Другие ортогональные системы

Уравнения (7.22) записаны в координатных осях, которые совпадают с линиями главных кривизн срединной поверхности оболочки. Иногда оказывается более предпочтительным выполнение расчета с использованием другой ортогональной системы координат. В этом случае разрешающая система уравнений формально может быть записана в том же виде, что и система уравнений (7.22), но под VI ( ) подразумевается следующее выражение [c.208]

Для одномерной задачи запись ведем в прямоугольной системе координат. Другие ортогональные системы координат дадут несколько иную форму записи уравнения (1) и последующих выражений. Выбор схемы численного метода (величина интервалов пространства и времени, схема учета нелинейностей и др.) зависит от системы координат, что учтено в нашем случае. [c.137]

Мы предполагаем известным определение вектора как направленного отрезка, а также простейшие операции над векторами. Поэтому сразу перейдём к вопросу о том, как преобразуются компоненты вектора при переходе от одной ортогональной системы координат к другой ортогональной системе координат. [c.13]

Решая конкретную задачу теории упругости, нам приходится использовать уравнения обобщенного закона Гука, в которые входят упругие постоянные или Л у. Эти величины в случае анизотропного тела зависят от направлений осей координатной системы, и если направления осей изменить, то изменятся и. значения упругих постоянных. Исключение составляет изотропное тело, у которого уравнения обобщенного закона Гука сохраняют свой вид в любой ортогональной системе координат, а соответствующие упругие постоянные остаются неизменными (инвариантными). При изучении напряженного состояния часто может возникнуть вопрос известны постоянные ац и Aij для координатной системы X, у, 2, но удобнее пользоваться другой ортогональной системой х, у (рис. 3). Требуется найти постоянные а[., для второй [c.37]

Другие ортогональные системы координат 443 [c.443]

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя эквидистантными поверхностями. Чтобы сделать определение более точным, выберем некоторую поверхность S. В каждой точке М этой поверхности проведем нормаль и отложим по одну и по другую сторону поверхности отрезки, равные h, так что М М = М М = h. Совокупность точек Mi образует одну сторону оболочки, совокупность точек Мг — другую сторону, 2h — толщина оболочки, S — ее срединная поверхность. Оболочка считается тонкостенной, если h R, где R — наименьший из главных радиусов кривизны срединной поверхности. Техническая теория оболочек основывается на точно такой же гипотезе прямых нормалей, что и техническая теория пластин. Предполагается, что линейный элемент, нормальный к срединной поверхности до деформации, остается нормальным к деформированной срединной поверхности. Если отнести поверхность к ортогональной системе криволинейных координат и выбрать локальные оси Ха в касательной плоскости к срединной поверхности, направив ось z по нормали, то для 27 [c.419]

Введем следующее определение. Назовем бесконечно малое смещение какой-либо системы материальных точек составленным из нескольких бесконечно малых смещений системы, если изменение координат каждой точки равно сумме изменений координат соответственных слагающих смещений. Это определение относится к ортогональной системе координат, которую нужно ввести но формулы преобразования ортогональной системы координат, которые мы уже неоднократно употребляли, показывают, что смещение, которое можно считать составленным из нескольких других, является таким же относительно любой другой системы координат. Они показывают также, что два смещения точки складываются как две силы, действующие на точку, а именно, согласно теореме о параллелограмме. [c.41]

Эти уравнения показывают, как изменяются суммы компонент и моменты вращения системы сил при переходе от одной ортогональной системы координат к другой. Три последних из этих уравнений существенно-упрощаются, если обе системы имеют общее начало координат это означает, что а = О, Р = О, т = 0 уравнения тогда примут вид [c.47]

Правая часть этого равенства представляет собой функцию нулевой степени относительно направляющих косинусов 1 , mi,. .., Итак, ранг тензора совпадает со степенью относительно направляющих косинусов Lx, nil, . 3. функции, представляющей собой правую часть формул преобразования компонентов тензора при переходе от одной системы ортогональных координатных осей к другой аналогичной системе. [c.772]

Аналогично уравнение (4.33) можно записать в другой произвольной ортогональной системе координат [12]. [c.151]

