Допустимые функции

В большинстве случаев вариационные задачи механики оказываются вырожденными. Это приводит к тому, что их решение частично или полностью совпадает с границами области допустимых функций. Метод решения таких задач был разработан и опубликован в ряде статей Охоцимским. Первой из них была работа [2]. [c.45]

Уравнение (2.28) не является дифференциальным. Уравнения (2.11), (2.15), (2.29), (2.30) дают четыре произвола в определении функций. Всего задача содержит семь произволов при восьми условиях, и следовательно, она неразрешима. Отсюда заключаем, что двусторонний экстремум недостижим. Искомая функция а у) в решении может частично или полностью совпадать с фаницей области допустимых функций. Свобода [c.74]

В силу предположенных свойств допустимых функций /(х), функция g x) должна быть гладкой и иметь квадратичный экстремум в точке л = 0 никакого другого следа от конкретного вида f(x) в уравнении (32,13) или в налагаемых на его решение условиях не остается. Подчеркнем, что после произведенных при выводе масштабных преобразований (с сст > 1) решение уран-нения определяется при всех значениях фигурирующей в нем переменной х от —оо до +оо (а не только на интервале —1 s 1). Функция g(x) автоматически является четной по х она должна быть такой, поскольку среди допустимых функций f(x) имеются четные, а четное отображение заведомо остается четным после любого числа итераций. [c.176]

Допустимыми функциями Ui будут такие, которые вместе со своими производными непрерывны в замкнутой области V + S и удовлетворяют заданным геометрическим граничным условиям [c.108]

Очевидно, что при таком выборе класса допустимых функций они будут удовлетворять граничным условиям (5.88) при любых параметрах Uk- Среди этих функций надо найти ту, которая сообщает функционалу (5.87) наименьшее значение. Если подставить в функционал вместо Ui выражение (5.89) и выполнить интегрирование, то функционал превратится в квадратичную функцию п параметров а . [c.108]

Усложнение, которое возникает в случае второй задачи, аналогично задаче Неймана для уравнения Лапласа. Для получения и здесь положительного оператора на пространство допустимых функций вводится ограничение [c.621]

Докажем, что из (4.57) следует справедливость (4.58) и оптимальность функции р . Последнее означает, что для любой допустимой функции Р должно быть [c.212]

Так как при любой допустимой функции к х, у) прогиб u(t, 0) = и (О) ( ), причем максимум функции (t) из (6.9) достигается в точке 1, оптимальная толщина А (х,у) и соответствующая сила Р могут быть найдены из решения задачи (6.14) для упругой пластинки при геометрических ограничениях (6.15) и ограничениях на перемещения и° (0) Ъ ,/ ( 1). [c.225]

Для обсуждения упомянутых выше требований будет использовано уравнение (1) при этом следует иметь в виду, что возможны эквивалентные формулировки через деформации, а с использованием определяющих уравнений — и через работу. Очевидно, существует очень много различных функций, которые имеют вид входящей в уравнение (1) функции и могут описывать некоторую поверхность прочности. Требование инвариантности по отношению к выбору системы координат суживает возможности выбора, так как допустимые функции должны выражаться через инварианты напряжений, главные напряжения или скалярные функции от напряжений. [c.410]

При формулировке критерия разрушения для изотропных материалов через главные напряжения возможны дополнительные упрощения за счет того, что (1) допустимые функции должны симметричным образом зависеть от главных напряжений и (2) расположение главных осей тензора напрян<ений относительно главных осей симметрии материала в данном случае не играет никакой роли. Для анизотропных материалов такие упрощения, очевидно, невозможны, поскольку в формулировку критерия разрушения через главные напряжения необходимо включить многочисленные параметры материала для того, чтобы учесть отсутствие симметрии, а также несовпадение главных осей тензора напряжений и главных осей прочности. Если не [c.410]

Исследуем на экстремум простейший функционал (2.64) для случая, когда граничные точки для допустимых функций у фиксированы у (а) = уа, у (Ь) = Допустимыми функциями называются непрерывные функции (с непрерывными производными), принимающие известные значения на концах интервала интегрирования., Необходимым условием экстремума является обращение в нуль первой вариации функционала. Для получения первой вариации функционала перейдем от функции у к близкой к ней, полагая [c.48]

По физическому смыслу компоненты вектора неопределенных множителей (X соответствуют обобщенным усилиям в сечении. Поскольку компоненты векторов б Xj, б F — произвольные допустимые функции, то для равновесного состояния согласно (3.49) должны выполняться условия [c.87]

Последовательность (система) координатных элементов должна подчиняться трем требованиям координатные функции должны удовлетворять по крайней мере кинематическим граничным условиям е Е при любом N линейно независимы система tf полна по энергии. На практике при ограниченном числе членов ряда (38) обычно требуется, чтобы система была представительной, т. е. чтобы любую допустимую функцию можно было аппроксимировать данной системой функций с заданной степенью точности. [c.183]

