Подгруппа трансляций

Подгруппа трансляций кристалла [c.26]

Согласно (6.33), пространственную группу можно разбить на смежные классы по инвариантной подгруппе трансляций 2 [c.156]

С помощью подгруппы трансляций можно образовать так называемую фактор-группу G/T пространственной группы G по подгруппе трансляций Т. Фактор-группа представляет группу, единичным элементом которой является сама подгруппа трансляций, а остальные элементы образуются из произведения подгруппы трансляций (со всеми ее элементами Т ) на вращательные элементы а / ,- пространственной группы. Таким образом, фактор-группа GIT образована из элементов [c.26]

Последнее связано с тем, что точечная группа кристаллического класса изоморфна фактор-группе подгруппы трансляций. По этому поводу более подробно см., например, [67, 68] и приложение II, где приведены основные определения. [c.203]

Каждая из функций является собственной функцией Т , т. е. под действием операторов Тт преобразуется в соответствии с соотношением (II. 4), куда никакие другие решения уравнения Шредингера не входят. Отсюда ясно, что каждая из этих функций преобразуется по одномерному представлению подгруппы трансляций. Кроме того, как это видно из (II. 4), волновые функции, отвечающие значению А = 0, под влиянием трансляций не изменяются. Это обстоятельство позволяет сделать вывод о том, что волновые функции, отвечающие А==0, осуществляют представление фактор-группы подгруппы трансляций. [c.364]

Поскольку понятие о фактор-группе используется в физике сравнительно редко, мы остановимся на этом вопросе несколько подробнее. Нашей главной целью является при этом доказательство утверждения о том, что фактор-группа подгруппы трансляции Т изоморфна группе кристаллического класса Р. [c.364]

Изоморфные группы имеют одни и те же неприводимые представления. Это весьма существенно, ибо означает, что для классификации состояний механических экситонов, соответствующих могут быть использованы неприводимые представления точечной группы кристаллического класса F, которая, как мы видели, изоморфна фактор-группе инвариантной подгруппы трансляций. Использование неприводимых представлений группы F, таким образом, возможно, несмотря на то, что F, вообще говоря, содержит элементы, не являющиеся элементами симметрии кристалла (последнее имеет место, как уже указывалось, при наличии существенных винтовых осей и плоскостей скольжения). [c.367]

Кроме подгруппы трансляций Т пространственная группа содержит также другие преобразования, вид которых обусловлен, во-первых, симметрией решетки Браве, во-вторых, симметрией компонентов кристалла, т. е. симметрией периодически повторяющейся совокупности частиц, образующей кристалл. Это второе обстоятельство часто приводит к тому, что не все преобразования из точечной группы К входят в группу симметрии кристалла. Не все преобразования, совмещающие узлы решетки, совмещают также компоненты кристалла. Поэтому возможно, что точечная группа кристалла будет только подгруппой точечной группы пустой решетки. [c.96]

Доказать, что подгруппа трансляций является нормальным делителем пространственной группы. [c.107]

Имеется 24 смежных класса, представители которых не связаны с нетривиальными трансляциями Та = О, а= 1,. . ., 24 и ха = х, а = 25,. .., 48, так что нетривиальная трансляция, входящая в остальные 24 смежных класса, одинакова для всех классов. Фактически имеется подгруппа группы , состоящая из [c.45]

Элемент е / 1(й) представляет собой чистую трансляцию векторный индекс к написан для того, чтобы отметить, что Яь к) удовлетворяет равенству (39.2). Набор всех элементов е / 1(й) очевидным образом составляет группу, являющуюся подгруппой группы . Эта подгруппа может оказаться тривиальной, состоящей только из элемента е 0 , однако часто это не так. Предположим, что эта подгруппа нетривиальна, и будем обозначать ее символом (й), где [c.100]

В разделе ША выписаны два уравнения стационарных движений, отвечающих соответственно трансляции и вращению — однопараметрическим подгруппам группы С. [c.245]

Первые четыре генератора в (2.29) Яоо. Pt-i, PiOt Рц определяют подгруппу трансляций и могут быть выбраны в виде [c.151]

Генераторы (2.30)-(2.34) образуют группу Лоренца, действующую на сечениях и = onst. В случае и=0 они в точности совпадают с (2.18)-(2.21). Если 4-параметрическая подгруппа трансляций (2.34) является инвариантной подгруппой группы БМС и выделяется из нее [c.151]

