Собственные функции собственные функции)

Снова интегрирование по г дает нам коэффициент разложения волновой функции по собственным функциям в момент t. Временная экспонента описывает изменение фазы каждого из этих коэффициентов между моментами I п I, к, наконец, сумма по п собирает в ряд волновую функцию в момент /. Заметим, что функция Грина с индексом плюс дает волновую функцию со знаком минус , если момент времени t был раньше, чем и дает нуль в противоположном случае. Функция Грина с индексом минус дает саму волновую функцию, если момент времени I больше, чем и дает нуль в обратном случае. Таким образом, функция Грина характеризует результат интегрирования уравнения Шредингера по времени. Это обстоятельство служит центральным пунктом метода функций Грина однако здесь мы не будем его использовать непосредственно. [c.245]

Заметим, что оператор плотности является, подобно классической фазовой плотности, симметричным относительно перестановок частиц. Действительно, в квантовой механике не все собственные функции гамильтониана являются допустимыми волновыми функциями системы, а лишь те из них, которые удовлетворяют определенным свойствам симметрии. Для систем частиц с нулевым или целым (кратным К) спином (бозе-частицы) допустимы лишь волновые функции, симметричные относительно одновременной перестановки координат и спинов частиц, а для систем частиц с полуцелым (в единицах К) спином (ферми-частицы) допустимы лишь антисимметричные относительно перестановки координат и спинов волновые функции. В выражение (11.30) для оператора плотности входят не все, а лишь допустимые волновые функции и из этого билинейного выражения видно, что независимо от сорта частиц оператор плотности не меняется при перестановке частиц. [c.194]

Z, то гамильтониан не изменится (V при таком преобразовании, очевидно, не изменяется). Следовательно, собственные функции, принадлежащие невырожденным собственным значениям, должны обладать определенной четностью, а из собственных функций, принадлежащих вырожденным собственным значениям, всегда можно составить такие комбинации, которые обладают определенной четностью. Напомним еще раз, что выражение волновая функция обладает определенной четностью означает, 410 если в волновой функции координаты. V, у, Z одновременно заменить на —X, —у, —Z. то арифметическое значение функции не изменится, а ее знак либо не изменится, либо изменится на обратный. В первом случае [c.176]

В случае же задачи 1 (полагая, что собственные функции союзного уравнения уже найдены и условие существования решения при заданном краевом условии проверено) и задачи 11+ следует воспользоваться соображениями, изложенными в 2 ГЛ. I. Первый прием заключается в том, что ряд (2.18) надо рассматривать в асимптотическом смысле, отказавшись от выполнения сколь угодно большого числа итераций при фиксированной дискретизации поверхности. Второй же прием заключается в корректировке каждой итерации (осуществления ортогонального проектирования на подпространство функций, удовлетворяющих условию ортогональности).Тогда формулы (2.32 ) ГЛ. I преобразуются к виду [c.576]

Существенную помощь в исследовании нестационарных процессов может оказать метод разложения распределения температур в ряд по собственным функциям (см. гл. 3). Для этой цели должны быть разработаны эффективные алгоритмы численного расчета на ЭВМ собственных функций и собственных значений различных порядков основного и сопряженного уравнений переноса тепла. Знание базисной системы функций основного и сопряженного уравнений позволяет также построить общую теорию возмущений высших порядков, о которой шла речь в гл. I. Несомненную пользу исследователю может дать теория возмущений для декремента затухания гармоник температурного распределения, поскольку она позволяет вводить поправки к функции, описывающей ход нестационарного процесса, под влиянием тех или иных возмущений параметров системы. [c.112]

Таким образом, собственные функции задачи и для шара и для цилиндра имеют одинаковый вид, причем собственная функция сплошного ядра I зависит только от [аг, а собственная функция оболочки II—еще и от ш. Обозначим эти функции, для простоты, [c.126]

СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ линейного оператора А, отвечающее собственному вектору (собственной функции) / нз линейного пространства (векторного пространства) Ь, — комплексное либо вещественное число Я, такое, что [c.567]

Равенства (2.42) и (2.43) показывают, что как ы (г), так и ы (—г) являются собственными функциями оператора Жо г) с одним и тем же собственным значением Е . Хорошо известно [3], что для невырожденных уровней энергии (не считая произвольного выбора знака) каждому собственному значению соответствует только одна собственная функция, т. е. [c.39]

Элемент х, для которого имеет место равенство (2.8) называется собственным элементом (собственной функцией), соответствующим собственному значению Л. [c.58]

