Свойства собственных частот и собственных функций

Свойства собственных частот и собственных функций. В этом пункте будет доказано несколько общих теорем, которые лежат в основе теории граничных задач колебания, как внутренних, так и внешних. [c.293]

Определив нормальные формы колебаний системы как дискретную бесконечную систему функций, которые удовлетворяют однородному уравнению движения, собственные значения — как систему дискретных значений частот, при которых эти движения могут существовать, следует обратить внимание на некоторые полезные свойства нормальных форм и собственных значений. Во-первых, вновь обращаясь к уравнению движения, видим, что [c.25]

Собственные частоты и формы являются функциями свойств конструкции и граничных условий. При изменении свойств конструкции изменяются собственные частоты, но собственные формы не обязательно меняются. [c.45]

Расчет собственных частот и форм колебаний. Собственные частоты колебаний определяют по значениям корней функции Д (а). При нахождении корней а используют следующие свойства этой функции- [c.25]

В дальнейшем совокупность значений реализующая минимум функции В, называется минимизирующей формой. Дж. Рэлей, таким образом, предложил способ построения минимизирующей формы для прямого решения задачи о нахождении минимального значения функции В. Вместе с теоремой о минимальных свойствах собственных частот, это предложение составляет содержание принципа Рэлея. Основанный на этом принципе способ приближенного определения основной частоты называется методом Рэлея. Точность получаемого по методу Рэлея значения первой частоты даже при весьма упрощенном выборе минимизирующей формы и возможность применения этого метода в графической форме сделали его одним из наиболее употребительных способов определения основной частоты в технических расчетах. Его недостатком является отсутствие каких-либо данных для суждения о допускаемой при пользовании той или иной формой статической деформации погрешности в определении основной частоты. Впрочем, когда имеется возможность построения некоторой закономерной последовательности форм, приближающихся к основной форме, вместе с тем может быть установлена и верхняя граница погрешности определения основной частоты по методу Рэлея . [c.189]

Эти свойства сохраняются и для передаточной функции статистически линеаризованной системы, с той лишь разницей, что значения собственных частот системы будут сдвинуты по оси ю вправо или влево на величину (т , а ) в зависимости от характера нелинейной системы. [c.169]

ВИДОВ краевых условий балочные функции представлены в табл. 4. Функции, соответствующие /г-ой собственной частоте, обозначают обычно через Л х). Балочные функции широко используют в качестве системы базисных функций для приближенного решения различных задач теории колебаний упругих распределенных систем. Это обусловлено тем, что будучи собственными формами колебаний, они обладают свойствами ортогональности и полноты, что вытекает из общей теории собственных колебаний распределенных систем (см. гл. IX). [c.197]

Функционал (17.5) обладает теми л е свойствами, что и аналогичные функционалы в предыдущих параграфах. Легко убедиться простой подстановкой, что в каждой своей стационарной точке, т. е. на каждой собственной функции, этот функционал обращается в нуль. Для построения функционала в виде отношения квадратичных функционалов (уже для конкретного параметра как собственного значения) нужно, как это мы делали ранее, приравнять Ь и) нулю, разрешить полученное равенство относительно интересующего нас параметра и считать это выражение функционалом. Такая процедура, как и прежде, оправдана, поскольку, применяя к полученному функционалу метод множителей Лагранжа, мы приходим опять к (17.5). Таким способом можно поступать с любым из входящих в задачу параметров, так как ни один из них не ограничивает класс допустимых функций. Исключение составляет лишь частота к во внешних задачах — она содержится в накладываемом на допустимые функции условии излучения, которое не является естественным. Как отмечено в п. 1, в этом случае однородная задача на собственные значения к не ставится. [c.181]

Собственные элементы этого уравнения, как функции частоты, характеризуют резонансные свойства двумерного резонатора и играют в задачах возбуждения роль, аналогичную собственным частотам и соответствующим им собственным колебаниям в закрытых си- [c.276]