В таком случае значение функционала v[y(x)] рассматривается на допустимых в данной вариационной задаче кривых (или функциях у = у(х)). Их допустимость обуславливается необходимостью удовлетворять заданным краевым условиям и определенным в зависимости от вида функционала свойствам гладкости. Выбор классов допустимых функций и составляет сущность отдельных прямых методов в вариационных задачах. [c.116]

Вариационную задачу отыскания оптимальной формы тела по теплообмену следует сформулировать следующим образом среди допустимых функций X = ж(р), ж(0) = о, х(уз) = хз найти такую, которая обеспечивает минимум интеграла в правой части выражения (1.7). [c.522]

Сказанное позволяет определить класс допустимых функций. Функции В(х) и ф(х) могут иметь разрывы первого рода. Функция у(х) непрерывна ввиду (1.8). Предположив отсутствие ударных волн, получим из (1.1), что г (ж), р(х) и р(х) также непрерывны, хотя их производные и разрывны в точках разрыва у В ж р. [c.598]

Сформулируем вариационную задачу. Среди допустимых функций [c.598]

Обычно задачу о магистральных трещинах, развивающихся, в твердых телах, решают для прямолинейных трещин в предположении, что линия распространения трещины задана. Можно отказаться от этого ограничения, если рассматривать последовательность решений задачи теории упругости для одинаковых тел, каждое из которых содержит некоторый разрез (трещину), произвольной конфигурации. Эта последовательность составляет класс допустимых функций, из которых частное решение, отвечающее равновесию тела с трещиной, выбирается с помощью излагаемого здесь вариационного принципа. [c.31]

Истинное распределение температуры Т М) удовлетворяет (1.85) при любой непрерывной функции w (М), подчиняющейся условию (1.83). Но из (1.85) при определенном выборе w (М) можно найти приближенное распределение температуры Т (М). В отличие от Т (М) оно не обязательно должно быть гладким, т. е. иметь во внутренних точках М V непрерывные производные по координатам. Достаточно, чтобы Т М) было непрерывным и удовлетворяло граничному условию (1.66). Ослабление требований к гладкости Т М) существенно расширяет класс допустимых функций, на которых можно рассматривать (1.85). Поэтому (1.85) называют слабой формулировкой задачи [6]. Аналогичным образом из (1.64) можно получить слабую формулировку нестационарной задачи теплопроводности [c.27]

Вторую пару j,2 и (М) находим минимизацией (4.35) на допустимых функциях и (М), которые помимо (4.36) должны удовлетворять дополнительному условию [c.162]

При определении каждой следующей пары i n + in + (М) при минимизации (4.35) накладываются дополнительные ограничения, которые являются условиями ортогональности с весом с (М) допустимых функций по отношению ко всем п уже найденным собственным функциям. Эти ограничения сужают множество допустимых функций и (М) и приводят к тому, что каждое найденное собственное значение оказывается больше предыдущего. [c.162]

Идея метода Ритца состоит в том, что значения функционала рассматриваются не на произвольных допустимых функциях, а лишь на семействе функций, линейно зависящих от нескольких параметров [c.108]

Заметим, что приближенное значение функционала П (5.91), получаемое методом Ритца, всегда не меньше действительного функционала П (5.87). В самом деле, значение минимума функционала находится с избытком, так как минимум функционала на любых допустимых функциях не больше, чем минимум того же функционала на части этого класса допустимых функций (5.89). [c.109]

Рассмотрим решение задачи методом Рэлея—Ритца, но вместо ряда (2.68), в котором каждая функция была допустимой функцией задачи на собственные значения, воспользуемся рядом (2.86), построенным из функций сравнения. Подставив этот ряд в выражение (2.66) и выполнив все необходимые операции дифференцирования и интегрирования, получим [c.75]

Следовательно, йц = ац bij = Ьц и результат приближенного решения задачи методом Рэлея—Ритца полностью совпадает с результатом решения методом Галеркина, если в обоих случаях используется один и тот же ряд (2.86), построенный из функций сравнения. Но из сказанного не следует, что эти два приближенных метода полностью идентичны. При решении задачи методом Рэлея—Ритца можно использовать значительно более широкий класс аппроксимирующих функций, чем при решении задачи методом Галеркина в методе Рэлея—Ритца это допустимые функции, а в методе Галеркина—функции сравнения. [c.76]

Система (11.109) имеет обычно несколько решений. Поэтому результатом является, как правило, семейство передаточных функций, сообш,ающих экстремум функционалу (11.104) и удовлетворяющих условиям (П.105) и (11.106). Среди этих функций возможны и такие, которые меняют знак на отрезке [О, фр]. Эти функции должны быть исключены из рассмотрения, так как их невозможно использовать при синтезе реальных механизмов. Из числа оставшихся (допустимых) функций непосредственным вычислением функционала (П.104) выбирается функция, сообщающая этому функционалу наименьший минимум. [c.69]

