Собственные функции полнота

Что такое полнота системы собственных функций линейных операторов [c.107]

Это равенство доказывается на основе полноты системы собственных функций, относительно которых вычисляются матричные элементы. В классической теории вместо (50.30а) выполняется соотношение [c.264]

Нужно, во-первых, еще показать полноту всей использованной системы собственных функций. Этим вопросом в данной статье я заниматься не буду. Согласно другим исследованиям можно предположить, что мы не пропустили какого-либо собственного значения. [c.674]

Система собственных функций обладает свойством полноты любую функцию сравнения можно разложить в ряд по собственным функциям и этот ряд будет равномерно и абсолютно сходиться в интервале (а, в), для которого сформулирована данная задача. [c.301]

Математическая особенность задач с неортогональными собственными функциями состоит в том, что параметр X, имеющий физический смысл частоты или постоянной распространения, входит в дифференциальные уравнения в виде полиномов, а также содержится в выражениях для граничных условий. Такого типа краевые задачи называются обобщенными [4]. Наиболее глубокие результаты в этой области получены в работе Келдыша [5]. В ней исследованы вопросы полноты и ортогональность собственных функций дифференциальных уравнений, содержащих параметр X в виде полинома степени п с граничными условиями, не содержащими этого параметра. [c.6]

Что касается полноты собственных функций обобщенных краевых задач,, то этот вопрос изучен еще далеко не исчерпывающе [4]. [c.9]

Предполагая полноту системы собственных функций, принадлежащих точечному спектру собственных значений оператора М, [c.25]

Подчеркнем, что собственные функции уравнения теплопроводности для твердого тела образуют полную систему [101, вследствие чего по этим функциям можно разложить в ряд Фурье другие функции. Вопрос о полноте собственных функций в задаче нестационарного теплообмена для систем, подобных каналу с ТВЭЛОМ и теплоносителем, по-видимому, должным образом и с необходимой математической строгостью не исследован. Мы примем условие полноты функций г 3й(г) без доказательства, как гипотезу, и будет Б дальнейшем пользоваться разложением функций в ряд Фурье по собственным функциям 1 л(г) оператора S (3.109) без дополнительных оговорок. Тем самым мы принимаем также отсутствие в полном спектре собственных значений этого оператора непрерывного спектра собственных значений и соответ-ствуюш,их сингулярных собственных функций, а также присоединенных элементов собственных функций [80, 471. [c.97]

Коэффициент К некоторых относительно несложных форм можно получить чисто аналитическим путем, причем, конечно, знание вида собственных функций и, следовательно, интегрирование уравнения теплопроводности является неизбежным. В дальнейших параграфах приведен ряд тел, коэффициенты формы которых нами найдены аналитическим путем для полноты мы присоединили сюда простые тела, рассмотренные в гл. 111. Далее мы перейдем к телам неправильной формы и укажем общий прием определения К для них. [c.90]

Для распространения этого преобразования на весь класс функций 2 [0, 1 достаточно воспользоваться полнотой системы собственных функций ф(А, 0 . [c.20]

Оно зависит от индекса начального состояния т, который далее будем опускать. При выводе этого выражения мы использовали свойство полноты собственных функций оператора. Функция [c.22]

Полнота собственных функций II (и) для г o < О доказана в [8]. [c.112]

Функция f(0, л), определенная в положительной половине диапазона изменения представлена в (10.96а) в виде разложения по собственным функциям законность такого представления основана на приведенной выше теореме полноты для половинного диапазона. Коэффициенты разложения Л(т1о) и Л (т]) могут быть определены с помощью соотношений ортогональности собственных функций в половине диапазона (г и различных интегралов нормировки. Отметим, что выражение (10.96а) имеет точно такой же вид, что и (10.53), в силу чего коэффициенты Л(т1о) и Л(т1) можно получить, используя соответственно-формулы (10.54) и (10.56). Коэффициент Л (т]о) равен [c.409]

Заметим, что правые части уравнений (11.92) и (11.93) представляют собой разложения в пределах половины интервала изменения ц,, аналогичные выражению (10.22а). Согласно теореме полноты для половинного интервала, сформулированной в гл. 10, эти разложения носят достаточно обш ий характер, чтобы с их помощью представить произвольную функцию (т. е. левые части этих уравнений), определенную в интервале хе(0, 1). Входящие в эти уравнения коэффициенты разложения можно выделить, используя свойство ортогональности собственных функций и описанные ниже различные интегралы нормировки. [c.457]

Разложение по собственным функциям для полного диапазона, ортогональность 387 ------- теорема о полноте разложения 386 [c.610]