Фильтрующие свойства единичного приемника. Из рассмотренного в данном разделе осредняющего действия приемника звукового давления, работающего в статистическом некогерентном поле при детерминированном или случайном неоднородном распределении чувствительности по его поверхности, следует, что основой этого эффекта является способность приемника осуществлять пространственную фильтрацию компонент различного масштаба. Поскольку временные частоты турбулентного поля и его пространственные масштабы связаны уравнениями движения, можно использовать избирательную реакцию приемника звукового давления для применения его в качестве фильтра пространственных частот. В этих целях нужно построить передаточную функцию приемника в термину пространственных частот, подобно тому, как это сделано для временных частот в форме уравнения (3.19). В данном случае задача в определенной мере упрощается, поскольку располагая передаточной функцией (3.19), можно получить искомую пространственную передаточную функцию путем Фурье-преобразования (3.19) по определенному пространственному параметру. В зависимости от выбора того или иного параметра разложения можно получить представление о способности приемника осуществлять фильтрацию воздействующего на его вход процесса по этому параметру. Удобно в качестве параметров разложения выбрать собственные функции приемника х(х , Хг ), где в предположении, что приемник имеет прямоугольную форму в плане, [c.98]

Матрица А этого уравнения обладает многими замечательными свойствами. Она является весьма разреженной матрицей общего вида, ее система фундаментальных ортонормированных функций обеспечивает хорошую устойчивость численного процесса решения краевой задачи, в определителе отсутствуют точки разрыва 2-го рода, формируется без привлечения матричных операций. Эти преимущества позволяют эффективно определять спектр собственных значений - корни уравнения (6.61). Точность спектра зависит, естественно, от точности исходной модели, где, напомним, используется только один член ряда (6.2). Уравнение (6.61) позволяет определять критические силы как статическим (при со = 0), так и динамическим методами. При определении собственных значений пластин нужно учитывать, что из уравнения (6.61) можно получить спектры частот и критических сил при фиксированном числе полуволн в направлении оси ох (например, для коэффициентов А, В, С таблицы 17 одна полуволна в направлении оси ох и множество полуволн в направлении оси оу). Вычисляя коэффициенты А, В, С при второй частоте колебаний балки, из уравнения (6.61) можно получить спектры пластины для двух полуволн в поперечном и множества полуволн в продольном направлениях и т.д. Точность решения задач устойчивости и динамики прямоугольных пластин по МГЭ определим из примеров. [c.220]

Распределения Больцмана и Максвелла—Больцмана широко используют для анализа стационарных случайных колебаний нелинейных систем. Условием применимости этих соотношений является широкополосный характер внешних случайных воздействий, позволяющий представлять их в виде дельта-коррелированных функций (белых шумов). Для практических расчетов можно использовать распределения (1.41), (1.42) и (1.46), если время корреляции внешних воздействий т значительно меньше характерного времени системы То = 2я/мо, где (Оц — частота собственных колебаний. Учитывая, что некоторые реальные системы обладают высокими фильтрующими свойствами, можно считать, что спектральная плотность широкополосного воздействия мало изменяется в интервале, который соответствует преобладающему частотному диапазону выходного процесса (рис. 1.11). При этом внешнее воздействие может быть аппроксимировано при помощи дельта-коррелированных случайных функций [24].. [c.20]

Существенной особенностью современных постановок задач оптимизации несущих конструкций типа оболочек является то, что функции, описывающие предельные состояния оболочки (нагрузка потери устойчивости, частоты собственных колебаний, нагрузки разрущения и т. п.), по способу их определения зависят не только от параметров проекта оболочки (структура, форма, геометрия), но и от волновых чисел 1х и 1у, определяющих форму выпучивания или колебаний оболочки. Критическая форма выпучивания (как и критическая форма колебания) конструкции определяется всей совокупностью ее геометрических и деформативных свойств и поэтому определяется одновременно с оптимумом модели оптимизации. Отсюда следует, что функции, описывающие упомянутые предельные состояния оболочки, должны задаваться не для фиксированных пар (1х,1у) и их наборов, а для некоторых двумерных [c.183]

Колебательная система (4.4) обладает некоторыми свойствами стандартной двухчастотной системы во-первых, она содержит две быстро меняющиеся переменные частоты, изменения которых имеют порядок единицы во-вторых, правые части уравнений являются 2тг-периодическими функциями быстрых фаз у и ip. Однако, в отличие от стандартной, в системе (4.4) явным образом в виде функции медленных переменных выражена только одна частота — частота о . Частота собственного вращения Ф p a(y),z) является 2тг-периодической функцией фазы у, поскольку а у) = а(у + 2тг) в силу замены (4.2). [c.111]

