Интегральное уравнение для собственных функций

Заметим, наконец, что для задач дифракции на телах с незамкнутыми границами остаются справедливыми все полученные в этом параграфе результаты и формулы, кроме интегральных уравнений для собственных функций (12.32), (12.33), которые оказываются в этом случае сложнее. Кроме того, при постановке задачи дифракции для таких поверхностей надо еще вводить условие конечности энергии вблизи острых кромок. [c.125]

Интегральное уравнение для собственных функций 327 [c.327]

Для задач, сводящихся к интегральным уравнениям, существует какой-либо вариант обобщенного метода, при котором ядро имеет особенно простой вид и собственное значение входит множителем в ядро (а не в аргументы специальных функций, как собственная частота). Если задача дифракции сводится к неоднородному интегральному уравнению, то соответствующее однородное интегральное уравнение второго рода обычно может трактоваться как уравнение для собственных функций одного из обобщенных методов. Основной результат теории в этой ситуации состоит в том, что собственные значения этих уравнений имеют простой физический смысл зная их, можно полностью исследовать окрестность резонансной частоты. [c.9]

Это условие совпадает с ранее установленным условием разрешимости самой краевой задачи Неймана N (7.3) и, естественно, должно автоматически выполняться по постановке задачи. Решение же интегрального уравнения включает частное решение неоднородного уравнения и собственную функцию, определение которой не представляет особого интереса при решении краевых задач, поскольку наличие ее в выражении для потенциала сводится к появлению лишь аддитивной постоянной, присутствующей в решении по постановке задачи. [c.101]

Сравнение исходного интегрального уравнения для эффективного излучения (17-94") с его решениями в формах (17-113) и (17-118) показывает, что в последнее под знак интеграла вошла функция jv, характеризующая собственное излучение, вместо неизвестной функции эфя, выражающей эффективное излучение. Учет многократных отражений с этой функции переносится на разрешающий угловой коэффициент и резольвенту излучения. Следовательно, вся сложность задачи и ее решения сосредоточивается на определении резольвенты излучения. [c.408]

Применение метода нормальных и краевых интегральных уравнений для практического расчета собственного значения и собственной функции покажем на примере станка АТ2-120-ШЛ5, на котором опоры являются сравнительно жесткими. Допустим, что i = оо и = оо. Отметим, на брусе батана ряд сечений, охватывающих характерные переходы в изменении плотности т х) и жесткости EI (х). [c.198]

Отметим, что уравнение для собственных частот кп в методе собственных частот получается такое же, но в нем следовало бы заменить частоту к на собственную частоту кп, а е на е. Уравнение для кп сложнее, чем уравнение (9.16) для 8 , в котором правая часть есть заданное число. Это усложнение уравнения для кп по сравнению с уравнением для е связано с тем, что в волновое уравнение для вне тела собственное значение метода собственных колебаний кп входит (8.26), а собственное значение метода этого параграфа е не входит (9.16). Однако главное достоинство не в простоте уравнения, а в том, что все собственные функции удовлетворяют условию излучения и, в связи с этим, в том, что их система достаточна, чтобы представить дифрагированное поле без интегрального слагаемого. [c.97]

В качестве алгоритма для нахождения собственных элементов вспомогательных однородных задач хш-метода могут быть использованы интегральные уравнения (с простыми ядрами) для собственных функций. Они оказываются распространенными по поверхности 5,т.е. по области, где устанавливается вспомогательное граничное условие, и тем самым имеют размерность на единицу меньше размерности соответствующей однородной задачи. Для тел с замкнутыми границами эти уравнения получаются особенно просто. Выведем их, например, для внешней задачи (9.5), (9.6). Для этого применим вторую теорему Грина к области V, записанную для собственной функции ы и для функции Грина О точечного источника в пустоте (5.23). Так как и ы и О удовлетворяют условиям излучения, то возникающий [c.93]

В случае незамкнутых экранов 5 для собственных функций также можно получить интегральные уравнения второго рода по 5. Однако мы не будем здесь их приводить, так как они имеют сложные ядра и применение их для отыскания собственных элементов затруднительно. [c.94]

