Собственная форма

Функция ф (j ), устанавливающая закон распределения максимальных амплитудных отклонений точек оси стержня, называется формой главного колебания или собственной формой. Собственных форм колебаний прямого стержня, как известно, бесконечное множество, и каждой из них соответствует определенное значение частоты (И, которая называется собственной частотой. Эти частоты и соответствующие им собственные формы определяют с помощью уравнения собственных форм и краевых условий задачи. [c.573]

Для собственных форм колебаний балки, согласно формуле (20.130), получим уравнение [c.575]

Первые три собственные формы графически представлены на рис. 548, б. [c.575]

Построение собственных форм колебаний определяет доминирующий элемент конструкции. Благодаря графическому построению форм колебаний удается выявить наиболее слабые элементы и разработать рекомендации по улучшению конструкции. [c.17]

В действительности в (2.401) содержатся две связанные друг с другом задачи. Первая задача состоит в отыскании тех значений параметра со, для которых существуют нетривиальные решения задачи (2.401) в случае, когда р/ =0, g = 0, Р = 0. Эти значения параметра со называются собственными частотами колебаний тела Q соответствующие собственным частотам решения, определяемые с точностью до числового множителя, называются собственными формами колебаний. [c.108]

Свободное беспорядочное движение молекул газа обусловливает его расширение во все стороны, благодаря чему газ не имеет определенного объема и собственной формы, а занимает объем и принимает форму сосуда, в который газ заключен. [c.8]

Жидкостью называют физические тела, обладающие двумя свойствами 1) текучестью, благодаря чему она не имеет собственной формы и принимает форму сосуда, в который налита [c.260]

Минимум этого выражения при дополнительном условии ортогональности (8.2.15) достигается, когда Хр = С К , т. е. когда начальное распределение колебаний совпадает со второй собственной формой. Аналогичным образом можно найти все собственные частоты колебаний (о, и собственные формы К . [c.288]

Тот факт, что величины квадратов собственных частот являются экстремумами определенных выражений, позволяет приближенно находить собственные частоты, не зная точно собственных форм колебаний. Если в правую часть (8.2.14) в качестве Хр подставить распределение амплитуд, близкое к К,С,, то ошибка в определении (0J будет очень мала, так как функция вблизи минимума [c.288]

В простейшем случае однородной струны с закрепленными концами собственные формы колебаний системы имеют вид (х) = [c.329]

Для его графического решения построим кривые f=tg(/ //2) и / = (р//А1) (2/к /) (гипербола) (рис. 10.8). По мере увеличения М гипербола идет круче и собственные частоты понижаются тем сильнее, чем выше номер обертона. При М причем основной тон можно сделать сколь угодно низким. На рис. 10.9 изображены три первые собственные формы колебаний для струны, нагруженной массой М Пунктиром показан основной тон эквивалентной струны, имеющей ту же частоту колебаний, что и рассматриваемая струна, нагруженная массой М. [c.333]

Для получения уравнения собственных форм подставим выражение (21.127) в уравнение (21.124). После сокращения на sin [c.637]

Для собственных форм колебаний балки, согласно формуле [c.638]

СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ JJQ [c.179]

Собственные формы колебаний [c.179]

Совокупность амплитуд, соответствуюш их определенной собственной частоте, называется собственной формой колебаний. Очевидно, что собственная форма определяется с точностью до постоянного множителя. [c.179]

Собственные формы колебаний обладают свойством ортогональности выбирая соответствующим образом числовой множитель, их можно сделать ортонормированными, так что [c.179]

Применим теорему Бетти (см. 5.3), принимая за первое состояние системы собственную форму с номером к, за второе состояние форму с номером I. Получим по формуле (5.3.4) [c.179]

СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ КОЛЕБАНИИ [c.181]

Уравнения для амплитуд собственных форм колебаний будут такие аг (9 — z) + aj-ll + аз-7 = О, в1-11 + (16 — z) + аз-11 = О, aj-7 + a2-il +аз (9 — z) = 0. [c.181]

Выполнение условий ортогональности легко проверяется. Амплитуды каждой из собственных форм можно умножить на [c.181]

На рис. 6.2.2 изображены найденные собственные формы колебаний. [c.182]

Рассмотрим произвольную конфигурацию упругой системы с сосредоточенными грузами, имеющей п степеней свободы. Эта конфигурация может соответствовать деформированному состоянию от действия произвольной системы внешних сил, может быть некоторой мгновенной конфигурацией, принимаемой системой в процессе движения, вызванного любыми силами при произвольных начальных условиях. Задать такую конфигурацию — это значит задать п перемещений Дц Яг,. .., Яп- Эти величины мы будем называть координатами системы. По определению п координат системы произвольны и независимы между собой. Но для того чтобы задать положение системы, существуют и другие возможности, любые п чисел, однозначно определяющих конфигурацию, могут быть приняты за координаты. В частности, за координаты можно принять произвольные линейные комбинации из величин а , лишь бы они были независимы. Предположим, что собственные формы колебаний системы известны. Введем координаты U , соответствующие данной конфигурации, следующим образом [c.182]

Рассмотрим простой пример, в котором свойство ортогональности собственных форм принимает наглядный смысл и введение главных координат становится естественным. Изображенная на рис. 6.3.1 рама несет груз на конце. Матрица коэффициентов влияния в этом случае будет такой [c.183]

Ортогональность собственных форм колебаний нужно понимать в этом случае буквально как ортогональность соответствующих векторов. [c.183]

