Собственные функции, 30, 31, 190 свойство ортогональности

Умножим обе части этого уравнения на собственные функции Vn (х) п = 1, 2,. ..) и проинтегрируем произведения от О до I. В силу свойства обобщенной ортогональности (см. приложение I) [c.131]

Свойство обобщенной ортогональности собственных функций состоит в том, что для любых двух собственных функций щ (дг) и у/, (х), соответствующих двум различным собственным значениям Pi и Р/,, выполняются условия 6 6 [c.301]

Для определения функций времени 5,- ( ) умножим обе части уравнения (IV. 117) на Х,(а ) и проинтегрируем результат по всей длине стержня. При интегрировании в правой части исчезнут все слагаемые, кроме -го (вследствие свойства ортогональности собственных функций), и для 5,- t) получится формула [c.266]

ВИДОВ краевых условий балочные функции представлены в табл. 4. Функции, соответствующие /г-ой собственной частоте, обозначают обычно через Л х). Балочные функции широко используют в качестве системы базисных функций для приближенного решения различных задач теории колебаний упругих распределенных систем. Это обусловлено тем, что будучи собственными формами колебаний, они обладают свойствами ортогональности и полноты, что вытекает из общей теории собственных колебаний распределенных систем (см. гл. IX). [c.197]

Ортогональность собственных функций лежит в основе способа определения неизвестных коэффициентов в разложении произвольных функций по собственным функциям. Эта методика аналогична использованию свойства ортогональности собственных функций в классическом методе разложения по ортогональным функциям. В данном разделе рассмотрена ортогональность собственных функций при разложениях в полном и половинном диапазонах. [c.387]

В данном разделе будет проиллюстрировано использование свойства ортогональности собственных функций и различных интегралов нормировки для определения коэффициентов разложения достаточно гладкой функции по собственным функциям. Отдельно будут рассмотрены случаи разложения в полном и в половинном диапазонах. [c.398]

Заметим, что правые части уравнений (11.92) и (11.93) представляют собой разложения в пределах половины интервала изменения ц,, аналогичные выражению (10.22а). Согласно теореме полноты для половинного интервала, сформулированной в гл. 10, эти разложения носят достаточно обш ий характер, чтобы с их помощью представить произвольную функцию (т. е. левые части этих уравнений), определенную в интервале хе(0, 1). Входящие в эти уравнения коэффициенты разложения можно выделить, используя свойство ортогональности собственных функций и описанные ниже различные интегралы нормировки. [c.457]

Зная частное решение фр(т, (г), можно найти коэффициенты разложения Л( т]о) и Л( т)) при условии, что решение (12.57) удовлетворяет граничным условиям (12.56), используя свойство ортогональности собственных функций, а также различные интегралы нормировки, рассмотренные в гл. 10 и 11. [c.507]

Решение в виде (12.74) содержит два неизвестных коэффициента разложения Л(т]о) и Л(т]). Предполагая, что частное решение 1 р(т, ц) уравнения переноса излучения известно, можно найти эти коэффициенты, как это описано в гл. 10 и 11, т. е. потребовать, чтобы решение (12.74) удовлетворяло граничному условию при т = О, и использовать свойство ортогональности собственных функций, а также различные интегралы нормировки. Однако частное решение не может быть найдено, пока неизвестна функция 0 (т), входящая в уравнение (12.72). Чтобы обойти эту трудность, предположим, что распределение температуры 0(т) известно в некотором приближении и что функция e (t) может быть представлена в виде ряда, содержащего конечное число членов м [c.515]

Согласно свойству ортогональности собственных функций, все входящие в левую часть уравнения (6.31) суммы по г и s равны нулю, кроме той, в которой индекс к совпадает с индексом п. Следовательно, [c.172]