Интегральное уравнение (10.18) для собственных функций I варианта, разумеется, может быть получено и непосредственно из дифференциальной постановки однородной задачи. Для этого достаточно записать известное выражение для решения волнового уравнения через разрывы функции и ее нормальной производной на контуре 5 и воспользоваться граничными условиями (10.4а). [c.105]

Для собственных функций II варианта, используя указанный способ, также можно получить интегральное уравнение второго рода по поверхности 5, однако оно имеет более сложный вид. [c.105]

Подставляя выражение для й+ - -й из (10.27) в (10.26) и меняя в первом слагаемом справа порядок интегрирования, получаем упомянутое интегральное уравнение для нормальной производной собственной функции ы [c.106]

Запишем, наконец, интегральные уравнения для введенных в этом параграфе собственных функций. Это легко сделать, воспользовавшись соотношениями (10.24), [c.124]

Подставляя это в (13.7), получаем выражение для собственной функции Un всюду через ее значение на контуре. Опустив Очку наблюдения на S, находим искомое однородное интегральное уравнение второго рода [c.128]

В 24 и 25 рассматриваются двумерные задачи о металлических резонаторах произвольной формы с малым отверстием и задачи о фазовых скоростях вытекающих волн волноводов с продольными щелями для Е- н для Я-волн. Эти задачи потребовали некоторой модификации р-метода — в однородное интегральное уравнение для поля собственных колебаний на щели вводится весовая функция, описывающая электростатическую особенность поля на краях щели. [c.201]

Итак, решением интегрального уравнения для экспоненциально-косинусной корреляционной функции являются собственные функции фк х) вида [c.679]

Мы сможем считать еще одним подтверждением нащих собственных общих интегральных уравнений доказательство того, что они заключают в себе не только известный закон живой силы, но также шесть других известных интегралов первого порядка закон движения центра тяжести и закон площадей. Для этой цели необходимо только отметить, что из концепции нашей характеристической функции V с очевидностью следует, что эта функция зависит от начальных и конечных положений притягивающихся или отталкивающихся точек системы, не как отнесенных к какому-либо внешнему стандарту, а только как сравниваемых друг с другом следовательно, эта функция не будет меняться, если мы, не делая никаких реальных изменений ни в начальной, ни в конечной конфигурации, ни в их отношении друг к другу, сразу изменим все начальные и все конечные положения точек системы при помощи какого-нибудь общего движения, будь то перенос или вращение р]. Теперь, рассматривая три координатных переноса, мы получим три следующих уравнения в частных производных первого порядка, которым должна удовлетворять функция V [c.184]

Как и для нестационарной задачи, предположим, что нам известен полный спектр (Л , —у со) точных значений v и полная система истинных собственных функций Тогда к уравнению (4.3.42) можно применить интегральное преобразование [c.206]

В качестве (М) удобно выбрать собственные функции соответствующей однородной задачи, если они известны или их нетрудно найти. Коэффициенты В, (s) после подстановки (4.46) в (4.45) находим из условий dJ [Т (М, s)]/dBn (s) = О стационарности функционала (4.45), что приводит к системе алгебраических уравнений, содержащих параметр s интегрального преобразования. По найденным Вп (s) определяем оригиналы В t), а по функции Т° (М, s) — оригинал Т° (М, t). Для перехода к оригиналам используем формулу обращения или таблицы изображений. Возможно также численное обращение изображений [4]. В итоге вместо (4.46) получим приближенное решение [c.165]

Произвести расчет такого резонатора — это определить собственные функции Um Un и собственные значения Ут, Уп интегральных уравнений (2.57) и (2.58). Расчет Un и ут, Тп описание программы реализации на ЭВМ для этой и других задач пассивных резонаторов, рассмотренных ниже, приведены в п. 2.5. [c.87]