В теории дифракции для решения внутренних задач широко применяется метод собственных колебаний. Он состоит в том, что поле, возникающее при возбуждении замкнутого объема (т. е. решение неоднородной задачи), ищется в виде ряда по некоторым вспомогательным функциям — собственным функциям этого объема. Эти функции являются собственными функциями вспомогательной однородной задачи, соответствующими различным значениям собственной частоты. Они образуют полную и ортогональную систему. Метод особенно эффективен для резонаторов с малыми потерями и при частоте, близкой к одной из собственных частот. [c.7]

Обобщенный метод собственных колебаний, основы которого излагаются в этой книге, также состоит в представлении решения стационарной задачи дифракции в виде ряда по некоторой ортогональной системе функций. Он также эффективен в первую очередь вблизи резонанса. Он применим и для открытых резонаторов и вообще для любых задач дифракции на ограниченных телах. Его основная идея состоит в том, что в качестве собственных функций используются решения однородной задачи, в которой собственным значением является, вообще говоря, не частота (как в обычном методе), а какой-либо электродинамический параметр — например, диэлектрическая проницаемость некоторого вспомогательного тела, занимающего тот же объем, что и тело, на котором происходит дифракция. Какая именно величина принимается в качестве собственного значения однородной задачи, зависит от вида задачи дифракции в книге излагается несколько вариантов метода. Во всех изложенных вариантах собственные функции соответствуют [c.7]

В качестве алгоритма для нахождения собственных элементов вспомогательных однородных задач хш-метода могут быть использованы интегральные уравнения (с простыми ядрами) для собственных функций. Они оказываются распространенными по поверхности 5,т.е. по области, где устанавливается вспомогательное граничное условие, и тем самым имеют размерность на единицу меньше размерности соответствующей однородной задачи. Для тел с замкнутыми границами эти уравнения получаются особенно просто. Выведем их, например, для внешней задачи (9.5), (9.6). Для этого применим вторую теорему Грина к области V, записанную для собственной функции ы и для функции Грина О точечного источника в пустоте (5.23). Так как и ы и О удовлетворяют условиям излучения, то возникающий [c.93]

Оба функционала стационарны на собственных функциях рассматриваемой задачи стационарность (15.20) имеет место лишь при к, равном собственному значению kn. В стационарных точках (15.20) принимает нулевые значения, а (15.2 ) — значения, равные соответствуюш,им kn. Допустимые функции должны удовлетворять всем граничным условиям (для внешних задач — и условию излучения). Может нарушаться лишь условие непрерывности нормальных производных на границах разрыва е(г). [c.156]

Мультипольное разложение (6) — (10) справедливо для решения краевой гидродинамической задачи вне шара, из которого бьет струя. В этом случае собственные значения > О, > О и соответственно показатели степени >0, > 0. Можно расширить границы применимости развитого обобщенного мультипольного разложения на струйные течения в ограниченных областях, если семейство собственных значений дополнить отрицательными показателями степени а,, и соответственно ц , Такие отрицательные собственные значения действительно существуют в некоторой области небольших чисел Рейнольдса. В случае Ке О, как было показано в разд. 4.2, спектральные значения, отвечающие собственным функциям в виде полинома степени ге+1, есть а = ге, п + 2, —ге+1, —п—1. Отсюда видно, что существует двукратный целочисленный спектр отрицательных а , аналогичный спектру положительных собственных значений, причем множество собственных функций, соответствующих а < О, есть полная система полиномов, удовлетворяющая всем необходимым условиям (г/ ( 1) = 0, см. 2). При увеличении числа Рейнольдса двукратные собственные значения расщепляются на две ветви, а система собственных функций для каждой ветви остается полной но крайней мере в некоторой окрестности точки Ке = О, что позволяет удовлетворить граничным условиям для ив и Уе на внешней сфере радиуса Ну. [c.291]

Как мы видели, форма иитерферограммы, возникающей в интерферометре Майкельсона, определяется собственной функцией когерентности Г(т), или, иначе, комплексной степенью когерентности Y( г) света, испускаемого источником. Дополнительно к этому нам известно (гл. 3, 4), что для стационарного случайного процесса существует прямая связь между этими функциями корреляции и спектральной плотностью мощности источника. Б частности, из формулы (3.8.34) мы имеем [c.161]

ШАРОВЫЕ ВЕКТОРЫ (векторные шаровые функции) — собственные функции оператора полного момента количества движения для системы с единичным спином. [c.418]

ШАРОВЫЕ СПИНОРЫ (с п и н о р н ы е шаровые функции) — собственные функции оператора полного момента количества движения для систем со спином 2- [c.418]

