Задача теплопроводности линейная

Для оценки температурных полей в геометрически сложных областях в последнее время часто применяется метод конечных элементов /1-5/. Можно отметить два подхода к решению нелинейной задачи теплопроводности. Первый из них заключается в предварительной линеаризации нелинейного уравнения теплопроводности с помощью метода оптимальной линеаризации /57 или метода Ньютона - Рафсона,я к линейному уравнению применяется процедура метода конечных элементов (МКЭ). Второй подход заключается в построении решения с использованием МКЭ дня нелинейной задачи в случае "слабой" нелинейности /зу или использовании итераций дня учета нелинейности /5,4/. [c.133]

Весьма привлекательна идея сведения обыкновенного дифференциального уравнения к алгебраическому, уравнения в частных производных с двумя аргументами к обыкновенному, уравнения в частных производных с п аргументами к уравнению также с частными производными, но с п — 1 аргументами, поскольку уменьшение числа аргументов в уравнении, как правило, упрощает отыскание его решения. Добиться уменьшения числа аргументов любого из перечисленных дифференциальных уравнений (в случае их линейности) принципиально возможно с помощью интегрального преобразования. Разберемся в этом вопросе на примере обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего единственный аргумент t, исключение которого трансформирует дифференциальное уравнение в алгебраическое. Операторный метод весьма эффективен и находит широкое применение, например, в некоторых задачах теплопроводности [15]. В данной главе для иллюстрации метода приведены решения задач о прогреве тел простой формы стержня полубесконечного и стержня конечных размеров, а также круглой пластины. [c.193]

Программа составлена на алгоритмическом языке ФОРТРАН-IV и предназначена для численного решения нестационарной одномерной задачи теплопроводности методом конечных разностей по неявной схеме (см. пример 23.6), Решение системы линейных алгебраических уравнений вида [c.466]

Законы переноса устанавливают связь между молекулярными потоками переносимой субстанции (теплоты, массы компонента смеси), с одной стороны, и движущими силами переноса (т. е. градиентом температуры и градиентом концентрации) — с другой. Для большинства возникающих на практике задач справедливо линейное соотношение между этими величинами, устанавливаемое законом теплопроводности Фурье (рис. 1.2) [c.7]

Из условий сопряжения (2.17) формальным путем можно получить три основных типа линейных граничных условий для несопряженных задач теплопроводности [7]. Действительно, когда значение заранее известно и определяет температуру окружающей среды или теплоносителя, получим граничные условия III рода [c.24]

Для математической формулировки задачи в виде дифференциальных уравнений теплопроводности и соответствующих краевых условий [например, в виде выражений (2.36)-(2.41)] определение температурного состояния тела связано с непосредственным решением этих уравнений. Возможности точных аналитических методов в этом случае ограничены, как правило, решением линейных задач теплопроводности, когда теплофизические характеристики материала тела или его отдельных частей не зависят от температуры, а граничные условия выражаются линейной комбинацией температуры и ее градиента на поверхности. Если в теле действуют внутренние источники теплоты, мощность которых является функцией температуры, то эта функция также должна быть линейной. [c.43]

Большая группа методов приближенного решения задач теплопроводности базируется на интегральной формулировке [например, в виде интегрального соотношения (2.47)]. Эту группу методов называют методами взвешенных невязок. Их особенность состоит в подборе приближенного решения из условия малого рассогласования (невязки) при его подстановке в дифференциальные уравнения теплопроводности и краевые условия. Один из наиболее распространенных - метод Бубнова-Галер-кина [10] - характерен тем, что искомое приближенное решение представляется как линейная комбинация функций, входящих в интегралы взвешенной невязки в качестве весовых. [c.47]

При постановке конкретной физической задачи кроме придания явного вида оператору L в (1.1) это уравнение должно быть дополнено краевыми (граничными и начальными) условиями. Граничные условия определяются физической постановкой задачи и отражают ограничение размеров исследуемой области, а также ее изоляцию от остального пространства. Они могут иметь разнообразный характер. В частности, линейные граничные условия, используемые в задачах теплопроводности и диффузии, можно записать для самого общего случая в виде [c.10]

Теория возмущений в случае задачи для твэла. Получим формулы теории возмущений для линейного функционала температуры (2.7) при стационарной передаче тепла в неподвижной среде. Для этого используем следующие постановки возмущенной и сопряженной задач теплопроводности (см. п. 2.1.1) [c.50]

Книга посвящена исследованию тепловых режимов деталей, узлов, установок и помещений с помощью электрических моделей-сеток сопротивлений и комбинированных электромоделей. Изложена методика электрического моделирования линейных и нелинейных задач нестационарного тепло- и массопереноса. Даны примеры решения на электромоделях не только прямых, но и обратных, инверсных и индуктивных задач теплопроводности. [c.448]

