Собственные функции разложение

Разложение некоторой функции по собственным функциям непрерывного спектра имеет вид [c.109]

Если спектр отчасти непрерывный, отчасти дискретный, то разложение некоторой функции по собственным функциям является суммой ряда [c.109]

Функция и может быть с помощью формулы (17.21) разложена по полной системе собственных функций некоторого оператора А. Совокупность коэффициентов разложения полностью определяет функцию и. Поэтому вместо и можно пользоваться совокупностью коэффициентов а , которая описывает функцию и, но в другом представлении данном случае в том, где оператор А диагонален, или в Л-представлении. Смысл выражения оператор диагонален будет сейчас пояснен. [c.128]

Зададим функции м и о в Л-представ-лении, т. е. в виде коэффициентов разложения по полной системе собственных функций оператора А [c.128]

Волновая функция, описывающая состояние движения частицы в потенциальной яме (см. рис. 55), имеет вид Ч = А.х(а — лг). Найти разложение Ч по собственным функциям частицы в потенциальной яме. [c.186]

Коэффициенты разложения Ф (0 получим из (10.3.2), пользуясь условиями ортогональности собственных функций свободной системы [c.334]

Здесь учтено, что стержень может иметь начальный прогиб Vf, x). Для решения этого интегро-дифференциального уравнения используем метод разложения по собственным функциям. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение [c.601]

Из равенств (16) и (17) видно, что квадраты модулей коэффициентов разложения функции ф в ряд (15) по собственным функциям оператора F представляют собой вероятности обнаружить при измерении физической величины одно из значений Xj, > совпадающее с собственными зна- [c.112]

Разложим производную у ( , х) в ряд вида (2.13) по собственным функциям краевой задачи (4.2). Из (4.1) — (4.3) вытекает, что коэффициенты разложения удовлетворяют уравнениям типа (3.9). Обозначим через Х,, минимальное положительное собственное значение краевой задачи (4.2) ). Ясно, что есть некоторая функция величин Р а g. Полагая в системе (3.9) функцию старения <р (т) = Со, получаем, что условие устойчивости в этом случав имеет вид [c.269]

Применяя метод разделения переменных, можно получить выражения для рассеянного поля в виде суммы собственных функций, которая хорошо сходится лишь для рассеивателей небольших по сравнению с X размеров. Однако, применяя преобразование Ватсона для превращения суммы в контурный интеграл, из этих рядов можно получить асимптотическое разложение. Решение, как правило, получается в виде суммы двух членов, первый из которых представляет собой геометрооптический член, а второй —дифракционный, отвечающий за образование дифракционных полей одного из четырех типов. [c.35]

Решение уравнения (3.G7) можно получить различными способами, но в рассматриваемой задаче удобнее воспользоваться методом разложения по собственным функциям. Собственные функции однородной задачи известны [c.128]

Решение неоднородного уравнения (3.67) будем искать в виде разложения по этим собственным функциям [c.128]

Исследуем подробнее этот наиболее интересный в практическом отношении случай, когда поведение стержня с начальными неправильностями может быть описано уравнением (3.80). Решение этого уравнения будем строить в виде разложения по собственным функциям однородного уравнения (3.76) [c.131]

Будем искать вектор амплитуд вынужденных колебаний в виде разложения в ряд по собственным функциям [c.10]

Рассмотрим условия, при которых смещения системы с распределенными параметрами и вязким трением могут быть представлены в виде суммы собственных функций недемпфированной системы, и найдем выражения для коэффициентов разложения, аналогичных полученным в 1. 1. Внутренние напряжения линейной упругой системы удовлетворяют условиям равновесия Коши [9] [c.22]

Разложение решения в ряд по собственным функциям. В общем случае внешняя нагрузка произвольным образом распределена по длине и является какой угодно функцией времени [c.266]

Разложение решения в ряд по собственным функциям. В общем случае, когда возмущающая поперечная нагрузка задана произвольным законом [c.269]

Для тел, ограниченных координатными поверхностями в какой-либо одной из ортогональных систем координат [8], с однотипными в пределах каждой отдельной координатной поверхности граничными условиями точное аналитическое решение линейной задачи можно получить методом разделения переменных (методом Фурье) [7] или математически эквивалентным ему, но более универсальным методом интегральных преобразований [10, 13, 20]. Основная идея этих методов связана с разложением искомого решения в ряд по собственным функциям соответствующей однородной задачи. Собственные функции и формулы интегральных преобразований для тел простой геометрической формы табулированы [13]. [c.43]