Теорема II не менее (а может быть, и более) важна, поскольку она позволяет решать граничные задачи. Эта теорема показывает, что обобщенные собственные функции ортогональны на (О, к) с весом wZo(w)P(w). Такое свойство ортогональности является более стандартным, чем ортогональность на всем интервале, так как весовая функция положительна. Единственное, в чем теперь состоит трудность, заключается в сложном виде функции Р ш) однако следует заметить, что, хотя Р т) отнюдь не является элементарной функцией, она удовлетворяет двум важным тождествам, которые позволяют преобразовать интегралы, содержащие Р ш), гораздо легче, чем можно было бы ожидать. Эти тождества таковы (см. [4—6]) [c.327]

Собственные функции I варианта и нормальные производные собственных функций II варианта ортогональны при интегрировании по замкнутой поверхности 5. Эти свойства просто доказать, если применить вторую теорему Грина (2.8) для двух функций с разными номерами п и т к внутреннему (У+) и внешнему (У-) объемам, вычесть результаты и воспользоваться тем, что собственные функции удовлетворяют условиям излучения (при этом интеграл по бесконечно удаленной сфере выпадает). Тогда, согласно граничным условиям [c.100]

Рассмотрим свойство ортогональности собственных функций. Пусть и — две собственные функции вида (8.3.23), соответствующие собственным значениям и (х . Так как каждая из этих функций является решением уравнения (8.3.20), то ViV t) = [c.261]

Отсюда следует свойство ортогональности собственных функций [c.262]

Зная собственную функцию (8.3.23) и свойство ортогональности собственных функций (8.3.26), ищем решение уравнения (8.3.16) в виде ряда [c.262]

Ортогональность функций х> определяется свойством собственных функций задачи Штурма — Лиувилля (см. ниже). [c.108]

Умножив обе части равенства (2-4-71) на (х,) и используя свойство ортогональности собственных функций после интегрирования, получим 1 с [c.119]

Коэффициенты Л определяются на основании уравнения (6-13) с учетом свойства ортогональности собственных функций. Докажем это свойство. [c.81]

Коэффициенты могут быть вычислены по известному распределению 1 на входе на основании свойства ортогональности собственных функций 1 [c.150]

Докажем, что собственные функции, соответствующие двум различным видам колебаний, обладают свойством ортогональности, т. е. что сумма [c.262]

К. Подобная задача была поставлена в обстоятельной работе 51], посвященной анализу обусловленности матричных операторов. Известно, что основным аналитическим средством изучения свойств симметричных интегральных операторов и их обращения, является разложение искомых функций в ряды по ортогональным системам собственных функций этих операторов. Основные теоремы и техника вычислений подробно изложены в монографиях [10, 50]. [c.46]

Ортогональность свойство — см. Собственные функции. [c.671]

Собственные функции, 30, 31, 190 свойство ортогональности--, 190, 241, [c.672]

Формы собственных колебаний обладают одним замечательным свойством они ортогональны. Это свойство позволяет, в частности, использовать формы свободных колебаний в качестве ядра интегрального преобразования для получения решения в форме ряда (интеграла) по собственным функциям системы. [c.141]

Подобный тип задач можно представить как задачи, в которых четвертая производная (в данном случае по х) функции X приравнивается самой функции, умноженной на собственное значение Я . Свойства ортогональности собственных функций исследуем путем рассмотрения i-й и /-й форм колебаний [c.374]

Отличительным свойством некоторых задач о со. ственных значениях является их самосопряженность [37], из которой непосредственно вытекает ортогональность собственных функций (основных форм колебаний). Еслн, согласно Л. Коллатцу, придать данному дифференциальному уравнению форму M[y]=XN y), где X является параметром, который при нулевых решениях урап-иения приобретает собственные з) ачения, то 7акого рода задачу называют самосопряженной. [c.83]

Ортогональность функций v определяется свойством собственных функций задзчи Штурма—Лиувилля (см. ниже). [c.102]