Конструктивное решение -задачи на собственные значения и собственные функции полного набора операторов Казимира требуется для целого ряда физических приложений теории представлений групп, в том числе при изучении квантования нелинейных динамических систем, ассоциируемых с алгебраической структурой полупростых групп Ли (см. гл. VII). При этом выбор того или иного разложения группы через ее подгруппы приводит, вообще говоря, к физически неэквивалентным квантовым системам, гамильтонианы которых отождествляются с квадратичными операторами Казимира, а волновые функции — с собственными функциями последних. [c.84]

Л ы уже видели, что собственную функцию электрона (схематически изображенную на фиг. 20, б) можно представить в виде произведения блоховской функции Ка и плоской волны ехр (1к-г) (фиг. 20, виг). Плоская волна (так же как и Ыл) удовлетворяет периодическим граничным условиям. Так как функция имеет полную периодичность решетки, ее также можно было бы разложить в ряд Фурье, содержащий только плоские волны, отвечающие векторам обратной решетки. Отсюда следует, что собственную функцию можно разложить в ряд Фурье, содержащий плоские волны с волновым вектором к и волновыми векторами, отличающимися от к на вектор обратной решетки эти волновые векторы как раз и генерируют то представление, по которому преобразуется функция я)). [c.71]

Каждая из функций является собственной функцией Т , т. е. под действием операторов Тт преобразуется в соответствии с соотношением (II. 4), куда никакие другие решения уравнения Шредингера не входят. Отсюда ясно, что каждая из этих функций преобразуется по одномерному представлению подгруппы трансляций. Кроме того, как это видно из (II. 4), волновые функции, отвечающие значению А = 0, под влиянием трансляций не изменяются. Это обстоятельство позволяет сделать вывод о том, что волновые функции, отвечающие А==0, осуществляют представление фактор-группы подгруппы трансляций. [c.364]

В первом приближении для собственных частот шр,, по-прежнему справедливо равенство (4.8), так как выражение а-з во внутренней и внешней задачах совпадает. В следующих приближениях (если искать Шр,, в виде (4.9)) появляется отличие, сводящееся к тому, что вместо коэффициентов и 4 следует писать коэффициенты >2 и 64, получающиеся из 2 и заменой —tp на 1р. Это отличие, очевидно, переносится и на формулу (4.11) для собственных функций Ыр,,. Окончательно имеем [c.185]

Мы будем оценивать Я — Xi так обозначим через Ei подпространство, натянутое на точные собственные функции щ,. ... .., Ul, и возьмем Si = PEi в качестве подпространства в S , используемого в принципе минимакса. Таким образом, 5/ натягивается на пробные функции Рщ,. .., Рщ. Они не совпадают тождественно с приближенными собственными функциями м, . .., но в доказательстве важно лишь, что они близки к. последним. [c.265]

Выражение (37.3) представляет собой интегродифференциальное уравнение относительно колебательной скорости V (х). В отличие от случая, рассмотренного в 36, здесь V (х) не может быть разложена в ряд по собственным функциям, одинаковым для всех пролетов, и выражения для таких функций будут различны для разных участков пластины, что соответствует сдвигу кривых, описывающих собственные функции, вдоль оси х. Поэтому мы введем в рассмотрение собственные функции Х (л ), зависящие от номера пролета д. Эти функции должны удовлетворять уравнению свободных колебаний пластины и граничным условиям для жесткого закрепления [c.278]

Умножим уравнение (3.4.13) на собственную функцию к ф то) и проинтегрируем полученное выражение по у от О до 1. После некоторых преобразований с учетом граничных условий (3.4.14) приходим к условиям ортогональности для и с весовой функцией (1—у ) [c.118]

Снова подчеркнём, что выбор масштаба собственных форм несущественен. Если, например, в выражении собственной формы (209) принять вместо величину в а раз большую, то (214) дадут результаты в а раз меньшие после подстановки в решение (211) эти различия компенсируют друг друга. Тем не менее часто пользуются нормированными собственными функциями, выбирая их масштаб таким, чтобы знаменатели выражений (214) равнялись единице, что упрощает выражения и В . [c.202]

Повреждение, обусловленное интенсивным порообразованием по границам зерен в материале, может приводить к значительному его разрыхлению. В этом случае проведение независимого (несвязного) анализа НДС и развития повреждений в материале дает значительные погрешности. Например, отсутствие учета разрыхления в определенных случаях приводит к существенному занижению скорости деформации ползучести и к снижению скорости накопления собственно кавитационных повреждений. В настоящее время связный анализ НДС и повреждаемости базируется в основном на феноменологических подходах, когда в реологические уравнения среды вводится параметр D, а в качестве разрушения принимается условие D = 1 [47, 50, 95, 194, 258, 259]. Дать физическую интерпретацию параметру D достаточно трудно, так как его чувствительность к факторам, определяющим развитие межзеренного повреждения, априорно предопределена той или иной феноменологической схемой. Так, во многих моделях предполагается, что D зависит только от второго инварианта тензора напряжений и деформаций и тем самым исключаются ситуации, когда повреждаемость и, как следствие, кинетика деформаций (при наличии связного анализа НДС и повреждения) являются функциями жесткости напряженного состояния. [c.168]