В случае ортогональной системы функций fi (х ъ (X), 9з М, имеет место 9/) = 0. где /-/у коэфициенты l, 2,... определяются независимо друг от друга и от числа п по формулам [c.262]

В дальнейшем под базисом е, подразумевается ортогональный базис (рис. 1.1). Ортогональная система координат может бить прямолинейной (такая система координат называется декартовой) и криволинейной (цилиндрическая, сферическая, эллиптическая). В прямолинейной системе координат базисные единичные векторы во всех точках пространства неизменны по направлению, в криволинейных системах координат базисные векторы при переходе в другую точку пространства меняют направление. [c.8]

СПОНТАННОЕ нарушение СИММЕТРИИ — частичная или полная потеря системой имеющейся в ней симметрии, выражающаяся в том, что энергетически или термодинамически наиб, выгодные состояния системы обладают меньшей симметрией, чем ур-нив, её описывающие, причём преобразования симметрии переводят эти состояния друг в друга. Примером системы со С. н. с. может служить изотропный ферромагнетик, состоящий из локализов. спинов. Такая система инвариантна относительно трёхмерных вращений, т. е. преобразования из группы Si/(3) вместе с тем её энергия становится минимальной, когда все спины выстраиваются в одном (произвольном) направлении. Если это происходит, то в системе появляется ненулевой магн. момент и остаётся инвариантность относительно вращений лишь в плоскости, ему ортогональной. Т. о., 5f/(3)-симметрия системы нарушается до 56 (2)-симметрии. [c.652]

Примем, кроме того, что линия порождающая рассматриваемый простой краевой эффект, задается уравнением = ю. в некоторой ортогональной системе координат (в общем случае эту систему координат надо специально строить для изучения простого краевого эффекта у данной линии у, и мы предположим, что это возможно сделать таким образом, чтобы j-пинии не пересекались друг с другом в окрестности у, достаточно широкой для того, чтобы в ней простой краевой эффект успел затухнуть). [c.283]

При переходе к другой, также ортогональной, системе координат модули упругости преобразуются по формулам [c.31]

Если переход от одной ортогональной системы координат к другой отвечает преобразованию координат [c.180]

Наконец, физические компоненты при переходе из одной ортогональной системы координат в другую, также ортогональную, вычисляются по формулам [c.46]

ДЛЯ которой доказана полнота и ортогональность системы собственных функций при ф > о (ф < 0) с весом ф [3.9, 3.11, 3.32,3.45 Доопределим Vq и на интервал [—/ (О), 0] соответственно четным и нечетным образом. При этом выражения (3.18) получаются одно из другого заменой знака ух и определены на интервале ортогональности системы собственных функций—/ (0) < X < (О)- В этом случае коэффициенты и вычисляются из (3.18) [8, 2.5, 3.15] по стандартной процедуре [c.94]

Пользуясь правилами преобразования частных производных функций двух переменных от одной ортогональной системы координат чк другой, можно найти выражение (V.1.3) в полярной системе координат г = + [c.137]

Формулы (7.14) выражают закон преобразования произведений компонент двух векторов при переходе от одной системы координат к другой. Однако кроме произведений компонент двух векторов существуют и другие таблицы величин с двумя индексами, которые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам (7.14). В связи с этим вводят определение если в каждой прямолинейной ортогональной системе координат имеется совокупность девяти величин с и если при переходе от одной системы координат к другой эти величины преобразуются по формулам (7.14), то совокупность этих девяти величин определяет новую величину с — Цс,уг1 — аффинный ортогональный тензор второго ранга (или просто тензор второго ранга). [c.20]

Других решений система (4.10) не имеет, т.е. двумя найденными выше волнами с ортогональными линейными поляризациями, имеющими скорости Uo= / E = /rio и (4.11), исчерпывается все многообразие нормальных волн, которые могут распространяться по заданному направлению 0. [c.184]