Часто оказывается полезным разложение пространственной группы на подгруппы, являющиеся в свою очередь пространственными группами. (Например, как было показано в 9, пространственная группа алмаза о, являющаяся типичной несимморфной пространственной группой, имеет как подгруппу с индексом 2 пространственную группу цинковой обманки Та-) Предположим, что пространственная группа имеет подгруппу а, также являющуюся пространственной группой. Группа может включать (или не включать) в себя в качестве подгруппы полную группу трансляций S для общности предположим, что она не включает Пусть Ха — нормальная подгруппа трансляций, входящая в а, и пусть элементы Ха равны [c.47]

Обратимся теперь к содержанию последующих глав 4 и 5. Каждая пространственная группа содержит нормальную подгруппу трансляций Поскольку группа X абелева (в действительности является прямым произведением трех циклических групп), ее неприводимые представления и неприводимые линейные векторные пространства одномерны. Неприводимые представления характеризуются волновым вектором к и бло-ховским вектором [21]. Набор допустимых значений к заполняет первую зону Бриллюэна кристалла и характеризует все неприводимые представления группы 3 . [c.49]

Вернемся теперь к рассмотрению пространственной группы кристалла. Как уже указывалось ранее, эта группа имеет инвариантную подгруппу — подгруппу трансляций Т (ее элементами являются все операции Тт)- В то же время каждый смежный класс по Т является совокупностью, состоящей из элементов вида ТтТаГ, где операция г Ф Е фиксирована, а Тт — все элементы подгруппы трансляций Т. Если г = Е, то соответствующий смежный класс совпадает с подгруппой трансляций. Ясно, что в рассматриваемом случае пространственной группы О число элементов фактор-группы равно [c.365]

Допустим, что нам известно некоторое неприводимое представление D пространственной гругшы G. По отношению к подгруппе трансляций Та оно является, вообще говоря, приводимым. Матрицы представления D, соответствующие трансляциям ta, коммутируют между собой поэтому оргы базиса представления всегда можно выбрать так, чтобы эти матрицы были диагональными. Эти орты будут ортами неприводимых представлений Fj, группы трансляций, поэтому их можно обозначить также через j,, где fe — вектор из приведенной зоны Бриллюэна. [c.100]

Предположим, что представление D пространственной группы разложено на неприводимые представления подгруппы трансляций, т. е. что матрицы представлений, соответствующие трансляциям, диаго-нальны. Выберем в пространстве <т представления D те орты, на которых реализуется одно и то же представление группы Т . Обозначим через линейное подпространство, образованное этими ортами. Если к любому вектору подпространства применить преобразование из группы Я, , то мы опять должны получшъ вектор, принадлежащий представления группы соответствующего вектора. Каждое из подпространств <Т]с, может быть получено из подпространства с помощью операций г. Ясно также, что в каждом из подпространств г, , реализуются эквивалентные представления изоморфных групп Я., . [c.102]

Подгруппа K z наз. и н в а р и а и т н о й подгруппой (или нормальным делителе м), если для любого g G имеет место gKg =K (т. е. gkg- - K, коль скоро к К). В случае инвариантной подгруппы правые смежные классы совпадают с левыми, Kg gK. В этом случае умножение на Г. естеств. образом определяет умножение смежных классов gK) g К)= l"g )K, так что фактор-пространство Gi К нревращается в Г. Эта Г. наз. ф а к т о р-г р у п п о й G по К. Напр., в группе Пуанкаре Р выделяют две подгруппы Г. трансляций Т и Лоренца группу L. Подгруппа Т инвариантна и Р. Фактор группа Р/Т изоморфна L (об изо.морфизме см. ниже). Примером инвариантной подгруппы является центр г р у п п ы G, т. е. множество элементов, каждый из к-рых коммутирует со всеми остальными элементами Г. [c.541]

Среди всех связных ГЛ, локально изоморфных данной Г. G, есть ровно одна односвязная Г. G, наз. универсальной накрывающей Г. G. Все прочие Г., локально изоморфные G, являются фактор-группами G по различным дискретным инвариантным подгруппам, принадлежащим центру Г. G. Напр., все коммутативные связные ГЛ размерности п локально изоморфны. Односвязной Г. среди них (универсальной накрывающей для всех них) является — евклидово -мерное пространство со сложением в качестве груиновой операции (или Г. трансляций этого пространства)- Произвольная Г. из этого класса имеет вид К /Г. где Г— нек-рая рещётка (дискретная подгруппа) в R". Если группа Г порождена к линейно независимыми векторами, то R /r изоморфна R" (2)T. [c.544]

