Собственные функции (векторы)

Определение собственных функций (векторов) [c.101]

Собственные функции (векторы) широко используются в приближенных методах решения сложных задач динамики стержней. [c.106]

Уравнения, которые используются для определения собственных значений и собственных функций при колебаниях кругового стержня в плоскости чертежа, приведены в решении задачи 5.1. Определив собственные функции (векторы), ищем решение уравнения (1) в виде [c.283]

Определяем собственные значения и собственные функции (векторы). Полагая [c.287]

С2 = а2 , а затем собственные функции (компоненты векторов Z,J(i)) [c.114]

Алгоритм численного определения собственных значений X/ и собственных функций Zo < > (компонент собственных векторов Z )) изложен в гл. 4 (см. 4.2 и 4.3). [c.291]

Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны. Обозначим эти различные собственные значения Aj и Aj, а собственные функции 1/4,), lAj). Тогда [c.138]

Однородное уравнение (3.4) имеет нетривиальное решение Фо(г) = 2 + р (а и р — по-прежнему действительная и комплексная постоянные), поскольку оно соответствует нулевому напряженному состоянию. Из теоремы единственности решения краевой задачи будет следовать, что иных собственных функций нет. Напомним, что сама вторая краевая задача теории упругости для конечной области разрешима, когда равны нулю главный вектор и вектор-момент внешних сил. Первое условие автоматически приводит к однозначности функции f t), а второе же условие— к равенству [c.380]

Собственные функции электрона, как и в случае одноэлектронной задачи, могут быть представлены в виде произведения двух функций, одна из которых зависит лишь от радиуса-вектора г, а другая — от углов и ср [c.196]

Будем искать вектор амплитуд вынужденных колебаний в виде разложения в ряд по собственным функциям [c.10]

СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ линейного оператора А, отвечающее собственному вектору (собственной функции) / нз линейного пространства (векторного пространства) Ь, — комплексное либо вещественное число Я, такое, что [c.567]

Здесь специально поставлены шляпки, чтобы подчеркнуть операторный характер полей, а действие операторов импульса и координаты на собственные функции поля описывается формулами (1.27) и (1.28). При выводе (1.35) мы использовали связь к = зшк/с, где s — единичный вектор. [c.16]

Фотон, как любая другая частица, имеет волновую функцию f. Она очень просто связана с вектор-потенциалом и является векторной величиной. Последнее означает, что спин фотона равен единице. является собственной функцией оператора проекции спина фотона с собственным значением л = 0 комбинации и (fa, —if у) [c.181]

Начнем с математических формул, описывающих моды как собственные функции оператора распространения. Введем декартовы координаты (х.у г) = (х, г) в среде распространения пучка. Двумерный вектор х (ж, /) представляет поперечные координаты 2 — продольная координата вдоль оптической оси. Введем различные обозначения для поперечных координат в параллельных плоскостях и = ( , ), х = (ж, / ), и т.д. Пусть рассматриваемые моды локализованы внутри области [c.394]

ШАРОВЫЕ ВЕКТОРЫ (векторные шаровые функции) — собственные функции оператора полного момента количества движения для системы с единичным спином. [c.418]

Этим случаем исчерпьгааются постановки контактных задач при задании различных условий на двух группах штампов системы. Полученные выше формула представляют собой алгоритмизованную реализацию проекционно-спектрального метода, что позволяет непосредственно использовать их при численных расчетах. Следует отметить, что собственные функции (вектор-функции) возникающих операторов, можно строить любым из известных методов [120, 127, 185], не опираясь на разложение ядра К(ж, ) оператора А в двойной ряд (3.11). Однако, информации о коэффициентах разложения достаточно для построения по методу Бубнова-Галеркина собственных функций всех необходимых операторов, и в этом плане она универсальна. К этому добавим, что матрицы бесконечных алгебраических систем спектральных задач в силу всегда симметричны. [c.185]

Заметим, что в рассмотренных выше примерах выполняется известная теорема Лемана-Челлепа о росте перенормированной /-функции с импульсом [10]. Это свидетельствует в известном смысле о наличии в перенормированной теории полной и ортогональной систем собственных функций вектора энергии-импульса ). Можно без труда предложить такой ОФ, при котором /-функция не имеет полюса и в то же время перенормированный заряд конечен. Для этого достаточно рассмотреть пример Б, где следует взять д отрицательным (и большим по модулю). Тогда заряды затравочный б1 и перенормированный е будут иметь вид [c.19]