Это означает, что функция собственная функция оператора В, принад- [c.112]

Пространственная часть собственных функций I, (г, t) уравнения (43.2) дается соотношениями (30.39), а временная часть представляется множителем ехр — iE tlfi), причем собственное значение энергии дается формулой (30.246). Собственные значения вырождены, а собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, ортогональны. При расчетах (см. 42) каждое состояние, принадлежащее вырожденному собственному значению, надо рассматривать как самостоятельное. [c.243]

J>bix являются потенциалами смещений при перемещениях в направлении осей , 0 у, 0 2 и вращении вокруг осей Ох, Оу, Oz, когда свободная поверхность идкости совпадает с плоскостью, параллельной 2 ф (л , у, г) — гармонические Функции — собственные функции краевой задачи о колебаниях жидкости в непод-ЧЖИОМ отсеке той же конфигурации (t) — обобщенные координаты, характерич Ующие волны на свободной поверхности жидкости. [c.65]

Различают несколько вариантов метода МО в зависимости от выбора пробных функций Ч . Наиболее авторитетным является метод Хартри—Фока (ХФ, англ.— HF), в котором отыскиваются оптимальные одноэлектронные функции Т,, приводящие к. минимальной энергии системы в однодетерминантном приближении. Эти функции подчиняются весьма сложным нелинейным уравнениям Хартри— Фока, которые решают методом самосогласованного поля (ССП, англ.— S F). Отсюда название рассматриваемого варианта метода МО есть МО—GGIT—ХФ (англ.— МО—SGF—HF). Нелинейность уравнений Хартри —Фока возникает из-за того, что Ч- , играя роль собственных функций, входят в кулоновские и обменные операторы. Поэтому при решении этих уравнений прибегают к итерационной процедуре сначала задают пробные функции Т , которые позволяют вычислить новые, функции первого приближения затем, используя функции определяют функции второго при- [c.135]

По этим уравнениям из значений мгновенных координат ядер в пространстве можно определить углы 0 и и тем самым про-странствениую ориентацию оси z. Так как ориентация осей х и у несущественна с точки зрения минимизации колебательного углового момента [см. формулу (7.122)], отсутствует и соответствующее условие Эккарта, задающее угол Эйлера %. Обычно угол Эйлера х выбирается постоянным. Заметим, что в гл. 7 при выводе гамильтониана двухатомной молекулы мы выбирали X = 0°. В наиболее общем случае мы можем выбрать угол х как функцию углов 0 и Тогда элементы матрицы направляющих косинусов [см. (7.52)] будут зависеть всего от двух независимых переменных 0 и Из-за отсутствия угла % в качестве вращательной переменной компоненты углового момента в системе осей, фиксированных в линейной молекуле, не удовлетворяют коммутационным соотношениям (7.147). Коммутационные соотношения становятся более сложными [см., например, (7.84) и (7.85)], и матричные элементы компонент углового момента и вращательные собственные функции отличаются от соответствующих величин для нелинейной молекулы, приведенных в табл. 8.1. Из-за наличия лишних угловых множителей [например, множителя sin 0 во втором члене выражения (7.94)] [c.365]

Собственное значение Тг = 2 при всех числах Рейнольдса, поскольку это соответствует закону сохранения момента количества движения. Для ге > 2 значения jn оказываются дробными и зависят от числа Рейнольдса (рис. 106). При ReО (Л- < ) собственные значения целочисленные jn = п, и им отвечают собственные функции вида Тп(х) = Dn i - х )Тп-2 х) п>2), где Тп х) — некоторые полиномы степени п, Dn = onst. Нетрудно видеть, что система Г является в этом пределе полной системой функций. Это соответствует ясному физическому условию, что на сфере радиуса Но можно задать скорость любой регулярной функцией угла 0, в частности произвольной функцией из пространства 2 (1-1, 1]). [c.289]

Здесь есть смещение по отноиюнию к минимуму энергии. Оно принимается тюложительным в направлении к горбу потенциальной функции. Собственные функции (2,298) для v = Q, 1, 2 приведены на фиг. 72,6. Можно показать ), что симметричная функция всегда соответствует более низкому уровню пары. Из рассмотрения собственных функций следует, что вероятность найти частицу 8 правой и левой потенциальной яме совершенно одинакова. Согласно классической [c.240]