Число p играет роль радиуса кривизны пространства де Ситтера, Пространство обладает группой движений, к-рая кроме сдвигов (трансляций) включает нсевдоорто-гональные преобразования они сами по себе образуют грунну 0(4, 1), причём преобразования из этой группы переводят псевдосферу S в себя и сохраняют метрику на ней, т. е, являются движениями пространства S. Группу 0(4,1) наз. Д- С, г. Иногда под Д. С. г. понимают подгруппу 50(4, 1), к-рая выделяется требованием, чтобы все входящие в неё линейные преобразования (матрицы) обладали единичным детерминантом. Пространство де Ситтера можно отождествить с фактор-пространством Д. С. г. по подгруппе Лоренца (см. Лоренца группа), S = SO A, )ISO (3,1), Иногда рассматривают пространство де Ситтера 2-го рода (или антидоситтеровское пространство). [c.583]

Трудности в определении интегральных характеристик островных систем связаны с тем, что группы асимптотических симметрий, возникающие в различных подходах, бесконечнопараметрические. Как правило, они содержат бесконечнопараметрическую подгруппу супер-трансляций, в которой имеется 4-параметрическая инвариантная подгруппа изоморфная группе трансляций. Группа Лоренца получается факторизацией группы асимптотических симметрий по подгруппе супертрансляций, и, как результат, возникает бесконечный набор групп Лоренца, что и приводит к трудностям в определении момента импульса. [c.137]

Все пространственные группы содержат группу трансляций X в качестве нормального делителя. Любая подгруппа группы будет одновременно и подгруппой группы . Пусть подгруппа 5 группы является нормальным делителем группы . Очевидно, она является и нормальным делителем группы так как X — абелева группа. Тогда одновременно с группой / (т. е. факторгруппой ф) можно определить факторгруппу / . Однако если [c.46]

Совокупность элементов симметрии кристалла, переводящих все его точки в им эквивалентные, образует пространственную группу кристалла. Группа трансляций является подгруппой пространственной группы. Для трехмерных кристаллов имеется 230 различных пространственных групп для двумерных—17 и для одномерных —две. Полная классификация всех пространственных групп была впервые дана Е. С. Федоровым (1895 г.) и несколько позже Шенфлисом. [c.25]

Множество всех зеркально-поворотных преобразований а пространственной группы также образует группу, точечную группу кристалла. Она не обязательно является подгруппой пространственной группы, так как в пространственной группе а могут проявляться только связанными с непримитивными трансляциями. Несмотря на это, точечная группа имеет решающее значение операции точечной группы сохраняют инвариантность точечной решетки (и, следовательно, вигнер-зейтцевской ячейки). Это значит, что, наряду с/ , и все а/ —тоже примитивные трансляции. Это сразу же вытекает из первой аксиомы, по которой произведение элементов группы также должно быть элементом группы, т. е. и [c.75]

Пространственная группа, которая в качестве подгруппы содержит всю точечную группу, называется симморфной. Она не содержит непримитивных трансляций. Каждый ее элемент а а = = [/ может быть разложен на зеркально-поворотное преобразование а 0 и примитивную трансляцию Решетки реальных кристаллов, базис которых не ограничивает симметрии ячейки Вигнера —Зейтца, называются решетками Браве. Очевидно, что они симморфны. Имеется 14 решеток Браве, которые идентичны с вышеупомянутыми точечными решетками. [c.76]

Перейдем в барицентрическую систему координат и сначала используем трехмерную коммутативную группу трансляций. С ее помощью размерность гамильтоновых уравнений движения понижается с 18 до 12. При этом приведенная система, как и исходная, будет обладать группой симметрий 0 = 80(3). Фиксируя значение кинетического момента, мы придем к уравнениям движения на девятимерном интегральном многообразии. Факторизуя его по стационарной подгруппе поворотов вокруг вектора постоянного момента, получаем искомую гамильтонову систему с восьмимерным фазовым пространством. Весь вопрос теперь заключается в том, как такое приведение осуществить в явном виде [c.113]

Смотреть страницы где упоминается термин Подгруппа трансляций : [c.512] [c.514] [c.148] [c.149] [c.157] [c.39] [c.60] [c.203] [c.303] [c.310] [c.365] [c.93] [c.148] [c.542] [c.503] [c.155] [c.148] [c.157] [c.81] [c.149] [c.265]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...