Итак, для полного описания всей совокупности состояний электрона в кристалле достаточно рассматривать только область значений к, ограниченную первой зоной Бриллюэна. Тем не менее, иногда полезно считать, что волновой вектор может изменяться по всему к-пространству. Поскольку для любых двух значений к, от-личаюш,ихся на вектор 2пН, все волновые функции и уровни энергии одинаковы, энергетическим уровням можно приписывать индексы п так, чтобы при заданном п собственные функции и соб- [c.221]

Поэтому, по Дираку, состояние квантовой системы описывается бра-вектором (ifi или сопряженным ему кет-вектором 1113) = = (( ф )" " состояния (с волновой функцией j)(q, /)=) в бесконечномерном гильбертовом (функциенальном) пространстве. В этом линейном пространстве в качестве базиса используются ортонормированные т т ) — 6fnm ) собственные функции il3m = = (q m) (Щт) = т т)) любой физической величины, представляемой эрмитовым оператором M = / i+, при этом Ст(0=( ф)-Условие полноты базиса т) (т-представления) символически можно записать в виде [c.188]

В тех случаях, когда правая часть есть функция вида P t) = PI(t), где Р — вектор, а /(i)— гладкая периодическая функция, выгоднее строить решение разложением по собственным функциям. Рассмотрим этот часто встречающийся случай подробнее. Примем для простоты f t) = oskt и д 0) = 0. Общее рещение системы [c.639]

В первой главе рассматриваются общие закономерности колебания упруговязких систем. Выводятся условия, при которых решение может быть разложено в ряды по собственным функциям недемпфированной системы. С помощью методов возмущений анализируется влияние ошибок исходных параметров на точность вычисления собственных частот и векторов. Введение комплексных модулей упругости позволило использовать единую методологию при рассмотрении собственных и вынужденных колебаний, а также систем с сосредоточенными и распределенными параметрами. На конкретных примерах показывается, что эквивалентная масса, которую Е. Скучик полагал постоянной, оказывается зависящей от вида формы колебаний и для каждого из них сохраняет стабильные значения в широком диапазоне частот. Наиболее полными характеристиками виброизолирующих свойств механических структур являются комплексные переходные податливости. Рассмотрена эффективность виброизоляции конкретных конструкций. Приводится решение задачи о распространении продольных колебаний по стержню при наличии сухого трения и даются конкретные примеры приложения этой задачи. [c.5]

Если i]) —система собственных функций эрмитова оператора L в пространстве Li и / — любой вектор вида (П. 13), то [c.215]

Условимся в 68—70 пользоваться не постоянной Планка к, а связанной с ней константой Й = /г /2л. Будем, далее, в этих параграфах для краткости волновой вектор частицы к = р / Й называть импульсом. При этом функции = е , являющиеся в случае инфинитного движения собственными функциями оператора импульса — гЙУ, для финитного движения не будут таковыми, так как они не обращаются в нуль на стенках ящика. Физически это значит, что для частицы в ящике импульс не имеет определенного значения — при заданной энергии Е импульс может с равными вероятностями принимать значения у12тЕ. Мы, тем не менее, будем разлагать все функции координат по функциям [c.360]

Изложенная методика вычисления коэффициентов интенсивности применима и к задачам линейной теории упругости. Следует лишь вместо собственной функции брать некоторый собственный вектор смещений и соответствующие ему собственные напряжения и вместо формулы Грина использовать формулу Бетти. В частности, формула Седова для коэффициентов интенсивности напря- [c.64]

Зная М/, нетрудно найти поляризационные поправки к комплексным собственным частотам. Действительно, уравнение, аналогичное (2.2), в котором учтены и поперечная структура поля, и состояние поляризации излучения, имеет вид ие = exp(2ikLo) PVue, причем оператор F воздействует только на распределение w, а матрица V — только на вектор е. Подставив сюда произведение — собственная функция оператора Р, см. 2.1), получаем ехр(2г kLo) j i = 1. В результате приходим к формулам, отлш1ающимся от (2.3), (2.4) лишь тем, что в их правых частях [c.109]

При ишользовании сингулярных конечных элементов с аппроксимацией по собственным функциям (1.23), (1.21) рассчитьшается по следующей процедуре. Имеем для вектора перемещений узлов элемента [c.59]