Для вращательных уровней типа Л мы должны взять спиновые функции типа Л, общее число которых равно пяти для вращательных уровней типа Е нужно взять одну единственную спиновую функцию типа Е, так как только в этом случае полная собственная функция будет принадлежать к типу Л наконец, для вращательных уровней типа Р следует взять спиновые функции типа Р, число которых равно трем. Так как Е Е дает две функции типа Л, а Л X Л н Р Р только по одной, то отсюда следует, что статистические веса враща-гельных уровней А, Е и Р равны 5, 2 и 3 соответственно. С помощью этих, значений можно получить общий статистический вес для каждого значения У. Для колебательного состояния с симметрией Л (Л, или Ло) они ужо были приведены в табл. 7. Для других колебательных состояний их легко найти при помощи фигур 138,5 и 138,6. Так, например, при 7=4 три подуровня 4 ,4 и 4 имеют статистические веса (не учитывая обычный множитель 2/- - 1, связанный с пространственным вырождением) (5 - - 2 X 3)= 11, (5- -2- - 2 X 3)= 13. и (2- -ЗХЗ)=11 соответственно. Такие статистические веса получаются, в частности, для молекул СН4 и 51Н4. При /(У) = 1 симметрия спиновой функции, согласно Вильсону [933], будет 15 Л- -6 18/- и, следовательно, стати стические веса вращательных уровней А, Е и Р равны 15, 12 и 18 соответственно. В результате мы получаем полные статистические веса, приведен- [c.479]

В современной теории хорошо разработаны точные аналитические методы решения линейных задач теплопроводности, базирующиеся на дифференциальных уравнениях теплопроводности параболического типа. Для решения таких уравнений широко применяются методы интегральных преобразований, операционный метод, методы собственных функций, метод источников, конформные преобразования. Проведено много исследо-ваип11, посвященных разработке методов решения нелинейных задач теплопроводности, в которых коэффициенты дифференциальных уравнений зависят от температуры, а источники тепла и граничные условия являются нелинейными функциями температуры. [c.6]

Следовательно, уравнение Шредингера имеет единственное собственное значение %—. Собственная функция, соответствующая безотражательному потенциалу (3.57), имеет вид [c.80]

К оператору такого типа можно прийти, если известно, что осциллятор находится в когерентном состоянии, которому соответствует неизвестное собственное значение а. Следовательно, можно считать, что функция Р (а) играет роль, аналогичную плотности вероятности для распределения значений а по комплексной плоскости ). Дальше мы увидим, что иногда такую интерпретацию можно обосновать. Однако в общем случае функцию Р (а) нельзя последовательно интерпретировать как распределение вероятности, поскольку проекционные операторы, с которыми она связана, не ортогональны друг другу при различных значениях а. Правда, в некотором смысле можно сказать, что состояния а) и а ) становятся приблизительно ортогональными при а — а 1 [что отмечалось Б связи с (3.33) ], т. е. когда их волновые пакеты (3.29) или (3.30) не перекрываются заметным образом. Если же функция Р (а) мало изменяется во всей области значений параметра а, то пеортогональ-ность когерентных состояний оказывает небольшое влияние и функ--цию Р (а) можно приближенно интерпретировать как плотность-вероятности. Медленно меняющиеся функции Р (а) обычно будут связываться с сильными полями, которые приближенно можно описывать с помощью классической теории. [c.89]

Существование собственного значения к предполагалось выше иа основе физических соображений. Точнотакже предполагается существование соответствующей ему неотрицательной собственной функции. Для некоторых простых задач был детально исследован спектр собственных значений к. Например, было доказано [30], что в односкоростном приближении (см. гл. 2) с изотропным рассеянием для среды или пластины существует бесконечное число дискретных действительных собственных значений к и что, в частности, наидгеньшее из них является эффективным коэффициентом размножения. В многогрупповом приближении также может быть получена обширная информация о собственных значениях к и собственных функциях (см. гл. 4). [c.38]

Дискретные собственные значения V уравнения (2.92) можно найти, если результат его интегрирования по .I приравнять единице. Это было пределано для некоторых особых случаев. В работе [52] доказана полнота системы дискретных и непрерывных собственных функций. [c.84]

Асимптотика собственных функций типа шепчущей галлереи была получена В. С. Булдыревым [3]. И. А. М о л о т к о в ы м [1] была найдена асимптотика волнового поля в тени, выражающаяся через функцию Эйри Wi(t), в случае неоднородной по двум координатам среды. [c.441]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...