Для построения уравнения кинетики процесса используем разложение возмущенной функции f (r, т) по собственным функциям квазистационарного уравнения, представляющего собой модификацию уравнения (1.1) в невозмущенной среде [c.25]

Формула (1.74) является точной, если в нее подставить возмущенную функцию (г). Рассмотрим эту функцию в виде разложения в ряд Фурье по собственным функциям невозмущенного уравнения [c.27]

Подчеркнем, что собственные функции уравнения теплопроводности для твердого тела образуют полную систему [101, вследствие чего по этим функциям можно разложить в ряд Фурье другие функции. Вопрос о полноте собственных функций в задаче нестационарного теплообмена для систем, подобных каналу с ТВЭЛОМ и теплоносителем, по-видимому, должным образом и с необходимой математической строгостью не исследован. Мы примем условие полноты функций г 3й(г) без доказательства, как гипотезу, и будет Б дальнейшем пользоваться разложением функций в ряд Фурье по собственным функциям 1 л(г) оператора S (3.109) без дополнительных оговорок. Тем самым мы принимаем также отсутствие в полном спектре собственных значений этого оператора непрерывного спектра собственных значений и соответ-ствуюш,их сингулярных собственных функций, а также присоединенных элементов собственных функций [80, 471. [c.97]

Будем искать решение нестационарного уравнения (3.1) для твэ-ла в виде разложения в ряд по собственным функциям однородного уравнения (3.100) [ [c.99]

Таким образом, с помощью соотношений (3.137), (3.130) и начального условия (3.139), используя разложение в ряд по собственным функциям (3.128), можно получить полную информацию о пространственно-временном распределении температуры в твэле. Для этого надо лишь знать собственные функции it fe(r). [c.100]

Следует отметить, что используемый здесь метод разложения решений уравнения теплопроводности в ряд по собственным функциям однородного уравнения справедлив лишь при линейных граничных условиях типа (3.3). Из самого вывода уравнения для собственных функций (3.98) видно, что граничное условие (3.99) сохранило вид (3.3) в силу линейности последнего. Задачи, в которых теплоотвод из твэла осуществляется по нелинейным законам [тепловое излучение, электронное охлаждение, см. формулы [c.100]

Граничное условие на внешней поверхности канала с теплот носителем описывается уравнением (3.25). Будем искать решение нестационарного уравнения (3.24) в виде разложения в ряд по собственным функциям однородного уравнения (3.111) [c.101]

Последний член в правой части (3.150) представляет собой в сущности производную по времени от коэффициента разложения вх(т) в ряд по собственным функциям фь(г). Действительно, если принять [c.102]

Существенную помощь в исследовании нестационарных процессов может оказать метод разложения распределения температур в ряд по собственным функциям (см. гл. 3). Для этой цели должны быть разработаны эффективные алгоритмы численного расчета на ЭВМ собственных функций и собственных значений различных порядков основного и сопряженного уравнений переноса тепла. Знание базисной системы функций основного и сопряженного уравнений позволяет также построить общую теорию возмущений высших порядков, о которой шла речь в гл. I. Несомненную пользу исследователю может дать теория возмущений для декремента затухания гармоник температурного распределения, поскольку она позволяет вводить поправки к функции, описывающей ход нестационарного процесса, под влиянием тех или иных возмущений параметров системы. [c.112]

Это совпадает с точным решением задачи, полученным методом разложения по собственным функциям [1]. [c.331]

Эти приближенные решения можно сравнить с экспериментальными данными [1] и точным решением [1], вычисленным до третьего члена в разложении по собственным функциям [c.335]

Координатное представление. Стационарное состояние квантового объекта (электрона и т. д.) во всем пред-П1ествующем изложении описывалось волновой функцией 4 = (x,y,z), которую удобно обозначать (х), понимая под х всю совокупность пространственных переменных. Эту функцию можно представить в виде разложения по некоторой ортонорми-рованной полной системе собственных функций в виде Ц>(х) = Та и (х), (20.7) [c.128]