Так как вектор к фиксирован (к = 0), то произвольно задавать СО нельзя действительно, со должно быть таким, чтобы точка со принадлежала спектру оператора Ь. Известно (гл. 3), что Ь, вообш е говоря, имеет и дискретный, и непрерывный спектры замечательным исключением являются максвелловские молекулы. Если собственные функции оператора Ь обозначить через gi, обобш енные собственные функции — через а соответствующие собственные значения — через —и —X (Х , X > 0), то общее решение можно записать в виде [c.166]

Прежде всего приходится считаться с тем, что, кроме собственных функций, могут появиться присоединенные функции, и тогда без них уже нельзя обойтись. Аналогия из линейной алгебры пусть А—линейный оператор в /г-мерном комплексном пространстве С" и I — жорда-нова форма матрицы этого оператора. Если I — диагональная матрица, то в С" есть базис, составленный из собственных векторов оператора Л если же в / имеется хотя бы одна жорданова клетка размера больше 1, то в С" уже нет базиса из собственных векторов оператора А, но есть базис, составленный из собственных и присоединенных векторов этого оператора. [c.292]

В силу сказанного перед замечанием оператор I2 положителен. Кроме того, I2 вполне непрерывен. Рассмотрим некоторую собственную функцию Мх> отвечающую собственному числу Xi(G), Если -Ыу > О, то поскольку —Ui также собственная функция, отвечающая Xi(G), можно тем самым выбрать неотрицательную собственную функцию, отвечающую i(G), Если же —Wi не является неотрицательной, то и у можно представить в виде Uy = v-w, где v, w - неотрицательны и = Xx i. По теореме 2.5 [79] из этого следует, что существует неотрицательный собственный вектор Xq, такой, что i2 xo = XqXo, Xq > Xj. Однако Xi — максимальное собственное число оператора I2. Поэтому Xq =Xi и существует неотрицательный собственный вектор Uy, отвечающий Xj. Из того, что Ui f О, следует строгая положительность Ыу внутри G, Лемма доказана. [c.133]

Для вычисления вектора напряженности магнитного поля Земли Й можно воспользоваться методами, изложенными в работе [I]. Известно, что потенциал магнитного поля Земли является решением уравнения Лапласа, причем последнее может быть представлено в сферической системе координат в виде ряда по собственным функциям. Обычно принято разделять поле на внутреннюю и внешнюю части и считать беспотенциальную часть поля нереальной. [c.197]

Интересно рассмотреть также поперечные моды в качестве независимых носителей информационных каналов вместо используемых продольных мод (а может быть, и в дополнение к ним). Как было сказано выше, поперечные моды лазерного излучения представляют собой пучки света, распределение комплексной амплитуды в сечении которых описывается собственными функциями оператора распространения света в соответствующей среде. Фундаментальным свойством мод является сохранение структуры и взаимной ортогональности при распространении в среде. Именно это свойство поперечных мод является основой для построения систем связи с модовым уплотнением каналов. Интерес к поперечным модам как носителям независимых каналов передачи информации связан, во-первых, с постоянным повышением качества производимых многомодовых волокон [см., например, 68], во-вторых, с разработкой методов качественного синтеза дифракционных оптических элементов моданов [19, 27-30], способных эффективно формировать и селектировать поперечные моды лазерного излучения (см. также 6.2 данной книги). Общая теория построения телекоммуникационных систем с уплотнением каналов, основанном на использовании поперечных мод, детально изложена в [19]. Отметим, что селективное возбуждение поперечных мод оптоволокна позволит увеличить пропускную способность линии связи не только за счет параллельной передачи нескольких каналов по одному волокну, но и за счет решения проблемы уширения импульса, вызываемого наличием межмодовой дисперсии [18-20, 6.2.7]. Одна из предполагаемых инженерных реализаций волоконно-оптической связи с использованием селективного возбуждения поперечных мод [19] представлена на рис. 6.53. Пространственный фильтр МА является матрицей электрооптических модуляторов, освещаемых плоской волной когерентного света Рд (х). На матрицу электрооптических модуляторов непосредственно подается вектор промодулированных по времени сигналов 5Д. [c.456]

Из выражений (18) следует, что собственные вектор-функции и для рассматриваемой задачи не являются ортогональными при V = О, но удовлетворяют соотношениям (16). Однако при малой скорости процессов неортогональностью собственных функций можно пренебречь. [c.23]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...