Ортогональность собственных функций

Ортогональность собственных функций. Собственные функции линейного самосопряженного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, т. е. интеграл по всей области изменения независимых переменных от произведения одной из них на функцию, комплексно сопряженную с другой, равен нулю. Пусть и -собственные функции оператора А, принадлежащие различным собственным зна- [c.107]

Коэффициенты разложения Ф (0 получим из (10.3.2), пользуясь условиями ортогональности собственных функций свободной системы [c.334]

Свойство обобщенной ортогональности собственных функций состоит в том, что для любых двух собственных функций щ (дг) и у/, (х), соответствующих двум различным собственным значениям Pi и Р/,, выполняются условия 6 6 [c.301]

Можно свести ряд к единственному члену, сокращая множитель в правой и левой частях уравнения, умножая обе части уравнения на и производя интегрирование по всей системе и используя ортогональность собственных функций для определения амплитуды каждой формы колебаний, получим [c.225]

Математическая особенность задач с неортогональными собственными функциями состоит в том, что параметр X, имеющий физический смысл частоты или постоянной распространения, входит в дифференциальные уравнения в виде полиномов, а также содержится в выражениях для граничных условий. Такого типа краевые задачи называются обобщенными [4]. Наиболее глубокие результаты в этой области получены в работе Келдыша [5]. В ней исследованы вопросы полноты и ортогональность собственных функций дифференциальных уравнений, содержащих параметр X в виде полинома степени п с граничными условиями, не содержащими этого параметра. [c.6]

Коэффициенты определяются в зависимости от начальных условий. В работе [81 эти коэффициенты определены исходя из ортогональности собственных функций. Если при t = to задано начальное распределение w (х, to), то для можно получить формулу [c.192]

Для определения функций времени 5,- ( ) умножим обе части уравнения (IV. 117) на Х,(а ) и проинтегрируем результат по всей длине стержня. При интегрировании в правой части исчезнут все слагаемые, кроме -го (вследствие свойства ортогональности собственных функций), и для 5,- t) получится формула [c.266]

Для определения функций времени 5.(/) умножим обе части равенства (IV. 129) на Х (х) и проинтегрируем результат по всей длине балки ввиду ортогональности собственных функций в правой части остается только одно слагаемое, соответствующее номеру /, так что [c.270]

При учете ортогональности собственных функций 1 [c.36]

Из условия ортогональности собственных функций с весом с (М) в правой части этого равенства отличным от нуля и равным согласно [c.164]

Из условия ортогональности собственных функций в правой части этого равенства отличным от нуля и равным единице будет лишь тот из интегралов, для которого т п. Отсюда следует, что Лщ = Тщ (М ( ) и (4.53) переводит решение в изображениях в искомый оригинал, т. е. с учетом (4.52) и выражения для (p. ) получили решение задачи стационарной теплопроводности [c.167]

ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [c.387]

Ортогональность собственных функций лежит в основе способа определения неизвестных коэффициентов в разложении произвольных функций по собственным функциям. Эта методика аналогична использованию свойства ортогональности собственных функций в классическом методе разложения по ортогональным функциям. В данном разделе рассмотрена ортогональность собственных функций при разложениях в полном и половинном диапазонах. [c.387]

В данном разделе будет проиллюстрировано использование свойства ортогональности собственных функций и различных интегралов нормировки для определения коэффициентов разложения достаточно гладкой функции по собственным функциям. Отдельно будут рассмотрены случаи разложения в полном и в половинном диапазонах. [c.398]

Функция f(0, л), определенная в положительной половине диапазона изменения представлена в (10.96а) в виде разложения по собственным функциям законность такого представления основана на приведенной выше теореме полноты для половинного диапазона. Коэффициенты разложения Л(т1о) и Л (т]) могут быть определены с помощью соотношений ортогональности собственных функций в половине диапазона (г и различных интегралов нормировки. Отметим, что выражение (10.96а) имеет точно такой же вид, что и (10.53), в силу чего коэффициенты Л(т1о) и Л(т1) можно получить, используя соответственно-формулы (10.54) и (10.56). Коэффициент Л (т]о) равен [c.409]