Результаты разд. 11 показывают, что решение граничной задачи для линеаризованного уравнения Больцмана можно свести к решению интегрального уравнения (11.20) для функции распределения молекул, падающих на границу. Даже для простейших граничных условий А = 0) это уравнение решить нелегко, так как ядро оператора В - выражается через функцию Грина, в свою очередь выражающуюся через собственные решения уравнения (7.3), которые, вообще говоря, неизвестны в явном виде. Однако для некоторых задач и при изучении вопросов существования и единственности решений полезно свести граничную задачу к решению интегрального уравнения. В частности, это наиболее целесообразно, как мы увидим ниже, для модельных уравнений, описанных в разд. 9. [c.250]

Для определения частных решений qjr) получаем к интегральных уравнений с полиномами Qj. r) в правой части. При решении интегральных уравнений используется метод сведения каждого из них к бесконечной алгебраической системе на основе разложения функций, входящих в уравнение, в ряды по собственным функциям главной части интегрального оператора [15 . [c.258]

Применение специальных методов решения задачи при заданных силе или моменте вызвано следуюпщми обстоятельствами. Традиционные разложения в ряды по собственным функциям операторов AJ, AJ или по тем же полиномам Лежандра приводят к необходимости исследования бесконечных систем интегральных уравнений Вольтерра, что вносит теоретические трудности и существенные вычислительные проблемы при решении конкретных задач. Методы, основанные на использовании неклассических спектральных соотношения для операторов BI и BJ, приводят лишь к решению последовательности независимых уравнений Вольтерра и позволяют дать строгое их обоснование. [c.67]

Как и следовало ожидать, аппарат интегральных уравнений приводит к тем же вспо.могательным задачам, в которых диэлектрическая проницаемость определяется формулой (5.13), и к тем же формулам для коэффициентов разложения, что и аппарат дифференциальных уравнений. Мы привели здесь способ, основанный на (5.24), для того, чтобы проиллюстрировать один из основных приемов, используемых в обобщенном методе собственных колебаний для построения системы собственных функций. Прием этот состоит в том, чтобы свести рещение задачи дифракции к интегральному уравнению (например, типа (5.24)), а затем ввести собственные функции соответствующего интегрального оператора (тина (5.25)). Этот способ будет использован и во второй главе. [c.50]

Непосредственное решение уравнения (3) представляет значительные трудности. Явный вид этого решения полечен с помощью собственных функций Сейэа только для бесконечном и полубзсконечной среды с изотропным или линейно анизотропным рассеянием [llj, причем решение настолько громоздко, что использовать его для отыскания температурного поля, когда решение.(3) необход/Шо получать многократно для различных участков спектра, оказывается нецелесообразным. Для слоя конечной толщины аналитические решения (3) вообще не известны, и свести систему (1)-(3) к решению одного интегрального уравнения для температуры, как это имеет место в нерассеивающих веществах 12,13], ив удается. [c.13]

Условие ортогональности правой части интегрального уравнения для ф( собственным функциям уравнения (сумматорным инвариантам) имеет вид [c.135]

Излагаемый в этом параграфе вариант метода применйм при решении задач дифракции в открытых системах. В нем вспомогательная однородная задача оказывается вещественной и может быть сведена к вещественному интегральному уравнению, если в задаче дифракции присутствуют только потери на излучение. Это связано со следующей закономерностью, уже обсуждавшейся для закрытых задач. А именно, при наличии потерь только одного типа соответствующую вспомогательную задачу всегда можно сделать вещественной, если вводить собственное значение именно в той области, где эти потери присутствуют, точнее, если вводить собственное значение через параметр задачи дифракции, ответственный за эти потери. В рассматриваемом варианте собственное значение однородной задачи (которая соответствует задаче дифракции с потерями только на излучение) мы введем через условия для собственной функции на бесконечности. Физический смысл этих условий состоит в том, что существует как сходящаяся из бесконечности собственная волна, так и рассеянная телом собственная волна. Угловые зависимости сходящейся и расходящейся волн, определяемые формой и свойствами облучаемого тела, должны совпадать (с точностью до комплексного сопряжения). В качестве собственных значений принимаются отношения амплитуд рассеянных и приходящих [c.125]

В самом общем случае уравнения с постоянными коэффициентами для двух независимых переменных и связанные с ними граничные задачи исследовал методами теории потенциалов и интегральных уравнений Т. В. Бурчуладзе [2а, б, в, г]. В работах [2д, е] он получил также асимптотические оценки для собственных функций некоторых граничных задач. [c.280]