В тех случаях, когда правая часть есть функция вида P t) = PI(t), где Р — вектор, а /(i)— гладкая периодическая функция, выгоднее строить решение разложением по собственным функциям. Рассмотрим этот часто встречающийся случай подробнее. Примем для простоты f t) = oskt и д 0) = 0. Общее рещение системы [c.639]

Сущность метода исследования во всех случаях состоит в разложении прогиба НЛП его производных в ряд по некоторой фундаментальной системе функций и изучении счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют коэффициенты разложения. Для однотипной нагрузки в качестве фундаментальной системы берется последовательность собственных функций некоторой вспомогательной упругой задачи. При ис-с.тедовании же устойчивости сжато-растянутых неоднородно-стареющих вязкоупругих стержней последовательность собственных функций непосредственно уже не связана с соответствующей упругой задачей. Существенным является также выбор удачного представления для функции прогиба. Для ряда ситуаций численно исследована зависимость критического времени от функции неоднородного старения, параметра армирования и других характеристик задачи. Обзор современных концепций и библиография работ, связанных с устойчивостью однородно-стареющих вязкоупругих стержней, имеется, например, в [270, 404, 415, 520]. Некоторые [c.230]

Уравнения (1.45) и (1.46) решают путем разложения в виде рядов по собственным функциям в принятой системе координат. Ввиду плохой сходимости решений задач рассеяния упругих волн на отражателях протяженностью более нескольких длин волн следует применять метод высокочастотной асимптотики. [c.35]

В качестве примера рассмотрим разложение в ряд по собственным функциям решения, описывающ его колебания консольного стержня, возбуждаемого на конце х = 1 гармонической силой с амплитудой Р. Уравнение изгибных колебаний однородного стержня [c.26]

Представление амплитуд перемещений и напряжений в виде разложения по собственным функциям недемпфированной системы позволяет выявить некоторые общие закономерности изменения амплитудно-частотных характеристик, не связанных с конкретной структурой исследуемого объекта. Как отмечалось Е. Скучи-ком [1], такая информация бывает полезной при анализе результатов расчетов и экспериментальных исследований, а также при выборе средств изменения амплитудно-частотных характеристик в различных диапазонах частоты. Комплексная амплитуда пере- [c.32]

В гл. 3 с использованием сопряженных уравнений исследуются нестационарные процессы переноса тепла в каналах ядерных реакторов. Здесь также в центре внимания находится получение формул теории возмущений, которые в данном случае характеризуют нестационарные процессы. Описываются наиболее общий метод собственных функций, используемый для разложения нестационарного решения в ряд Фурье и требующий для своей реализации знания системы собственных функций сопряженного уравнения, биортогональной к системе собственных функций основного уравнения. [c.6]

Для определения коэффициентов разложения Фурье уравнений (1.65) и (1.66) воспользуемся методом, основанным на условиях биортогональности собственных функций уравнений (1.63) и (1.64) (СМ. П. 2.2). Умножая обе части уравнения (1.66) на функцию /+ (г), интегрируя члены полученного уравнения по пространственным переменным и используя условие биортогональности, находим [c.26]

Точно так же разложим в ряд по собственным функциям iijft(r) и тепловой источник ,(г, т), причем выделим из коэффициентов разложения множитель су (г) [c.99]

Предполагая полноту системы собственных функций, принадлежащих точечному спектру собственных значений оператора L, можно использовать метод разложения в ряд Фурье любой интересующей нас функции /(г,т), при этом знание биортогонального базиса позволяет просто вычислить коэффициенты разложения. Действительно, умножив равенство вида [c.215]

Эта задача (без учета внутреннего тепловыделения и вязкой диссипации) была рассмотрена Грэтцем и рядом других авторов [1, 2 . Решение находим в виде ряда по собственным функциям задачи. Несколько первых собственных значений и соответствуго-ш их собственных функций были вычислены с достаточно высокой степенью точности. Если температуру находим в виде разложения по соответствующим ортогональным функциям, то точное решение может быть получено также и с помощью приведенного здесь вариационного метода аналогично тому, как это было сделано в предыдущем разделе. Однако здесь мы получим только приближенное решение, основанное на вариационной формулировке задачи. Из уравнения (6) получаем выражение для функционала / (0), которое в безразмерной форме имеет вид [c.332]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...