Для решения одномерной задачи переноса излучения может быть использован метод разложения по собственным функциям (нормальным модам), Предложенный Кейсом [1] в 1960 г. для строгого решения одномерного уравнения переноса нейтронов. В этом методе решение уравнения переноса излучения записывается в виде линейной суммы собственных функций для однородной части уравнения переноса излучения и частного решения неоднородного уравнения. Неизвестные коэффициенты разло жения, фигурирующие в решении однородного уравнения, опрег деляются таким образом, чтобы полное решение удовлетворяло граничным- условиям задачи при этом используются свойство ор.тогональности собственных функций и различные интегралы нормировки. Данный метод аналогичен классическому методу разложения по ортогональным функциям. [c.378]

В настоящей главе приведено упрощенное изложение метода Кейса применительно к решению одномерного уравнения переноса излучения в плоском слое серой изотропно рассеивающей среды. Приведены собственные функции однородного уравн ения, рассмотрены свойства ортогональности собственных функций и приведены различные интегралы нормировки описан способ представления произвольных функций через собственные функции. Подробное изложение теории метода и его приложений, а также обзор литературы даны в работе [2]. Более поздние работы, посвященные методу Кейса, рассмотрены в [3]. В работах [4, 5] этот метод был распространен на случай анизотропно рассеивающих сред. Несколько полезных соотношений ортогональности для собственных функций приведены в [6—8] Мы не собираемся приводить многочисленные ссылки на применение метода Кэйса в теории переноса нейтронов, но упомянем не сколько работ в области переноса излучения. [c.378]

Коэффициенты разложения произвольной функции по собственным функциям могут быть определены с помощью свойства ортогональности собственных функций и различных интегралов нормировки. В данном разделе рассмотрены интегралы нормировки для д 1скретных и непрерывных собственных функций и изотропного рассеяния. Отдельно будут рассмотрены случаи изменения (А в полном диапазоне (—1 л 1) ив половинном диапазоне (О < < 1). [c.392]

Это решение удовлетворяет граничному условию (13.1556), так как в решение однородного уравнения не вошел член, который расходится на бесконечности. Здесь 9(vo, — дискретная собственная функция и ф(у, х)— непрерывная собственная функция, определенные в гл. 10 [см. РО.8) и (10.16)], а два дискретных собственных значения vo являются корнями дисперсионного соотношения (10.9). Два коэффициента разложения (vo, 5 ) и /4(v, ) находятся из условия, чтобы решение (13.157) удовлетворяло граничному условию (13.155а), с последующим использованием свойства ортогональности собственных функций и различных интегралов нормировки, как было описано в гл. 10 и И или в работе [43]. [c.569]

Лауверьер подробно исследовал свойства собственных функций задачи, раскрыл их свойства ортогональности и использовал эти свойства для нахождения коэффициентов Ai, В общем он повторил частично результаты Л. С. Лейбенз она, решившего задачу полнее. [c.250]

Подставляя это выргижение в (9.4) и используя свойство ортогональности собственных форм, приходим к шести независимым уравнениям относительно собственных функций rnni (для [c.490]

Обобщенные собственные функции обладают многими свойствами ортогональности и полноты. Одни из свойств ортогональности во всем интервале —оо < < оо можно легко доказать обычными выкладками. Другие свойства ортогональности в частичных интервалах (особенно в интервале О < < оо) и свойства полноты доказать труднее, так как они требуют решения сингулярных интегральных уравнений. Тем не менее к таким задачам можно применить стандартные методы (Мусхелишвили [4]) и получить следующие результаты (Черчиньяни [7] и [10] гл. 6) [c.176]

Кроме того, система функций фр1 обладает свойством полноты в классе функций с интегрируемым квадратом модуля в интервале (0,1). Это означает, что всякая такая функция может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям уравнения (2.55). Заметим, что все сформулированные свойства справедливы и для функций Пр1, так как функции соз1(р и Б1п1(р ортогональны на интервале (О, 2тг) и образуют полную систему функций. [c.143]