ДЛЯ которой доказана полнота и ортогональность системы собственных функций при ф > о (ф < 0) с весом ф [3.9, 3.11, 3.32,3.45 Доопределим Vq и на интервал [—/ (О), 0] соответственно четным и нечетным образом. При этом выражения (3.18) получаются одно из другого заменой знака ух и определены на интервале ортогональности системы собственных функций—/ (0) < X < (О)- В этом случае коэффициенты и вычисляются из (3.18) [8, 2.5, 3.15] по стандартной процедуре [c.94]

Основная трудность здесь заключается в том, что оператор + /к- не самосопряженный. Это означает, что общих теорем о полноте собственных функций не существует. Кроме того, непросто провести качественный анализ спектра при помощи теоремы Вейля, когда I = К — V и К— компактный оператор. Действительно, теорема Вейля утверждает, что если оператор А замкнут и самосопряжен, а К вполне непрерывен и самосопряжен, то [c.227]

Это завершает обсуждение случая вещественного и фиксированного к. Полнота собственных функций, по всей видимости, еще не обсуждалась в литературе, хотя долл<но быть не трудно получить результаты при помощи методов теории полугрупп. [c.230]

Случаи, когда оператор А нормален. Пусть asi и S —окружность (при п — 2) или сфера (при п = 3). В этом случае можно непосредственно проверить (см. [55]), что оператор А нормален АА = А А. Это эквивалентно наличию у А ортонормированного базиса из собственных функций в L S) (см., например, [2], гл. V) присоединенных функций нет. Нетрудно найти собственные функции, решая задачу (36.1) — (36.3) разделением переменных это будут синусы и косинусы при /г = 2, сферические функции при п — Ъ. Поскольку полнота этих ортогональных систем хорошо известна, мы заново получаем, что А нормален. Собственные значения невещественны они по существу известны см., например, в [15] формулы (7.2.51) и (11.3.44) (см. также выше конец п. 1 10). [c.358]

Итак, однородная задача (24), (26) имеет счетное множество решений, обладающее, по-видимому, полнотой в классе 2 ([—1, 1]). Полагая, что система т является полной системой линейно независимых собственных функций, приходим к выводу о том, что решение однородного уравнения конвективной теплопроводности (4) существует и единственно для краевой задачи вне шара радиуса Во, если на его поверхности о задана температура как функция сферического угла 9. На бесконечности температура предполагается постоянной и равной нулю. Очевидно, что можно получить решение и в том случае, если на поверхности 8о задать тепловые граничные условия второго или третьего рода, поскольку неизвестные произвольные коэффициенты Сп, содержащиеся в т , и здесь однозначно определяются. Каждый коэффициент взаимно однозначно связан с интенсивностью 2 -польного теплового источника. [c.267]

Линеаризованное уравнение (11) при всех числах Рейнольдса имеет двукратную точку спектра, соответствующую п = 2 в разложениях (12). В этом случае в соответствии с общей теорией для полноты системы базисных функций последняя должна быть пополнена присоединенными собственными функциями. Такой присоединенной собственной функцией является решение [c.280]

Однако поскольку число собственных функций с ростом Re не изменяется, то по непрерывности полнота должна иметь место и в некоторой окрестности Re > 0. Следует отметить, что согласно проведенным расчетам не су- о 25 50 Re ществует собственных значений внутри Рис. 106. [c.289]

Из равенств (3.43) и (3.46) заключаем, что функция (3.47) ортогональна по сегменту [О,/] ко всем собственным функциям г> (ж). Отсюда в силу полноты системы Уп х) получим, что при любом фиксированном О оо [c.75]

Поэтому, по Дираку, состояние квантовой системы описывается бра-вектором (ifi или сопряженным ему кет-вектором 1113) = = (( ф )" " состояния (с волновой функцией j)(q, /)=) в бесконечномерном гильбертовом (функциенальном) пространстве. В этом линейном пространстве в качестве базиса используются ортонормированные т т ) — 6fnm ) собственные функции il3m = = (q m) (Щт) = т т)) любой физической величины, представляемой эрмитовым оператором M = / i+, при этом Ст(0=( ф)-Условие полноты базиса т) (т-представления) символически можно записать в виде [c.188]

Полнота системы собственных функций, в теории линейных операторов доказывается, что система собственных функцргй широкого класса линейных операторов является полной ортогональной системой функций, т. е. не существует функции, которая была бы ортогональной всем функциям системы. Исходя из этого утверждения доказывается, что любая функция, удовлетворяющая весьма щироким математическим условиям, которые в физических приложениях, как правило, выполняются, может быть разложена по полной ортогональной системе собственных функций линейного оператора, т.е. представлена в виде бесконечного ряда [c.108]

