Вырождение собственное

В ЭТОМ случае выражение для концентрации носителей в вырожденном собственном полупроводнике примет вид [c.248]

К Что такое вырожденные собственные значения [c.107]

Вырожденные собственные значения. Пусть одному и тому же собственному значению принадлежит не одна собственная функция, а несколько. В этом случае данное собственное значение называем вырожденным. Собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, вообще говоря, не ортогональны друг другу, но ортогональны другим собственным функциям, принадлежащим другим собственным значениям. Однако с помощью процесса ортогонализации (см. 21) собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, всегда можно подобрать так, чтобы они были ортогональны друг другу. [c.108]

Уравнение (21.56) является алгебраическим уравнением -й степени и имеет п корней. Эти корни называются собственными значениями оператора А. Среди корней могут быть и одинаковые. В этом случае говорят о вырожденных собственных значениях. [c.137]

Вырожденные собственные значения унитарных операторов анализируются аналогично вырожденным собственным значениям эрмитовых операторов, как это рассмотрено выше. [c.139]

При наличии вырождения собственные функции уравнения Шредингера не обязательно обладают определенной четностью. Однако всегда можно найти такие линейные комбинации собственных функций, которые будут обладать определенной четностью. [c.170]

Z, то гамильтониан не изменится (V при таком преобразовании, очевидно, не изменяется). Следовательно, собственные функции, принадлежащие невырожденным собственным значениям, должны обладать определенной четностью, а из собственных функций, принадлежащих вырожденным собственным значениям, всегда можно составить такие комбинации, которые обладают определенной четностью. Напомним еще раз, что выражение волновая функция обладает определенной четностью означает, 410 если в волновой функции координаты. V, у, Z одновременно заменить на —X, —у, —Z. то арифметическое значение функции не изменится, а ее знак либо не изменится, либо изменится на обратный. В первом случае [c.176]

Стационарная теория возмущений в случае вырожденных собственных значений [c.231]

Излагается метод получения приближенных собственных значений не зависящего от времени оператора Гамильтона и соответствующих собственных функций в случае вырожденных собственных значений [c.238]

Ортогонализация собственных функций, принадлежащих вырожденному собственному значению. В случае вырожденных собственных значений поправка вычисляется к собственному значению, которому принадлежит не одна собственная функция, а несколько. Как известно, [c.238]

Тип движения, связанный с нисходящими участками спектральных кривых, будем описывать, используя термин Л-моды Этим подчеркивается их связь с экспериментально наблюдаемыми Л-модами [195], хотя в указанной работе и нет четкого описания их специфики и связи с формами колебаний на частотах ниже частоты толщинного резонанса Q/. Нумерацию Л-мод целесообразно ввести в соответствии с нумерацией порядка возрастания номера с точки трехкратного вырождения собственных частот. Отметим также, что увеличение на единицу номера Л-моды приводит к увеличению на [c.219]

V =5 О узлов трехкратного вырождения собственных частот. [c.221]

Собственные поляризации анизотропных резонаторов. В том случае, когда поляризационная анизотропия резонатора отсутствует, имеет место тождество как собственных частот, так и потерь для излучения с любым состоянием поляризации (поляризационное вырождение) собственные колебания могут иметь линейную поляризацию, ориентированную под любым углом, [c.86]

Если Еп — /-кратно вырожденное собственное значение гамильтониана молекулы с собственными функциями F i, F 2,. ... .., тогда действие операции симметрии R на одну из этих функций должно переводить ее в линейную комбинацию этих I функций. Это утверждение следует из того, что функция, которая получается в результате применения операции R к любой из этих функций, соответствует тому же собственному значению Еп [см. (5.19) и обсуждение, следующее за этим уравнением] наиболее общая преобразованная функция является линейной комбинацией исходных функций. [c.75]

Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, должны быть ортогональны друг другу. Выберем вырожденные собственные функции так, чтобы они были взаимно-ортогональны, и предположим, что все функции нормированы. В этих условиях можно образовать матрицу гамильтониана Н°, используя собственные функции F°, причем матричные элементы задаются выражением [c.89]

Характерная черта рассмотренных в 2 моделей линеаризованных интегралов столкновений — их связь с ограниченными операторами с чисто дискретным спектром (с бесконечнократно вырожденным собственным значением). Действительно, упомянутые выше операторы столкновений можно представить в виде [c.107]

Для того чтобы применить этот результат к пятикратно вырожденному собственному значению Я = О оператора I, нужно лишь положить к = йе (е — единичный вещественный вектор), 2= (к, е- и доказать, что неравенство (8.8) выполняется. Последнее непосредственно вытекает из следующих фактов. [c.229]

В результате решение уравнения (ЗЛ6) для БГК-модели снова имеет вид (ЗЛ7) с Л (с, Т) = Л (Г), В с, Т) = В Т) ( — 5/ Г), как и в случае максвелловских молекул, а li и х определяются выражениями (IV.7.66) и (IV.7.67) при 1о2 = = —v. Основным следствием бесконечнократной вырожденности собственного значения Х = —v является равенство единице числа Прандтля (все еще определяемого соотношением (IV.7.73)). Тем самым подтверждается сделанное выше утверждение о невозможности одновременно согласовать значения j.i и к при использовании БГК-модели, однако этого можно добиться, используя ЭС-мо-дель или более сложные нелинейные модели. [c.292]