I, + 2 IgJ При п = 3 В ортогональной системе ко ординат на Но нам надо перейти к другой системе локальных координат (см. п. 4 34). Зафиксируем точку xo = x iu на 5/ в этой точке коэффициенты Ламе /г,, Лз мы можем принять равными 1. Тогда символ станет равным в этой точке. Теперь спроектируем окрестность точки Хо на Si на касательную плоскость к Si в этой точке. Примем за оси координат в этой плоскости касательные к координатным линиям [c.353]

Осесимметричная задача разработана наиболее полно по сравнению с другими задачами пространственной термоупругости. Характерные математические трудности, связанные с решением этой задачи, можно установить при исследовании тепловых напряжений в толстостенной сферической оболочке и в коротком сплошном цилиндре. Задача о тепловых напряжениях в толстостенной сферической оболочке является типичной задачей, решаемой с помощью классических методов разложения переменных и представления величин, входящих в граничные условия, в виде рядов по полной ортогональной системе функций. Задача о тепловых напряжениях в коротком цилиндре вводит читателя в круг идей, реализуемых при исследовании тела вращения, для которого невозможно представить граничные значения искомых величин в рядах по полной ортогональной системе функций на всей его поверхности. Применяются в основном два метода решения такой задачи метод однородных решений, разработанный А. И. Лурье (1947) и В. К. Прокоповым, и метод суперпозиции решений для более простых граничных задач, истоки которого содержатся в работах Л яме (1861) и Матье (1890). Использование второго метода в нашей книге позволило изучить термоупругое напряженное состояние тела вращения конечных размеров во всей его области, включая и особые точки. [c.9]

Для решения поставленной задачи выберем несколько систем отсчета Во-первых, используем ортогональный лабораторный базис л , у, г. В этом базисе целесообразно записывать окончательные выражения и соответствующие операции в терминах инженерной механики пластичности, например конфигурационные тензоры деформаций г и напряжений усредненные по характерным объемам V, включающим большое количество малых участков (объемов кристалла, в которых реализуется каждый конкретный элементарный акт деформации или разрушения. Во-вторых, применим кристаллофизический базис, задаваемый тремя некомпланарными единичными векторами и, v, w, который в общем случае условимся считать косоугольным, а в практических расчетах — близким к ортогональному. В кристаллофизической системе координат такие свойства удобно выражать как тепловое расширение и упругую податливость. Справочные сведения о подобных характеристиках обычно представляют именно в кристаллофизическом базисе. В-третьих, будем широко пользоваться различными локальными базисами (которые в общем случае можно считать и неортогональными), выбирая их каждый раз так, чтобы форма записи соответствующих физических законов реализации процесса была предельно простой и понятной по содержанию. Так, если деформация осуществляется кристаллографическим сдвигом по плоскостям с нормалью п в направлении /, условимся задавать ее в базисе I, т, п, где направления I, т я п образуют тройку единичных ортогональных по отношению друг к другу векторов. Примером другой локальной системы отсчета может служить базис а, Ь, с, в котором удобно записывать условия раскрытия трещин отрыва. При этом условимся орт а ориентировать вдоль направления сдвига, инициирующего отрыв (например, по схеме Стро [2П), а вектор с — вдоль нормали к плоскости трещины. Понятно, что в этой схеме тройка единичных векторов а, Ь, с не обязательно образует ортогональный базис, а орт а может совпадать с ортом I из локальной системы сдвига. Однако базис целесообразно брать все же ортогональным. [c.9]

Для выбранных двукратных частот возмущенной системы представлено лишь по одной форме колебаний, определенной в соответствии с выражением (7.38) другие, ортогональные к ним и описываемые выражением (7.39), аналогичны с точностью до сдвпга на четверть волны. [c.134]

Как уже отмечалось ранее, репер данной ортогональной системы криволинейных координат является вектор-функцией точки. В связи с этим важно определить форму, которую имеют девять производных dijdqi к, Z = 1, 2, 3). В общем случае эти векторы имеют другую ориентацию, отличную от ориентации единичных векторов. Это заключение легко продемонстрировать, заметив, что = 1, откуда следует [c.554]

При переходе к другой, также ортогональной, системе координат они щ>еобразуются по формулам (см. (1.26)) [c.70]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...