Кроме сведений о широко применяемых методах исследования задач теплопроводности, в монографии уделено большое внимание разработанным автором методам и вопросам их реализации на различного рода электрических моделях. При этом предлагаемые методы и устройства следует рассматривать не только как аппарат для непосредственного решения нелинейной задачи, но и как средство оценки влияния нелинейностей и определения пределов, в которых возможно линейное решение. Эта область приложения приобретает особое значение при исследовании температурных полей таких сложных объектов, каковыми являются элементы паровых и газовых турбин, так как появляется возможность решения основной теплофизической задачи в линейной постановке после оценки влияния нелинейностей с помощью предлагаемых методов. Кроме того, если решения, полученные на-электрических моделях, не удовлетворяют заданной точности, то их можно рассматривать в качестве первого приближения для расчетов на ЭЦВМ. [c.4]

Вместе с тем опыт работы с моделирующими аналоговыми средствами самых различных типов и специальные исследования, проведенные с целью расширения возможностей существующих аналоговых машин, позволяют сделать вывод о том, что любая аналоговая модель может быть использована для решения нелинейных задач, если провести целенаправленное преобразование математической модели процесса и дополнить модель-аналог соответствующими устройствами. Поэтому одной из задач настоящей работы является освещение методологии решения нелинейных задач теплопроводности с помощью широко распространенных и достаточно простых традиционных аналоговых средств, использование которых в силу их структуры ограничено обычно решением линейных задач. [c.19]

В работе[135] рассматриваются задачи теплопроводности в телах простейшей формы с линейной зависимостью а (Т) и приводятся результаты решения. [c.54]

Вопросы, связанные с классификацией методов решения линейных и нелинейных задач теплопроводности, так же как вопросы выбора метода решения, достаточно подробно освеш,ены в работе [120]. Это позволяет нам остановиться лишь на некоторых, необходимых для дальнейшего изложения, аспектах, разделив методы решения лишь по основным признакам, таким как возможность решения нелинейных задач, форма получения результата решения, в соответствии с которой методы делятся на аналитические и численные. а также точность решения (методы точные и приближенные). [c.66]

Исследование температурного поля полуограниченного тела, проведенное различными методами (параграф 3 гл. VII и настоящий параграф) подтвердили необходимость учета зависимости коэффициента теплопроводности от температуры, поскольку погрешность при решении линейной задачи достигала 30%. Вместе с тем при правильном выборе коэффициента теплопроводности существует возможность решения задачи в линейной постановке. Так, если коэффициент теплопроводности взять при температуре, близкой к температуре греющей среды, то погрешность определения температурного поля не превышает 3—8 %. Этот вывод носит частный характер и не распространяется на другие задачи, где при линеаризации предпочтительнее может оказаться другая, например средняя температура тела (см., например, [118]) (так в большинстве случаев и бывает). Тем не менее, учитывая специфику конструкции ротора и корпуса СКР-100, а также условия нагрева и охлаждения этих элементов, было решено дальнейшие исследования их теплового состояния проводить в линейной постановке с учетом указанного выше вывода из решения нелинейной задачи, что значительно упростило проведение эксперимента. [c.120]

Основное внимание в настоящей главе уделим третьей краевой задаче, так как реализация граничных условий I и II рода, точно так же, как и в случае задачи стационарной теплопроводности, ничем не отличается от реализации их при моделировании линейных задач. Решению же задач теплопроводности с граничными условиями [c.127]

При решении нелинейной задачи теплопроводности методом комбинированных схем так же, как и методом нелинейных сопротивлений, уравнение (Х.1) преобразуется в (Х.8) с помощью подстановки (Х.9). Граничное условие III рода (Х.4) в случае линейной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры принимает вид (Х.12), а в общем случае произвольной зависимости i = / (Т) может быть записано следующим образом [c.139]

Далее рассматриваются приемы, позволяющие решать задачу теплопроводности с учетом теплового излучения. При этом конвективный теплообмен может моделироваться обычным образом, когда внешнее термическое сопротивление моделируется с помощью омических сопротивлений (в случае линейной задачи) или, когда тепловой поток задается током с помощью специальных блоков граничных условий [158, 170, 193] (нелинейная задача). [c.147]