МОЖНО разложить на два взаимно-перпендикулярных колебания, которые совершаются крайними атомами перпендикулярно к оси молекулы с равными частотами и соответствуюш,ими значениями амплитуд и фаз. Таким образом, одной и той же частоте 6( ) отвечают два нормальных колебания. Этот случай является характерным примером дважды вырожденных собственных колебаний молекулы. [c.758]

Качественная перестройка из-за неустойчивости может происходить и в других течениях, для которых имеет место вырождение собственного спектра. Так, кратность собственного значения приводит к множественности вторичных режимов и в течении Куэтта между вращающимися цилиндрами. Судя по результатам работы [6], при определенных зазорах и скоростях вращения цилиндров устойчивыми оказываются тоже спиральные автоколебания. Там они должны приводить к появлению спонтанного осевого потока с ненулевым расходом. [c.31]

Следует отметить, что при Ке = О из (5) вытекает, что для каждого т спектр есть а — т, г + 1, т + 2,. .., причем а = т — однократно, а а = п + 2, т + 3,.... — трехкратно вырожденные собственные значения. В случае а = т + I, т > О решение двухкратно вырождено, хотя из (1.9) можно было сделать вывод, что вырождения нет. Дополнительное решение — это решение вида и Q = О (V (х)—полипом нулевой, а ТУ (ж)—первой степени), которое не было учтено при построении решений в виде полиномов и выводе (5). Легко видеть, что в случае а>0 других решений нет. При Ке > О вырождение снимается, причем некоторые собственные значения остаются действительными, а другие образуют комплексно-сопряженные пары. На рис. 117 представлены показатели степени для случая т = как функции числа Рейнольдса. Кривые 1 (а(Ке) = 2) и 2 есть действительные ветви, порожденные двукратным собственным значением а = 2 при Ке = 0. Кривая 3 представляет собой единственную действительную ветвь трехкратно вырожденного собственного значения а = 3 при Ке = О, две другие ветви которого образуют комплексно-сопряженную пару [c.311]

Описанные характеристики неустойчивого резонатора с ограниченной апертурой оказываются неудобными на практике, так как вырождение мод затрудняет достижение одномодового режима. Характеристики реальных резонаторов, однако, гораздо ближе к геометрооптическому приближению, чем это следует из численного анализа исходных уравнений. Описанные характеристики вырожденных мод получаются при идеальном симметричном и резком контуре апертуры резонатора. Нарушение формы контура или сглаживание фронта коэф- фициента отражения на краю зеркала, неизбежное на практике, автоматически снимает вырождение собственных типов колебаний [49, 118]. Для полного снятия вырождения достаточно, чтобы коэффициент отражения [c.88]

Параметр Ь называют конфокальным параметром. Самая важная особенность конфокального резонатора состоит в том, что в нем достигается высокая степень вырождения собственных мод моды, имеющие различный набор индексов т, п, N могут иметь совпадающие частоты. Действительно, из (2.2.23) видно, что значение собственной частоты резонатора V не изменится, если сумму поперечных индексов т+п увеличить на целое число 2К (К=, 2, 3...), а индекс N уменьшить на К. Как следует из (2.2.23), минимальный частотный интервал между четными и нечетными модами резонатора, сумма поперечных индексов которых т+п является соответственно четной и нечетной, равен с/4ё. [c.73]

Вырожденные собственные функции 93, [c.600]

Задерживающий потенциал для крутильных колебаний, см. Потенциальный барьер Закон преобразования взаимно вырожденных собственных функций 118 [c.601]

Существенное вырождение собственных векторов [е/] [c.197]

Если собственное значение вырождено, то ему принадлежат несколько собс1венных функций, число которых равно числу одинаковых собственных значений (степени вырождения). Любая линейная комбинация этих собственных функций принадлежит тому же собственному значению, т. е. число собственных функций бесконечно, но число линейно независимых функций равно степени вырождения. Поэтому можно сказать, что собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, образуют собственное подпространство, раз- [c.138]

В постулате 3 в случае вырожденного собственного значения А для вычисления. 3 (Л) надо принять во внимание полную проекцию состояния I Р ) на подпространство, принадлежащее вырождентюму собственному значению. Например, если собственное значение А вырождено двукратно (/4 = /4, = /42), то в простран- [c.151]

Пространственная часть собственных функций I, (г, t) уравнения (43.2) дается соотношениями (30.39), а временная часть представляется множителем ехр — iE tlfi), причем собственное значение энергии дается формулой (30.246). Собственные значения вырождены, а собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, ортогональны. При расчетах (см. 42) каждое состояние, принадлежащее вырожденному собственному значению, надо рассматривать как самостоятельное. [c.243]