Если в качестве координатных функций gi (х) взята полная система функций, то увеличивая число членов ряда (2.80), можно теоретически с любой степенью точности определить требуемое количество собственных значений Р и построить соответствующие им собственные функции задачи. Но при практическом использовании метода Галеркина, как и метода Рэлея—Ритца, приходится ограничиваться сравнительно небольшим числом членов ряда (2.80). Точность и трудоемкость решения определяются не полнотой системы координатных функций, а тем, насколько удачно выбраны первые функции этого ряда. [c.73]

В задачах устойчивости обычно требуется найти первое собственное значение, дающее критическую нагрузку. Поэтому при выборе координатных функций следует стремиться к тому, чтобы первый член ряда точнее отражал характер первой собственной функции решаемой задачи, а все последующие члены ряда играли бы роль уточняющих поправок. Один из наиболее естественных и надежных путей выбора координатных функций состоит в использовании собственных функций родственной самосопряженной и полностью определенной задачи, допускающей точное аналитическое решение. Например, если задача устойчивости сводится к решению уравнения с переменными коэффициентами, то, осреднив значения коэффициентов, можно перейти к вспомогательной задаче с теми же граничными условиями, но с постоянными коэффициентами. Определив систему собственных функций для этой вспомогательной задачи, затем можно их использовать для построения приближенного решения уравнения с переменными коэффициентами. Такой путь решения обычно дает возможность с высокой точностью определять критические нагрузки даже при сравнительно небольшом числе членов ряда (два-три) при этом гарантируется полнота системы координатных функций. [c.73]

Предполагая полноту системы собственных функций, принадлежащих точечному спектру собственных значений оператора L, можно использовать метод разложения в ряд Фурье любой интересующей нас функции /(г,т), при этом знание биортогонального базиса позволяет просто вычислить коэффициенты разложения. Действительно, умножив равенство вида [c.215]

Поскольку доказано свойство полноты системы собственных функций, т. е., что решение, соответствующее произвольным кусочно-гладким начальным данным, может быть получено суперпозицией собственных ко. ебании, то для получения характеристического уравнения можно пользоваться методом Фурье, быстрее приводящим к цели. [c.139]

Таким образом, систему координатных функций Хп можно аыбнрать довольно грубо Достаточно только обеспечить полноту этой системы. В качестве функций % целесообразно выбирать собственные функции задачи о колебании жидкости в некотором сосуде, охватывающем заданный, но имеющем более простую форму. Например, если жидкость колеблется внутри конического бака, то в качестве координатных функций можно взять собственные функции задачи о колебании жидкости в цилиндрическом сосуде, поперечное сечение которого равно наибольшему из оснований конуса. [c.292]

В предположении о гёльдеровости индикатрисы в полноте системы регулярных и сингулярных собственных функций характеристического уравнения, которая является основой аналитического метода решения краевых задач для уравнения переноса (метода Кейза). С помогцью этого метода, в частности, удалось найти формулы, описываюгцие асимптотическое поведение эешения неоднородного уравнения переноса в полу бесконечной среде [40]. [c.775]

Обобщенные собственные функции обладают многими свойствами ортогональности и полноты. Одни из свойств ортогональности во всем интервале —оо < < оо можно легко доказать обычными выкладками. Другие свойства ортогональности в частичных интервалах (особенно в интервале О < < оо) и свойства полноты доказать труднее, так как они требуют решения сингулярных интегральных уравнений. Тем не менее к таким задачам можно применить стандартные методы (Мусхелишвили [4]) и получить следующие результаты (Черчиньяни [7] и [10] гл. 6) [c.176]

Обобщенные собственные функции Яи( ) обладают многими свойствами ортогональноеги и полноты. Для полного интервала [c.325]

Если принять простое, но реалистичное предположение, что отражение молекул от пластины полностью диффузное, то задача вычисления коэффициентов собственных функций, рассмотренная в разд. 8, сведется к использованию полупространственной полноты (конечно, нужно учитывать также условие ограниченности на бесконечности). Однако сам факт полноты еще не дает полезных выражений для коэффициентов разложения, если не используется недавно развитая более сложная теория, описанная в конце разд. 8. [c.372]

Здесь следует сделать небольшое замечание по поводу последнего утверждения, так как на этот счет имеется целый ряд противоречивых суждений [10, 34-36]. В математике такое свойство набора функций щ называется полнотой в некотором классе функций. Не каждый интегральный оператор, описываюгций прохождение поля по резонатору, порождает полный дискретный набор собственных функций. [c.128]