Заметим, что правые части уравнений (11.92) и (11.93) представляют собой разложения в пределах половины интервала изменения ц,, аналогичные выражению (10.22а). Согласно теореме полноты для половинного интервала, сформулированной в гл. 10, эти разложения носят достаточно обш ий характер, чтобы с их помощью представить произвольную функцию (т. е. левые части этих уравнений), определенную в интервале хе(0, 1). Входящие в эти уравнения коэффициенты разложения можно выделить, используя свойство ортогональности собственных функций и описанные ниже различные интегралы нормировки. [c.457]

Зная частное решение фр(т, (г), можно найти коэффициенты разложения Л( т]о) и Л( т)) при условии, что решение (12.57) удовлетворяет граничным условиям (12.56), используя свойство ортогональности собственных функций, а также различные интегралы нормировки, рассмотренные в гл. 10 и 11. [c.507]

Решение в виде (12.74) содержит два неизвестных коэффициента разложения Л(т]о) и Л(т]). Предполагая, что частное решение 1 р(т, ц) уравнения переноса излучения известно, можно найти эти коэффициенты, как это описано в гл. 10 и 11, т. е. потребовать, чтобы решение (12.74) удовлетворяло граничному условию при т = О, и использовать свойство ортогональности собственных функций, а также различные интегралы нормировки. Однако частное решение не может быть найдено, пока неизвестна функция 0 (т), входящая в уравнение (12.72). Чтобы обойти эту трудность, предположим, что распределение температуры 0(т) известно в некотором приближении и что функция e (t) может быть представлена в виде ряда, содержащего конечное число членов м [c.515]

После подстановки выражения (1.67) в уравнение (1.63), умножения обеих частей на (г) и интегрирования по 2, учитывая ортогональности собственных функций, получим уравнение [c.25]

Согласно свойству ортогональности собственных функций, все входящие в левую часть уравнения (6.31) суммы по г и s равны нулю, кроме той, в которой индекс к совпадает с индексом п. Следовательно, [c.172]

Для разрешимости неоднородных уравнений (7.24) правые части уравнений должны быть ортогональны собственной функции Умножая (7.24) на и интегрируя по , получим [c.140]

Используя ортогональность собственных функций с весом /( >, отсюда получим [c.141]

Е д (х, y)ip (2), где J д, — система ортогональных собственных функций, соответствующих волноводным модам. Дпя волновода с мягкой и жесткой границами [c.177]

Это функциональное соотношение должно выполняться в И+, т. е. именно в том объеме, в котором имеет место ортогональность собственных функций, поэтому из него сразу получаем явное выражение для Ап. [c.93]

При таком введении и° и и весь аппарат предыдущего параграфа полностью сохраняется. Единственное, но Весьма существенное, отличие от задачи дифракции без потерь в стенках состоит в том, что поставленная однородная задача не является теперь самосопряженной и собственные значения комплексны, а ортогональность собственных функций имеет место только в форме (3.6). Ситуация здесь такая же, как в / -методе при наличии [c.33]

Отличительной чертой всех этих вариантов является ортогональность собственных функций по поверхности, [c.85]

Иначе говоря, в этом случае можно непосредственно пользоваться вещественной ортогональностью собственных функций, как это делается в предыдущих параграфах. При надлежащей нормировке г 3 будет совпадать с ф]. Если встречаются и собственные значения кратности выше 1, то можно доказать, что при специальном выборе систем корневых функций, отвечающих таким собственным значениям, мы снова будем иметь 1з,- = ф,-. Несколько усложняются также соответствующие члены в формуле (30.9). В частности, если есть присоединенные функции, то в формулах для коэффициентов могут появиться полюсы порядка выше первого в точках Ху ф 0. Подробнее мы обсудим это в пп. 6 и 7 31. [c.293]