Это соотношение устанавливает тот факт, что оператор переноса односкоростного интегрального уравнения для полного потока должен быть самосопряженным. Причина этого состоит в том, что в одиоскоростной задаче ядро интегрального уравнения симметрично относительно переменных гиг. Существует развитая теория таких ядер, их собственных функций и собственных значений [2]. [c.205]

Большое число новых важных понятий и соображений было внесено в теорию рассяния в связи с исследованием дифференциальных операторов. В одномерном случае разложение по собственным функциям непрерывного спектра было построено еще в классической статье Г.Вейля [138]. Принципиально труднее многомерный случай. Здесь решающий прорыв произошел уже в пионерской работе А.Я.Повзнера [73. В ней установлено существование решений задачи рассеяния для уравнения Шредингера. Построение таких решений основывается в [73] на предварительном исследовании с помощью альтернативы Фредгольма интегрального уравнения для резольвенты оператора Шредингера. Это позволило отказаться от принятого в [97] условия малости возмущения. В [74 [c.401]

Интегральное уравнение (2.24) при Я=1 соответствует второй основной задаче для совокупности областейDI,. ..,От когда решение разыскивается в виде единого потенциала простого слоя, распределенного по всем поверхностям. Собственные функции союзного уравнения соответствуют решению первой основной задачи для области О. Используя обобщенную теорему Гаусса (1.19), не составляет труда показать, что смещение как жесткого целого каждой из поверхностей 5/ (/ = = 0) есть собственная функция. Поэтому в отличие от случая, когда область ограничена одной поверхностью, точка X = 1 является полюсом резольвенты. [c.567]

В табл. 2-13 приведены собственные функции 1 (Р , г), нормы N и характеристические уравнения для полого цилиндра. Если температура цилиндра зависит от двух координат Т(г, г) или Т (г, 6), то для таких двумерных задач формула преобразования содержит функции от двух. переменных (табл. 2-14). ехника решения-остается прежней. Однако если коэффициент теплообмена является функцией времени, то задача не может быть решена методом конечного интегрального преобразования, она решается с использованием метода тепловых потенциалов [Л.2-35]. [c.175]

Влияние излучения на теплообмен при ламинарной свободной конвекции на вертикальной пластине для поглощающей и излучающей жидкости в приближении оптически толстого слоя было и JJeдoвaнo в работе.[24] с помощью метода единичного возмущения. В [25] рассмотрена аналогичная задача для случаев как оптически тонкого, так и оптически толстого слоя. Для решения уравнения энергии использовался приближенный интегральный метод. Авторы работы [26] рассмотрели задачу сложного теплообмена для поглрщающей, излучающей и изотропно рассеивающей жидкости. Радиационная часть задачи решалась ими точно с помощью метода разложения по собственным функциям. В этом разделе будет дана формулировка задачи о свободной конвекции на вертикальной пластине при наличии излучения, описаны методы решения и обсуждены некоторые результаты. [c.563]

Для определения собственных функций Uk r) и характеристических значений Af однородного интегрального уравнения Фредгольма (7.47) с вещественным, симметричным и положительно определённым ядром (7.48) использовался метод Келлога (см. [103]). Последовательные приближения находились по формуле [c.380]

Если обратиться к классической теории потенциала, то сингулярные интегральные уравнения, полученные для решения как первой основной задачи, так и для второй, представляют собой интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Разница заключается в том, что для решения первой основной задачи исходят из представления в виде потенциала двойного слоя, а для решения второй основной задачи следует воспользоваться представлением смещений в виде обобщенного потенциала простого слоя. Разумеется, отличие также состоит в физическом смысле искомых функций и значениях правых частей. Для этих сингулярных уравнений индекс (разность между числом собственных функций исходного уравнения и союзного к нему) оказывается равным нулю [152]. Следовательно [153J, будет существовать оператор, который преобразует их в эквивалентные регулярные уравнения второго рода, и поэтому к исходным уравнениям применимы альтернативы Фредгольма. При этом поверхность тела может быть представлена набором кусочно-однородных поверхностей, подчиняющихся условиям Ляпунова, а плотность сингулярного интегрального уравнения должна удовлетворять условию Гельдера — Липшица вместе со своей производной [153] [c.55]

