Собственные функции внешности

Известно ), что функция [/(Мо,М) является линейной комбинацией функций Uf(M), удовлетворяющих условиям (5.1), (5.2) при к = ко. Эти функции ыДМ) мы и назовем собственными функциями внешности 2. По-видимому, аналогичное определение собственных функций применимо при некоторых дополнительных ограничениях и в случае переменного с = с х,у). [c.182]

Собственные функции типа шепчущей галереи, построенные в предыдущих параграфах, не исчерпывают всей совокупности собственных функций с большими номерами. Собственные функции внешности Q, которые будут изучены ниже, тоже представляют собой лишь часть собственных функций, а соответствующие им собственные числа являются серией собственных чисел, наиболее близких к вещественной оси из всех собственных чисел с большими номерами. Для внешности круга в этом -можно убедиться при помощи непосредственных вычислений, которые имеют хотя и громоздкий, но элементарный характер. [c.183]

Для построения собственных функций внешности Q прежде всего необходимо найти некоторый класс асимптотических решений уравнения (1.1). По-прежнему вводим координаты s и п и полагаем, что с = s,n). В отличие от 3, теперь считаем, что >0. Как и ранее, P(s)>0. Решение уравнения [c.183]

В начале настоящего параграфа мы отметили, что достаточно быстро убывающих по мере удаления от контура 5 собственных функций внешности 2 не существует. Здесь нет противоречия, так как на разложение (5.5) условие -периодичности по ( — длина границы 5), обязательное для собственных функций, сейчас еще не налагается. [c.185]

Здесь также одно собственное число смещается во внутрь единичного круга, другое — во внешность (см. рис. 6.3). Поэтому при отборе в этом случае следует взять одну собственную функцию, соответствующую Xk — — 1. Аналогично следует поступить и при Хк — —1. [c.232]

Рассмотрим полюсы функции Грина С(го, фо г, ф к), определенной формулами (2.8) и (2.9), на комплексной плоскости к. Напомним, что (см. 5 гл. 6) полюсы функции Грина на плоскости к можно считать собственными числами оператора Лапласа для внешности выпуклой области, в данном случае — внешности круга г = р. [c.311]

За счет выбора значений постоянных и можно удовлетворить произвольные граничные условия для давлений или нормальных составляющих скоростей на поверхностях г — и г = г. . Сама процедура определения постоянных и В довольно проста и сводится, по существу, к определению коэффициентов Фурье для заданной функции. Рассматриваемая задача не имеет решения лишь для дискретного множества значений частоты — для собственных частот кольца. Если поверхность г = удалять на бесконечность, решение (1.21) преобразуется в решение для внешности цилиндра (г > Г1). При этом условия излучения приводят к тому, что =1 Л и выражение для потенциала поля приобретает вид [c.15]

Собственные функции внешности круга (их легко можно найти в явном виде методом разделения переменных) экспо-ненциально растут на бесконечности при г =Ух У °°-Возможно, это обстоятельство имеет место и в общем случае, [c.182]

Если бы было k h = О, то слева был бы нуль, т. е. в асимптотической записи (2.20) должно было бы быть ф (е, ф) = 0, а отсюда следует, что s О, Не может быть, очевидно, и k n<0, ибо правая часть (2.21) неотрицательна. Таким образом, для всех собственных функции hnkn > О, и все они неограниченно возрастают при удалении от тела на бесконечность. Например, для внешности цилиндра радиуса а с граничным условием (2.2а) собственные частоты k [c.22]

Возможно, что наиболее ранний пример использования комплексных собственных частот в электродинамике относится к 1884 г., когда Томсон рассмотрел свободные колебания поля во внешности идеально проводящей сферы [152]. Типы колебаний, удовлетворяющие условию неприходящего излучения, экспоненциально нарастали в пространстве, что дало повод для критики со стороны Ламба, считавшего задачу физически неправильно поставленной. Явление экспоненциальной катастрофы до сих пор многих отпугивает от решения несамосопряженных спектральных краевых задач, хотя вопрос полностью исчерпывается при переходе на нестационарную точку зрения — с каждым нарастающим колебанием связан экспоненциальный множитель, зависящий от времени, который перекрывает зависимость от координат в любой точке пространства. Иными словами, каждая функция, описывающая свободные колебания, финитна в пространстве и ее носитель растет со временем. Постановка спектральных задач для линий передачи и открытых резонаторов вполне естественна даже без связи с проблемами теории рассеяния. В случае с дифракционными решетками необходимость в построении спектральной теории не столь [c.10]

II. 2.4. Замечание. Для читателей, которые слышали об особенностях Ландау второго типа (возникающих из-за наличия пинча на бесконечности у цикла интегрирования), заметим, что этих особенностей второго типа не существует для интегралов поглощения в той области, в которой мы их определили, т. е. выше порога. Причина этого в том, что отображение 9 ко) является собственным (I. 1.2) —существенное обстоятельство, которое позволило нам применить предложение А. ИГ. 2.2. Это уже неверно, если попытаться аналитически продолжить функцию во внешность ее первоначальной области определения (например, ниже порога), так как цикл интегрирования деформируется, становясь комплексным, а комплексификация (ко) не является собственной. [c.77]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...