Интересно рассмотреть также поперечные моды в качестве независимых носителей информационных каналов вместо используемых продольных мод (а может быть, и в дополнение к ним). Как было сказано выше, поперечные моды лазерного излучения представляют собой пучки света, распределение комплексной амплитуды в сечении которых описывается собственными функциями оператора распространения света в соответствующей среде. Фундаментальным свойством мод является сохранение структуры и взаимной ортогональности при распространении в среде. Именно это свойство поперечных мод является основой для построения систем связи с модовым уплотнением каналов. Интерес к поперечным модам как носителям независимых каналов передачи информации связан, во-первых, с постоянным повышением качества производимых многомодовых волокон [см., например, 68], во-вторых, с разработкой методов качественного синтеза дифракционных оптических элементов моданов [19, 27-30], способных эффективно формировать и селектировать поперечные моды лазерного излучения (см. также 6.2 данной книги). Общая теория построения телекоммуникационных систем с уплотнением каналов, основанном на использовании поперечных мод, детально изложена в [19]. Отметим, что селективное возбуждение поперечных мод оптоволокна позволит увеличить пропускную способность линии связи не только за счет параллельной передачи нескольких каналов по одному волокну, но и за счет решения проблемы уширения импульса, вызываемого наличием межмодовой дисперсии [18-20, 6.2.7]. Одна из предполагаемых инженерных реализаций волоконно-оптической связи с использованием селективного возбуждения поперечных мод [19] представлена на рис. 6.53. Пространственный фильтр МА является матрицей электрооптических модуляторов, освещаемых плоской волной когерентного света Рд (х). На матрицу электрооптических модуляторов непосредственно подается вектор промодулированных по времени сигналов 5Д. [c.456]

Правая часть уравнения (6-15) обращается в нуль при Я=0 и / = 1 [вследствие того, что г1)п(1) =г1)т(1) =0]. Так как епФвт, то отсюда получаем свойство ортогональности собственных функций [c.82]

Обобщение предыдущих результатов. Мы вывели свойства симметрии колебательных собственных функций из свойств симметрии нормальных координат. В действительности, свойства симметрии собственных функций имеют значительно более общий характер и не зависят от предположения о гармоничности колебаний. Потенциальная энергия, даже если она и не является простой квадратичной функцией от составляющих смещений, как в (2,25), должна быть инвариантна по отношению ко всем операциям симметрии, образующим точечную группу, к которой принадлежит молекула. Поэтому уравнение Шредингера (2,40) инвариантно по отношению к этим операциям симметрии и, следовательно, собственная функция относительно этих операций симметрии может либо быть только симметричной, либо антисимметричной, если состояние является невырожденным либо может преобразоваться также и в линейную комбинацию взаимно вырожденных собственных функций, если состояние вырожденно (см. Молекулярные спектры 1, гл. V, 1). Можно показать, что последнему случаю соответствует ортогональное преобразование, при двукратном вырождении имеющее вид (2,75) или (2,76). [c.118]

Формула (481) получена из (480) в результате почленного интегрирования с учетом свойства ортогональности, согласно-которому интеграл по А от произведения двух различных pмN равен нулю. Полнота означает, что любую функцию / у, г) в А можно представить в виде (480), где коэффициенты /дгдг определяются указанным способом. В частности, для собственных функций (478) прямоугольника имеем [c.505]

Мы можем функцию (р, представить в таком виде А аяр/- -В, sin Pi. t, после чего свойство ортогональности собственных функцйй [c.191]

Пош>зуясь свойством ортогональности собственных функций, можно также показать, что уравнение частот не может иметь мнимых корней. Допустим, что имеется кореньравный ав таком случае должен бьпъ корень равный а — if. Этим двум 0[ иям соответс > Л две системы собственных функций u ,v ,w и в,,, ц ,, которые также будут сопряженными комплексными величинами. Но равенство [c.191]

Если известна волновая функция, то коэффициенты o (i), входящие в ее разложение, jjerKo вычислить, привлекая свойства ортогональности собственных функций [c.73]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...