Направим оси координат u и ыа по векторам, соответствующим собственным формам колебаний. Для рассмотрения динамики системы оси координат U и U2 более естественны, чем случайно выбранные оси координат [c.183]

Представим теперь произвольную конфигурацию системы разложением ее по собственным формам = aiU . Внесем это выражение в числитель формулы (6.4.1). Получим [c.184]

Задаваясь совокупностью амплитуд которая, на наш взгляд, близка к первой собственной форме колебаний, мы находим по формуле (6.4.2) приближенное значение квадрата первой собственной частоты, представляющее собою верхнюю оценку. Заметим, что числитель в формуле (6.4.2) представляет собою удвоенную потенциальную энергию системы при перемещениях at, знаменатель же представляет удвоенную кинетическую энергию, вычисленную в предположении, что скорости равны перемещениям. Особенно простым становится применение этой формулы тогда, когда совокупность величин а,- представлена как совокупность перемещений от действующих на систему сил Q,. Тогда потенциальную энергию можно вычислить по теореме Клапейрона. Обозначая перемещение от сил Q, через Vs, перепишем формулу Рэлея следующим образом [c.185]

Первое уравнение показывает, что са есть частота свободных колебаний балки. Интегрируя второе уравнение и составляя граничные условия для определения констант, мы убеждаемся, что эти константы не все равны нулю тогда, когда со принимает определенные значения, являющиеся собственными частотами балки. Условимся нумеровать собственные частоты в порядке возрастания, так что (Oi < 0)2 < соз <. . Каждому значению собственной частоты (0)1 соответствует собственная форма колебаний 2 (z), удовлетворяющая уравнению (6.8.3) при О) = со , а именно [c.197]

Конечно, собственная форма определена с точностью до постоянного множителя. [c.197]

Собственные формы колебаний обладают свойством ортогональности, которое совершенно аналогично свойству, доказанному в 6.2 для системы с конечным числом степеней свободы. Если Zf и Z, — две собственные формы колебаний, соответствующие разным собственным частотам сол и ю,, то [c.197]

Для определенности будем нормировать собственные формы колебаний, выбирая постоянный множитель таким образом, чтобы было [c.198]

Аналогично тому как произвольная конфигурация системы с конечным числом степеней свободы представляется через собственные формы ( 6.2), упругая линия балки всегда может быть представлена в виде ряда по собственным формам ее колебаний. [c.198]

Из этого равенства следует, что формула (6.10.1) определяет частоту свободных колебаний балки Ил тогда, когда функция v z) совпадает с соответствующей собственной формой колебаний. [c.201]

При использовании формулы (6.10.3) для приближенного определения частоты основного тона мы должны постараться угадать первую собственную форму колебаний. В качестве таковой для балки на двух опорах, например, можно взять кривую прогиба от собственного веса. [c.202]

Равенство (13.2.4) выражает свойство ортогональности собственных форм колебаний, установленных для элементарной теории стержневых систем в 6.2. Из условия ортогональности следует, в частности, что частоты Шл всегда действительны. Чтобы доказать это, предположим противное, а именно, допустим, что toi = = а + г . Уравнение для нахождения собственных частот будет обязательно иметь еще один комплексно сопряженный корень (02 = а — ф. Соответствующие собственные формы будут также комплексно сопряженными [c.434]

Для решения системы (5.199) применим метод копечных элементов в обычной форме, описанной в главах 3 — 4 более эффективным оказывается метод конечных элементов, когда решение задачи разбивается на два этапа на первом строятся собственные формы колебаний соответствующего упругого тела, на втором построенные собственные формы применяются в качестве базисных функций метода Бубнова —Галеркина. [c.261]

Этот минимум достигается в том случае, когда все С , за исключением С , равны нулю. Тогда аГ(, = С1К1, т. е. распределение амплитуд по координатам совпадает с первой собственной формой колебания. Для нахождения второй собственной частоты щ следует выбрать начальное отклонение лгр ортогональным первой собственной форме колебания, т. е. [c.288]

До сих пор мы молчаливо предполагали, что все корни уравнения частот — действительные и положительные числа. Сейчас мы можем это доказать. Действительно, предположим, что — комплексное число. Тогда обязательно найдется второй корень со , являюн ийся комплексным сопряженным числом. Амплитуды собственной формы с номером к будут также комплексными числами вида а = aj + iPj, амплитуды собственной формы с номером I будут комплексными сопряженными числами а = oti — iPj, Подставляя ai и в условие (6.2.1), мы получим [c.180]

В случае балки, лежащей на двух опорах, использование общего интеграла уравнения колебалий в форме (6.9.3) не очень оправдано если обратиться к формуле (6.9.2), то видно, что граничным условиям задачи удовлетворяет последний член решения, если принять а — nnjl. Соответствующая собственная форма [c.200]

Соответствующие значения параметра называются собственными частотами упругого тела, а функции определяют собственные формы колебаний. Заметим, что в (13.2.1) войдут квадраты собственных частот, которые сохранятся при всех дальнейших выкладках, поэтому корню (о будет всегда соответствовать второй, равный по величине и противоположный по знаку корень — (Ofe. Мы не будем вводить для этих отрицательных корней специальную нумерацию, но следует помнить, что кроме решения Ui ехр iat всегда присутствует и второе решение И ехр(—ioji). Это замечание позволяет образовывать из них действительные комбинации, которые одни только имеют механический смысл. [c.433]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...