Выбор режима нелинейного элемента зависит от условий задачи. Так, показатель степени п целиком определяется видом зависимости = / Т)- Например, в случае линейной зависимости X (Т) функция = / (Г) оказывается квадратичной и показатель степени п = 0,5. Коэффициент А является аналогом коэффициента теплоотдачи а, и, следовательно, последний на электрической модели может быть задан, например, смещением на управляющей сетке лампы. Это обстоятельство использовано при создании устройства для решения обратной задачи теплопроводности, о котором речь идет в данном параграфе. [c.169]

Адиабатическая задача для линейного источника и граничных условий 3-го рода была решена автором в работе [1]. Интегрировалось уравнение теплопроводности [c.5]

В настоящей работе дается метод решения третьей краевой задачи для линейного уравнения теплопроводности в полубесконечной области с постоянно движущейся границей, отличный от указанных в [1—7] методов. [c.118]

Выбор интерполяционных функций срр. МКО не ограничивает выбор интерполяционных функций фр, что приводит к неединственности выражения для дискретного аналога, получаемого из (5.79). На практике обычно ограничиваются простейшими кусочно-ненулевыми функциями. При этом важно, чтобы интерполяционные функции имели физически правдоподобный характер и обеспечивали хорошую аппроксимацию для компонент вектора плотности полного потока на гранях КО. Например, в одномерной стационарной задаче теплопроводности при отсутствии источников и стоков теплоты любая интерполяционная функция, имеющая локальные экстремумы, очевидно, является неправдоподобной для представления профиля температуры. В этом случае требованию правдоподобия отвечают кусочно-линейные интерполяционные функции. Напротив, в задачах с преобладающим влиянием конвекции использование кусочно-линейных и кусочно-квадратичных функций приводит при недостаточно густой сетке к физически абсурдным результатам. Для этих задач, как будет показано в п. 5.2.5, целесообразно применение кусочно-экспоненциальных интерполяционных функций. Следует отметить, что использование в качестве интерполяционных функций полиномов высокого порядка дает сравнительно небольшое преимущество в точности при использовании грубой сетки, однако оказывается менее экономичным из-за охвата большого количества узлов сетки. Для разрывных решений (для течений с ударными волнами), а также решений, характеризующихся большими градиентами (для течений вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса), интерполяционные полиномы высокого порядка также не дают существенно большую точность [73]. В силу указанных причин применение полиномов более высокого порядка, чем первый, может быть оправдано лишь в некоторых особых случаях. [c.154]

Возможности точных аналитических методов ограничены, как правило, решением линейных задач теплопроводности, когда теплофизические характеристики материала не зависят от температуры, а граничные условия выражаются линейной комбинацией температуры и ее градиента на поверхности конструкции. Если в материале действуют внутренние источники теплоты, мощность которых является функцией температуры, то эта функция также должна быть линейной. [c.203]

Так как под знаки интегралов по объему и поверхности тела в различных вариантах интегральной формулировки задачи теплопроводности входит искомое распределение температуры и компоненты его градиента, достаточно в простейшем варианте МКЭ в качестве кусочно-непрерывных функций w (M) рассматривать линейные функции от координат точки Л/е V , в пределах каждого конечного элемента объемом Vy, имеющего номер у. Тогда в случае трехмерной задачи распределение температуры в пределах конечного элемента однозначно выражается через четыре значения температуры в точках, которые будут соответствовать вершинам тетраэдра, в случае двумерной задачи - через три значения в вершинах треугольника, а для одномерной задачи - через два значения на концах элемента в виде отрезка прямой. [c.207]

Сформулируем линейную краевую задачу теплопроводности для лучистого нагрева неограниченной пластины при отсутствии теплоотдачи в общем случае. Примем, что плотность источника тепла и плотность теплового потока на облучаемой поверхности не зависят от температуры, а физические параметры не зависят от температуры или времени и сохраняют постоянное значение по каждой координатной оси. [c.10]

Практически нет необходимости решать отдельные краевые задачи для получения общего решения линейной краевой задачи теплопроводности. Достаточно получить общее решение в виде суммы трех слагаемых, а затем производить требуемые упрощения. [c.22]

Получим общее решение линейной краевой задачи теплопроводности для неограниченной пластины в цилиндрических координатах при осевой симметрии распределения плотности источника тепла плотности теплового потока на облучаемой поверхности. Будем по-прежнему считать, что плотность ис- [c.37]

Как уже указывалось, не нужно решать отдельные краевые задачи для получения общего решения линейной краевой задачи теплопроводности. [c.43]

Общее решение линейной краевой задачи теплопроводности для неограниченной пластины в цилиндрических координатах, так же как и в декартовых координатах, записывается в виде суммы трех слагаемых [c.50]

Важной особенностью линейной краевой задачи теплопроводности, как уже отмечалось является возможность получения обще- [c.98]