В этом случае только двукратно вырожденное собственное значение, соответствующее рис. 17, б, обращается в нуль, и мы действительно остаемся с четырьмя собст-ве1П1ыми значениям , отличными от нуля. Секулярное уравнение сказывается достаточно простым, и нормальные координаты могут быть в конце концов найдены. Но все это мы оставляем в качестве упражнения читателю. [c.88]

Все это побудило нас с Аникичевым [27] использовать известный в операторном анализе простой и эффективный прием, позволяющий обойти трудности, связанные с наличием вырождения собственных функций резонаторов из бесконечных зеркал. Этот прием в обсуждаемой ситуации сводится к тому, что искомые моды возмущенного резонатора ищутся в виде суммы не бесконечного, а конечного числа р образующих комплекс с единой частотой исходных мод. В это число включаются моды, в наибольшей степени связанные между собой светорассеянием за счет возмущения (соответствующие матричные элементы оператора возмущения относительно велики, а разности собственных значений малы). В результате такого приближенного представления решений система (3.1) из бесконечной переходит в систему из р уравнений относительно р неизвестных коэффициентов йуп, малость каких-либо из которых уже не предполагается. Далее следует стандартная процедура требование существования ненулевых решений приводит к характеристическому уравнению, из которого находится р значений /3. Каждому из них соответствует свой набора , определяющий одну из собственных функций возмущенного резонатора в данном приближении. [c.150]

Очевидно, что собственные значения Хп и собственные фунющи (v) теперь зависят от к. При к = О задача (13.3.5) сводится к однородной задаче (13.1.13). Предположим, что однородные собственные функции и собственные значения заданы (даже если их явный вид и неизвестен). Тем не менее мы знаем, что существует пятикратно вырожденное собственное значение = О, а = 1,.. .., 5. Кроме того, нам известны соответствующие собственные функции фа (v). Оказывается, что эти пять собственных функций в действительности играют ведущзгю роль по сравнению со всеми остальными. Поэтому будем использовать для них специальное-обозначение [c.95]

Поля при Ф = 0 уравнения (7.32) и (7.33) дают, как и слеДобало ожидать, две линейные ортогональные поляризации, ориентированные в плоскости падения (р-компонент) и перпендикулярно плоскости падения (5-компонент) брюстеровских граней. Моды имеют одинаковые частоты и разные поляризационные потери, так как Л1=1, Л2=7 . При наложении на активную среду продольного магнитного поля и увеличении параметра Ф собственные поляризации резонатора, оставаясь линейными, разворачиваются навстречу друг другу. Собственные частоты остаются постоянными (Л1,2 — вещественны), потери более добротной моды увеличиваются, а менее добротной — уменьшаются. При некотором критическом значении Ф = Фкр наступает полное вырождение собственных типов колебаний, когда их плоскости поляризации, частоты и потери совпадают. Из (7.32) можно найти [c.158]

Обобщение предыдущих результатов. Мы вывели свойства симметрии колебательных собственных функций из свойств симметрии нормальных координат. В действительности, свойства симметрии собственных функций имеют значительно более общий характер и не зависят от предположения о гармоничности колебаний. Потенциальная энергия, даже если она и не является простой квадратичной функцией от составляющих смещений, как в (2,25), должна быть инвариантна по отношению ко всем операциям симметрии, образующим точечную группу, к которой принадлежит молекула. Поэтому уравнение Шредингера (2,40) инвариантно по отношению к этим операциям симметрии и, следовательно, собственная функция относительно этих операций симметрии может либо быть только симметричной, либо антисимметричной, если состояние является невырожденным либо может преобразоваться также и в линейную комбинацию взаимно вырожденных собственных функций, если состояние вырожденно (см. Молекулярные спектры 1, гл. V, 1). Можно показать, что последнему случаю соответствует ортогональное преобразование, при двукратном вырождении имеющее вид (2,75) или (2,76). [c.118]

Изложению классической и квантовой теории дииамики решетки посвящены главы 8, 10, 11 и 12. Сначала в гл. 8 дается обзор классической теории колебаний решетки в гармоническом приближении изложение основано на использовании симметрии при определении собственных векторов. Наиболее важным с точки зрения приложений представляется утверждение, сформулированное в 85 в виде леммы о существенном вырождении , позволяющее связать физическую теорию с теорией симметрии. Это утверждение, состоящее в том, что допустимое вырождение собственных значений и собственных векторов в физической системе является следствием симметрии этой системы, формулируется в физике неоднократно и дает ключ к пониманию многих различных ситуаций. Здесь оно возникает простым и естественным образом в легко изучаемой задаче о классической динамике решетки. В действительности это утверждение вполне общее и его применимость выходит за рамки гармонического приближения. [c.20]

Чтобы получить условия ортогональности и нормировки (72.17) и (72.18) при наличии вырождения, мы должны выбрать произвольную линейную комбинацию вырожденных собственных векторов. Это всегда можно сделать, используя процедуру ортого-нализадии Шмидта — Грама. [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...