Закон движения Ь= Уа х) сообщает минимум исходному функционалу и критерию оптимальности в классе всех допустимых функций D, не имеющих мягких ударов внутри отрезка [0,1]. При этом под допустимыми понимаются непрерывные функ- ции, удовлетворяющие предельным условиям (11.125) и изопе-риметрическому услорию (11.126). Отметим, что если в классе D выделить семейство симметричных относительно середины промежутка [0,1] функций, то в этом более узком классе найденный закон движения (инвариант скорости) имеет минимум максимального значения, что легко проверяется. [c.79]

Основной вариационный принцип. Среди форм движения истинными формами собственных колебаний будут те, которые сообщают дроби Релея стационарные значения. Этот принцип является отправной точкой для получения ряда других вариационных принципов. В дальнейшем будем выражать дробь Релея через энергетические функционалы. Это позволит расширить область допустимых функций за счет функций, которые удовлетворяют кинематическим граничным условиям, но не обязательно динамическим. Кроме того, снижаются требования к дифференци-руемости функций (требуется существование производных, входящих в энергетические произведения, что уменьшает вдвое требуемый порядок производных). Дополненное таким образом энергетическое пространство будем обозначать через Е . [c.171]

Использование теорем сравнения. Если имеются две системы I и II с уравнениями ( j — со А) ф = О и ( jj — оз А) ф = О и совпадающим классом допустимых функций и для любых допустимых функций [ф, со 2гсо . Аналогично, [c.183]

Если с помощью метода Ритца определяют минимум функцнонала, го приближенное значение его находят с избытком, так как минимизирующие функцин у , у ,. .., у составляют лишь часть класса допустимых функций. Следует заметить, что решение системы уравнений (177) является сложной задачей. Эта задача существенно упрощается, если исследуется на экстремум квадратичный относительно неизвестной функции и ее производных функционал V, так как в этом случае система уравнений [c.117]

Основные преимущества МКЭ проистекают из его сеточного (разбивка на конечные элементы) и вариационного (использование вариационных принципов) характера. Вариационный подход расширяет класс допустимых функций и, в частности, позволяет конструировать решение при помощи не очень гладких, но, что важно, локализованных функций. Вариационный подход позволяет также исключить из специального рассмотрения естественные граничные условия. Наконец, сеточный характер МКЭ облегчает известные трудности, связанные с выбором базисных функций в вариационньк методах. В классических вариационных методах, изложенных в гл. 1.4, этот выбор сильно усложняется их зависимостью от конфигурации рассматриваемой области. В МКЭ такой зависимости нет. Влияние сеточных методов на МКЭ приводит к тому, что разрешающие системы алгебраических уравнений оказываются хорошо обусловленными, с редко заполненными матрицами, и, что очень важно, формирование таких матриц оказывается сравнительно простым. [c.54]

Для определения его MHHHNiyMa на классе допустимых функций, удовлетворяющих кинематическим условиям на торцах оболочки, принято, что такой класс допустимых функций построен. Перемещения обачочки в виде разложений по выбранным функциям [c.218]

Оптимальный контур может состоять из участков экстремалей X = х(у) и участков границ ж = 0, ж = жз, р = 0, у = уз если они являются участками краевого экстремума. Так же, как при нахождении формы тел минимального сопротивления, на контур тела следует наложить ограничения, связанные с областью применимости формулы Ньютона [5]. Класс допустимых функции х(у) должен состоять из кусочногладких кривых, удовлетворяющих условию о < ж < (X), где х = (1х/(1у. [c.522]

Иногда класс допустимых функций может быть сужен. Так, если стенки — идеальные проводники, то р х) = onst. При этом 5р также не зависят от ж и экстремальное р удовлетворяет условию [c.603]

Основываясь на аналогии между уравнениями для упругого тела в состоянии равновесия и для вязкой ньютоновской жидкости в установившемся стоксовом течении, Хилл и Пауэр [16] вывели два экстремальных принципа. Стьюарт [28] обсудил эти взаимно дополняющие вариационные принципы и применил их к проблеме ламинарного течения в однородных каналах. Эти теоремы ограничивают диссипацию энергии в данной краевой задаче с обеих сторон, т. е. в интервале между верхним и нижним пределами, соответствующими произвольному выбору допустимых функций. Одна такая функция, которая доставляет верхний предел, определяется по теореме Гельмгольца. Для нижнего предела напряжения должны быть такими, как если бы они были результатом действия на тело конечной силы, или пары сил, или обоих факторов вместе. Многочисленные применения приведены в работе [16], включая случай поступательного движения сферы в неограниченной среде, где для иллюстрации показано, что справедливы неравенства [c.113]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...