Кроме того, система функций фр1 обладает свойством полноты в классе функций с интегрируемым квадратом модуля в интервале (0,1). Это означает, что всякая такая функция может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям уравнения (2.55). Заметим, что все сформулированные свойства справедливы и для функций Пр1, так как функции соз1(р и Б1п1(р ортогональны на интервале (О, 2тг) и образуют полную систему функций. [c.143]

Силичев 0.0. О полноте собственных функций интегральных операторов в теории резонаторов j j Оптика анизотропных сред. М. МФТИ, 1988. С. 132-137. [c.311]

При таком подходе для рассматриваемого уравнения собственное значение не обязано равняться со (1 —Юп). Однако оператор 2 является обобщенным несамосопряженным оператором Лежандра при произвольных конечных Юп, в частности для таких ю , которые удовлетворяют уравнению Яя = со (1 — соп). Поэтому можно надеяться (доказать это утверждение строго пока не представляется возмон ным), что свойство полноты собственных функций для задачи (24), (26) также будет иметь место. Это заведомо так для частных случаев Рг = О и Ке = О, поскольку тогда задача превращается в задачу на собственные значения для обыкновенного оператора Лежандра. Следует отметить, что первое собственное значение 0)1 = 1 при всех значениях чисел Ке и Рг, что диктуется законом сохранения теплового потока. Соответствующая собственная функция (11) отвечает решению задачи с заданным ненулевым потоком тепла на бесконечности. [c.265]

Нетрудно установить, что при Ке = О отрицательные целочисленные значения показателей степени для окружной скорости Уф также являются собственными, а система собственных функций полной (при " п = п, —п— имеется собственная функция в виде полинома ге-й степени Г (а ), Г ( 1) = 0). При увеличении числа Ке отрицательные становятся дробными, а число собственных функций не меняется, поэтому следует он идать полноты системы собственных функций для отрицательных и нри Ке > 0. [c.291]

Что касается полноты системы собственных функций и сходимости рядов (32), то все замечания, которые бiыли сделаны для неавтомодельной затопленной струи, почти [c.299]

Собственные значения К1, К2, аз соответствуют задаче о течении вне шара, причем a , аз, ае — внутренней задаче. С помош ью показателей а1,. .., ае можно построить решения в шаровом слое или какой-нибудь другой двусвязпой области, ограниченной звездными поверхностями, как это было показано в 3 для осесимметричного случая. Таким образом, при Ке = О собственные значения целые, а собственные функции, им соответствуюгцие,— полиномы. Из (5) видно, что для каждого иг = О, 1, 2,... семейство собственных функций является базисом пространства всех полиномов, чья полнота в С [—1, 1] хорошо известна. [c.310]

При Ке > О исследование вопросов полноты собственных функций представляет значительные трудности, связанные с тем, что собственные значения а входят в уравнения (4) нелнне11ным образом. Как было указано в 2, строгой математической теории таких спектральных задач пока нет, поэтому ограничимся качественными соображениями, подкрепленными соответствуюгцими численными расчетами. [c.310]

В этом случае число собственных функций и их линейная независимость будут сохранены по крайней мере в некоторо окрестности точки Ке = О, потому пет оснований полагать, что при увеличении Ке полнота систем собственных функций будет потеряна в этой окрестности. Следует отметить, что собственные зпачения также становятся функциями числа Рейнольдса а т(Ке), причем как собственные функции, так и собственные значения могут быть комплекснозначпыми. Численные расчеты подтверждают непрерывную (и возможно кусочно дифференцируемую) зависимость а т(Ко) вместе с соответствуюгцими им собственными функциями и Ке), Т тгт (ж, Ке), ТУтгт , Ке). [c.310]

Представление реше ия в виде (2) не удовлетворяет полным урав 1ениям Навье — Стокса. Основываясь на разложениях (2), подобно тому, как это было сделано в 2, можно построить общее решение урав ений Навье — Стокса (npi условии, что абор собственных функций w, q обладает полнотой в С —1, 1] (О si0=in), что предполагается), если ввести разложение по более полному набору показателей степени, включающему, в частности, степени, которые возникают при подстановке (2) в нели 1ейные чле 1Ы. Это семейство степеней долж 0 обладать групповым свойством, так чтобы линеЙ ые и нелинеЙ ые члены давали показатели степени из того Hie семейства. Дополнительные члены разложения возникают как решения неоднородных линейных урав ений, правая [c.314]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...