Рассмотрим свойство ортогональности собственных функций. Пусть и — две собственные функции вида (8.3.23), соответствующие собственным значениям и (х . Так как каждая из этих функций является решением уравнения (8.3.20), то ViV t) = [c.261]

Для того чтобы определить аналитический вид профилей температуры и концентрации целевого компонента в жидкой пленке, используем условие ортогональности собственных функций оператора Штурма—Лиувилля. С этой целью домножим уравнение (8. 4. 31) на 7 , (т ) и проинтегрируем по т [c.323]

Приведем доказательство ортогональности собственных функций, соответствующих разным собственным значениям. Пусть Я.1 и 2—некоторые собственные числа, срДх) и ф2(х) — соответствующие собственные функции [c.43]

Если коэффициент вяэкого трения т] постоянен для всего объема, то, воспользовавшись условием ортогональности собственных функций, получим [c.24]

Отличительным свойством некоторых задач о со. ственных значениях является их самосопряженность [37], из которой непосредственно вытекает ортогональность собственных функций (основных форм колебаний). Еслн, согласно Л. Коллатцу, придать данному дифференциальному уравнению форму M[y]=XN y), где X является параметром, который при нулевых решениях урап-иения приобретает собственные з) ачения, то 7акого рода задачу называют самосопряженной. [c.83]

Как видим, пространственно-временное поведение гармоник температурного распределения в канале с твэлом и теплоносителем определено теперь полностью с помощью соотношений (3.155), (3.157), (3.149), (3.152) и (3.159). В отличие от предыдущего параграфа, где используются самосопряженный оператор уравнения теплопроводности и ортогональные собственные функции, в этом случае для полного решения задачи требуется знание собственных функций -фт(г) и ii3m (r), составляющих биортогонзль-ную систему. [c.103]

В настоящей главе приведено упрощенное изложение метода Кейса применительно к решению одномерного уравнения переноса излучения в плоском слое серой изотропно рассеивающей среды. Приведены собственные функции однородного уравн ения, рассмотрены свойства ортогональности собственных функций и приведены различные интегралы нормировки описан способ представления произвольных функций через собственные функции. Подробное изложение теории метода и его приложений, а также обзор литературы даны в работе [2]. Более поздние работы, посвященные методу Кейса, рассмотрены в [3]. В работах [4, 5] этот метод был распространен на случай анизотропно рассеивающих сред. Несколько полезных соотношений ортогональности для собственных функций приведены в [6—8] Мы не собираемся приводить многочисленные ссылки на применение метода Кэйса в теории переноса нейтронов, но упомянем не сколько работ в области переноса излучения. [c.378]

Коэффициенты разложения произвольной функции по собственным функциям могут быть определены с помощью свойства ортогональности собственных функций и различных интегралов нормировки. В данном разделе рассмотрены интегралы нормировки для д 1скретных и непрерывных собственных функций и изотропного рассеяния. Отдельно будут рассмотрены случаи изменения (А в полном диапазоне (—1 л 1) ив половинном диапазоне (О < < 1). [c.392]

Это решение удовлетворяет граничному условию (13.1556), так как в решение однородного уравнения не вошел член, который расходится на бесконечности. Здесь 9(vo, — дискретная собственная функция и ф(у, х)— непрерывная собственная функция, определенные в гл. 10 [см. РО.8) и (10.16)], а два дискретных собственных значения vo являются корнями дисперсионного соотношения (10.9). Два коэффициента разложения (vo, 5 ) и /4(v, ) находятся из условия, чтобы решение (13.157) удовлетворяло граничному условию (13.155а), с последующим использованием свойства ортогональности собственных функций и различных интегралов нормировки, как было описано в гл. 10 и И или в работе [43]. [c.569]

Правая часть этого равенства есть нуль, что нетрудно увидеть, если заменить переменные интегрирования во втором члене подынтегрального выражения и учесть, что К х, у)=К у, х). Так как ушФУп, то ортогональность собственных функций доказана. [c.194]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...