Распространение теорем о свойствах собственных функций и собственных частот для задач (III) и (IV) дается в работе Амашукели [3, 4]. [c.311]

Корпуса машин являются не только опорной конструкцией, но также и своеобразным вибропроводом и виброизолирующей системой. Их динамические свойства в зависимости от диапазона частот следует рассматривать как для систем с сосредоточенными, так и для систем с распределенными параметрами, а динамические податливости этих подсистем и соответствующие расчетные значения собственных частот — как случайные функции. Исследование динамической структуры корпусов позволяет, подбирая их свойства [101 рассогласовывать выходные параметры корпусов и входных фундаментных конструкций и тем самым обеспечить повышенную виб-роизоляцию. [c.5]

Сводка результатов. — Мы разбирали ряд деталей, изучая колебание струны может быть больше деталей, чем это казалось необходимым. Это было сделано потому, что струна является наиболее простым случаем системы с бесконечным числом собственных частот и легче изучать некоторые свойства, общие для нескольких систем на самой простой системе, чтобы математические выкладки не затемняли физического смысла. Действие трения, как на самую систему, так и через её опоры, и явление многократного резонанса также справедливы и для систем, более сложных, чем струна. Действие затухания, вызванного реакцией воздуха в системах более протяжённых, чем струна, имеет большее значение, но общий характер явлений будет такой же, как и в разобранном нами ьыше случае струны. Мы также разобрали ряд методов изучения проблемы колебаний, применяя их к задачам, в которых метод не слишком затемнён деталями. Эти методы будут очень полезны в дальнейшей работе. В частности, мы давали ряд примеров полезности изучения нормальных мод колебания системы. Раз вопрос о нормальных частотах и соответствующих фундаментальных функциях был разобран для системы с данным рядом граничных условий, мы можем определить движение системы для какого угодно ряда начальных условий и для любого вида действующей силы. Мы можем также обсуждать методом, подобным тому, который изложен в 12, влияние на форму колебаний небольших изменений параметров системы (например, некоторой неравномерности в распределении массы или натяжения). Выражая приложенную силу через фундаментальные функции, мы можем получить выражение для вынужденных колебаний. Мы можем показать, например, что когда частота силы, приводящей в движение систему, равна одной из допустимых частот, тогда система Принимает форму, определяемую соответствующей фундаментальной функцией, с амплитудой, равной бесконечности, если нет затухания вследствие трения (сравнить это с изложенным в последнем параграфе главы П). [c.169]

В первой главе рассматриваются общие закономерности колебания упруговязких систем. Выводятся условия, при которых решение может быть разложено в ряды по собственным функциям недемпфированной системы. С помощью методов возмущений анализируется влияние ошибок исходных параметров на точность вычисления собственных частот и векторов. Введение комплексных модулей упругости позволило использовать единую методологию при рассмотрении собственных и вынужденных колебаний, а также систем с сосредоточенными и распределенными параметрами. На конкретных примерах показывается, что эквивалентная масса, которую Е. Скучик полагал постоянной, оказывается зависящей от вида формы колебаний и для каждого из них сохраняет стабильные значения в широком диапазоне частот. Наиболее полными характеристиками виброизолирующих свойств механических структур являются комплексные переходные податливости. Рассмотрена эффективность виброизоляции конкретных конструкций. Приводится решение задачи о распространении продольных колебаний по стержню при наличии сухого трения и даются конкретные примеры приложения этой задачи. [c.5]

Частотные функции. При теоретических и экспери.ментальных исследованиях динамических свойств различных упругих систем,а также при анализе влияния на иих различных факторов, практически важна обозримость представления спектрой собственных частот, состоящих из дискретных мвожеств некоторых чисел, которые совокупно изменяются вместе с изменением тех или иных параметров исследуемых систем. [c.11]

Более точные исследования [23] показывают, что рассмотрение эквивалентного бруса вместо винтового стержня для продольных, крутильных и поперечных колебаний при целом числе полувитков дает погрешность порядка tg г з при определении собственных функций и порядка tg ijj при определении собственных частот для дробного числа полувитков погрешность частоты имеет порядок tgxjj. Вынужденные колебания под действием продольной или поперечной периодических сил, а также крутящего момента, взаимосвязаны и обнаруживают резонансные свойства в любом направлении, независимо от вида возмущения. При несовпадении направлений возмущения и движения порядок амплитуды колебаний равен tg г з. [c.58]