В математическом обеспечении ЕС ЭВМ имеется пакет прикладных программ, предназначенных для решения систем линейных алгебраических уравнений [15]. Подпрограммы написаны на ФОРТРАНе и могут быть использованы не только на ЕС ЭВМ, но и на других типах ЭВМ. Эти подпрограммы реализуют прямые методы какдля матриц общего вида, так и для матриц специального вида (симметричных, ленточных). Ниже рассмотрим несколько широко применяемых подпрограмм, которые далее будут использованы при решении задач теплопроводности, лучистого и конвективного теплообмена. [c.17]

АТлин — время запаздывания из решения линейной задачи теплопроводности. [c.178]

На основе описанного алгоритма была разработана программа решения двумерных (плоских и осесимметричных) задач теплопроводности ИОЛА 1 для ЭВМ Минск-32 (ФОРТРАН ТФ1), Программа занимает 40 ООО слов оперативной памяти и использует в общем случав 3 накопителя на магнитной ленте. Максимальное количество элементов матрицы системы уравнений — 30 ООО, число узлов — 1500, число элементов — 3000. Для решения системы уравнений применяется прямой метод Гаусса, используются элементы треугольной формы с линейной и квадратичной аппрок-сймацией температуры, [c.155]

Известно много случаев, когда при решении сложных задач теплопроводности, а также при желании иметь упрощенные окончательные уравнения авторы шли на исключение из исходных дифференциальных уравнений некоторых аргументов. Например, А. Н. Тихонов и Е. Г. Швидковский [Л. 30], Г. П. Иванцов [Л. 16] и другие при решении задач о затвердевании или промерзании вещества заранее задавались линейным законом распределения температуры в сечении затвердевшей корки. Таким образом, из исходных уравнений была исключена пространственная координата. При решении задач теплопроводности многие исследователи использовали аналогичный прием. Автором [Л. 5—8] подобным же способом были решены различные задачи о затвердевании металла и о распространении тепла в телах правильной и неправильной формы. [c.7]

Если к нелинейному уравнению стационарной теплопроводности (VI. 14) применить одну из подстановок (Кирхгофа или Шнейдера), то оно преобразуется в уравнение Лапласа, которое, как известно, может быть смоделировано на -сетках с постоянными параметрами и на моделях, выполненных из электропроводной бумаги. Трудность заключается в моделировании граничных условий, которые в большинстве случаев оказываются нелинейными и после применения подстановок (граничные условия III и IV рода). Решение задач Дирихле и Неймана, как показано в предыдущей главе, ничем не отличается от решений соответствующих задач в линейной постановке. Поэтому на таких задачах останавливаться не будем. Что касается лучистого теплообмена и решения задач с граничными условиями [c.88]

В отличие от устройств для задания нелинейных граничных условий при решении прямой задачи теплопроводности, когда нелиней ность анодной характеристики лампы использовалась для модели рования лишь нелинейного члена уравнения (XIII.2), а линейньи. член на модели моделировался с помощью стабилизатора тока в данном случае моделирование обоих членов левой части уравнени . (XII 1.2) осуществляется с помощью ламп [200]. Это вызвано тем, что неизвестным здесь является коэффициент теплоотдачи, который входит в оба члена левой части уравнения (XIИ.2). [c.169]

Структура общего решения линейной краевой задачи теплопроводности позволяет комбинировать зависимости начальной избыточной температуры, плотности Источника тепла и плотности теплового потока на облучаемой поверхности, выражаемые функциями различных координат, применяя дифференциальные уравнения теплоприводности, включащие вторые частные производные избыточной температуры по соответству -щим координатам для получения каждого слагаемого общего решения. Начальное температурное поле может зависеть не только от всех трех, но и от любых двух или какой-нибудь одной координаты. [c.20]

Масштабы безразмерных преобразований общего решения линейной краевой задачи теплопроводности для координат, времени, плотностей источников тепла и плотностей тепловых потоков на облучаеиой поверхности уже рассмотрены в главе второй. [c.52]

Каждое частное решение линейной краевой задачи теплопроводности в безразмерной форме относится к определенному сочетанию семейств функций координат и времени, выражаюпдах или аппроксимирующих, соответственно, начальные температурные поля, плотности источников тепла или плотности тепловых потоков на облучаемой поверхности. Одно частное безразмерное решение позволяет получить неограниченное количество подобных решений в размерной форме. [c.75]

Геонетрическве интегралы от безразмерных фувкцкй -х используются для определения первого н третьего слагаемых общего решения линейной краевой задачи теплопроводности. Рассмотрим геометрические интегралы (3.>45 ), (3.>ь - ), [c.128]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...