенную из траектории Ьщ или с-, (а-сепаратрисы). При этом обычно все со-сепаратрисы (или все а-сепаратрисы), выделенные из одной и той же траектории (например, все а-сепаратрисы, выделенные из дц), не считают отличными друг от друга. При таком условии каждое седло имеет всегда в точности четыре сепаратрисы — две а- и две ю-сепа-ратрисы ). [c.160]

Теорема 23. i случае, когда точка О (О, 0) является седлом, все по.гутраектории системы (26), стремящиеся к точке О, т. е. сепаратрисы седла О, стремятся к нему в определенных направлениях. При этом две сепаратрисы стремятся к точке О в направлениях О м я, а остальные [c.199]

Нетрудно убедиться в том, что при качоствениом исследовании динамических систем кроме сведений о состояниях равновеспя и предельных циклах необходимы также сведения о ходе (т. е. о расположении) сепаратрис седел. Так, в примере 4 ( 7) существуют два состояния равновесия -узел и седло. Сепаратрисы седла могут иметь различное поведение. [c.221]

Полутраектории, стремящиеся к седлу (сепаратрисы седла), орбитнонеустойчивы. Действительно, если — стремящаяся к седлу полутраек-тория 11 М — какая-нибудь точка на ней, то всегда можно указать такое бо > О, чтобы при любом б > О полутраектории, отличные от п проходящие через точки 17с, М), при возрастании I непременно выходили бы из ео-окрестности точки Ь%1 (рис. 150). [c.262]

О, — именно, остальные сепаратрисы седла О. Эти две полутраектории расположены, очевидно, на разрезанной плоскости (Е, у) по разные стороны от оси г/ = 0. А тогда из свойств преобразования (2) и пз леммы 2 вытекает, что существует в точности одна нолутраектория системы (А), [c.376]

Отметим, что траектории системы (1) при а > О пересекают замкнутые кривые топографической системы, с ростом i выходя наружу, а при ж О — с ростом I входя внутрь замкнутых кр1шых топографической системы. Отсюда следует, что одна оо-сепаратриса седла А и одна со-сепа-ратриса седла В при I — оо стремятся к фокусу С (1, 0), а также то, что одна а-сепаратриса седла А и одна а-сепаратриса седла В при i [c.501]

Сепаратрисы седел на экваторе сферы Пуанкаре не могут идти из седла в седло, так как это противоречвдо бы направлению движения на траекториях, пересекающих ось у. (й-сепаратриса седла в бесконечности должна при 1- --оо стремиться к неустойчивому предельному циклу, а а-сепаратриса седла в бесконечности при -Ь оо должна стремиться к устойчивому предельному циклу (рпс. 317). [c.515]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...