Эти свойства сохраняются и для передаточной функции ста= тистически линеаризованной системы с той лишь разницей, что значения собственных частот системы будут сдвт нуты по [c.150]

Книга содержит изложение нового метода решения широкого класса задач дифракции и рассеяния (акустика, электродинамика, уравнение Шредингера). Изложен формальный аппарат различных вариантов метода, основанного на разложении дифрагированного поля в ряд по собственным функциям однородных задач, в которых собственным значением выбирается не частота. Строгой математической трактовке этого подхода посвящено дополнение, где средствами функционального анализа исследованы свойства важнейших из рассмотренных в книге спектральных задач. Метод особенно эффективен для аналнза резонансных систем, в частности — открытых резонаторов и волноводов. Он позволяет представить решение в бесконечной области в виде ряда (спектр дискретен), частично суммировать нерезонансный фон, широко применять вариационный аппарат и т. д. Решен ряд новых задач. [c.2]

Подставив в (19.18) вместо и°, и их явные выражения (19.17), (19.15) и (19.16), мы получим то же решение (19.3) неоднородпоп задачи. Все резонансные свойства описываются в (19.18) коэффициентом прп (х), точнее, нулями функции Шь как функции к. Числитель w совпадает с левой частью уравнения (19.5), так что нули совпадают с собственными частотами кп — корнями этого уравнения. Но решать трансцендентное уравнение теперь не нужно для определения собственного значения достаточно лишь вычислить соответствующим образом пронормированную левую часть этого уравнения при заданном к. Более того, зная эго собственное значение, мы можем сразу же выписать решение задачи с любым импедансным условием прн х = Ь (вместо (19.2)). Для этого достаточно в (19.18) заменить на Ю1 — ш, где ш — истинное значение импеданса в граничном условии. [c.206]

В отличие от ш-метода в р-методе возможны случаи, когда одного знания р как функции k недостаточно для описания резонансных свойств системы. Резонанс наступает тогда, когда pi = оо. Знаменатель pi совпадает с левой частью уравнения (19.5), так что это имеет место лишь на собственных частотах kn если pi = оо, то это всегда резонанс. Кроме того, резонанс может иметь место и при pi = 0. Если pi = О вследствие равенства нулю только одного 113 сомножителей в чкслителе (19.21), то резонанса нет возникаю- [c.208]

Пош>зуясь свойством ортогональности собственных функций, можно также показать, что уравнение частот не может иметь мнимых корней. Допустим, что имеется кореньравный ав таком случае должен бьпъ корень равный а — if. Этим двум 0[ иям соответс > Л две системы собственных функций u ,v ,w и в,,, ц ,, которые также будут сопряженными комплексными величинами. Но равенство [c.191]

Если входящую в X частоту (й .=(о рассматривать как независимую переменную, то R будет функцией to. Как и в случае с двумя степенями свободы, собственные частоты ( >г характеризуются тем, что при них Rifa) принимает экстремальные значения. На этом свойстве основывается широко используемый метод Релея для на-хождения собственных частот. [c.277]

Из органической хим и известно, что некоторые соединения (например, бензол) ведут себя так, как будто они обладают двумя различными структурами (динамическая изометрия). Волновая механика объясняет это следук>щим образом если вещество может иметь две или несколько электронных конфигураций, то наименьшая энергия не соответствует какому-либо одному. состоянию, а является линейной комбинацией функций отдельных состояний. Это иногда выражается так молекула как бы вибрирует с большой частотой между отдельными состояниями, так что в среднем она находится в каком-то промежуточном состоянии. Однако при этом можно легко впасть в заблуждение, поэтому лучше рассматривать молекулу как находящуюся в новом состоянии, являющемся характеристикой процесса резонанса, который приводит к образованию нового вида молекулы со своей собственной формой электронного облака и со свойствами, отличны.ми от свойств структур, между которыми осуществляется резонанс. Резонансная связь интересна тем, что она предполагает в некоторых определенных соединениях возможность существования отдельных электронов, которые не связаны с индивидуальными связями, а принадлежат всей молекуле и перемещаются внутри нее. Эта подвиж ность представляет интерес в связи с тем, что, как будет показано на стр. 32, она теоретически соответствует связям в металлах вследствие наличия сил подобной же природы. [c.25]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...