Далее рассматриваются работы, посвященные колебаниям прямоугольных двусвязных либо многосвязных пластинок. Внутренний контур таких пластинок имел форму прямоугольника или круга. Изложенные авторами исследования осуществлялись либо численными, либо аналитическими методами. В некоторых работах результаты, полученные различными методами, сопоставляются между собой. Одна из статей сборника, выполненная Линном и Кумбасаром, посвящена изучению собственных частот колебаний шарнирно опертых прямоугольных пластинок с узкими трещинами, параллельными внешнему контуру. Для осуществления исследования пластинка разбивалась на две части вдоль линии трещины. Используя в полученных пластинках для представления перемещений функции Грина и возвращаясь затем к исходной непрерывной пластинке, авторы показали, что уравнение собственных частот колебаний является задачей на собственные значения, описываемой интегральным уравнением Фредгольма первого рода. [c.5]

Свободным колебаниям шарнирно опертых прямоугольных пластинок с прямолинейным сквозным отверстием посвящены две публикации [46, 47]. Для пластинки, имеющей один вырез, моделирующий трещину и идущий параллельно одной из кромок, автор этих работ теоретически проанализировал свободные колебания и концентрации динамических напряже- ний у конца выреза. Пластинка при исследовании делилась по направлению выреза на две части, и в плоскости выреза, исключая сам вырез, выражались внутренние моменты и сдвигающая сил . Каждую часть пластинки можно было при дальнейшем ра9Смотрении считать прямоугольной шарнирно опертой по трем кромкам и загруженной по четвертой кромке на участках вне выреза неизвестными моментами и сдвигающей силой как линейной нагрузкой. После определения функции влияния для прогибов, удовлетворяющей граничным условиям, и интегрирования по участкам вне выреза произведения этой функции влияния и линейной нагрузки находились прогибы. Налагая некоторые условия при связывании для участков вне выреза на прогибы и углы прогибов соответствующих пластинок, автор получил интегральные уравнения Фредголь-ма первого рода относительно внутреннего момента и внутренней сдвигающей силы. Заменяя далее интегральные уравнения конечными суммами, он получил частотное уравнение. В качестве собственных векторов находились распределения внутреннего момента и внутренней сдирающей силы. Определение собственных значений проводилось путем решения трансцендентного уравнения итерационным методом. [c.295]

Дается обзор работ, посвященных развитию метода ортогональных функций (ортогональных многочленов) для решения интегральных и интегро-дифференци-альных уравнений смешанных задач. Эти исследования шли, в основном, по трем направлениям 1) получение новых спектральных соотношений для интегральных операторов, соответствующих главным частям интегральных уравнений рассматриваемых задач, с использованием в дальнейшем классической схемы алгоритма ортогональных функций 2) модификация проекционного метода Галеркипа, приближенное построение систем собственных функций и собственных чисел интегральных операторов смешанных задач 3) использование метода ортогональных функций для решения интегральных уравнений эволюционного типа, содержащих оператор Фредгольма по координатам и оператор Вольтерра по времени. [c.125]

Для решения уравнения (4.14) может быть использован весь арсенал методов, изложенных в 2, 3. Однако в отличие от интегрального уравнения (2.9) уравнение (4.14) при со>УЗ я/г может иметь счетное множество положительных характеристических чисел Сп, рсоторым отвечает система собственных функций ф (л ) . Эта система ортогональна и полна в пространстве квадратично суммируемых функций [Ц]. [c.360]

После этих обгцих предварительных замечаний о свойствах решений уравнения (2.55), перейдем к их более тгцательному анализу. Для этого построим некоторое дифференциальное уравнение, решениями которого являлись бы функции фр1. Легко показать, что собственные функции интегрального оператора Ьи, определяемого уравнением (2.55) Ьи фр1) = (Ур1фр1 будут являться собственными функциями [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...