Вырожденные собственные функции

Вырожденные собственные значения. Пусть одному и тому же собственному значению принадлежит не одна собственная функция, а несколько. В этом случае данное собственное значение называем вырожденным. Собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, вообще говоря, не ортогональны друг другу, но ортогональны другим собственным функциям, принадлежащим другим собственным значениям. Однако с помощью процесса ортогонализации (см. 21) собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, всегда можно подобрать так, чтобы они были ортогональны друг другу. [c.108]

При наличии вырождения собственные функции уравнения Шредингера не обязательно обладают определенной четностью. Однако всегда можно найти такие линейные комбинации собственных функций, которые будут обладать определенной четностью. [c.170]

Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, должны быть ортогональны друг другу. Выберем вырожденные собственные функции так, чтобы они были взаимно-ортогональны, и предположим, что все функции нормированы. В этих условиях можно образовать матрицу гамильтониана Н°, используя собственные функции F°, причем матричные элементы задаются выражением [c.89]

Вырожденные собственные функции 93, [c.600]

Задерживающий потенциал для крутильных колебаний, см. Потенциальный барьер Закон преобразования взаимно вырожденных собственных функций 118 [c.601]

Для представлений, построенных на базисе вырожденных собственных функций это означает, что уравнение [c.116]

Оно связано с вырожденной собственной функцией, определенной как предел ряда невырожденных функций, которые сами не являются собственными функциями в полном смысле. В этом случае, однако, пропадает возможность распространить контур интегрирования на рис. 1.13 на область непрерывного спектра. [c.35]

Если имеется несколько вырожденных собственных функций, то выберем сначала одно решение, используем его для построения действительной собственной функции Ф1, затем рассмотрим пространство вырожденных собственных функций, ортогональных к ф1, и повторим процедуру. Таким способом мы сможем получить совокупность действительных собственных функций для энергии Е. [c.367]

Z, то гамильтониан не изменится (V при таком преобразовании, очевидно, не изменяется). Следовательно, собственные функции, принадлежащие невырожденным собственным значениям, должны обладать определенной четностью, а из собственных функций, принадлежащих вырожденным собственным значениям, всегда можно составить такие комбинации, которые обладают определенной четностью. Напомним еще раз, что выражение волновая функция обладает определенной четностью означает, 410 если в волновой функции координаты. V, у, Z одновременно заменить на —X, —у, —Z. то арифметическое значение функции не изменится, а ее знак либо не изменится, либо изменится на обратный. В первом случае [c.176]

Излагается метод получения приближенных собственных значений не зависящего от времени оператора Гамильтона и соответствующих собственных функций в случае вырожденных собственных значений [c.238]

Ортогонализация собственных функций, принадлежащих вырожденному собственному значению. В случае вырожденных собственных значений поправка вычисляется к собственному значению, которому принадлежит не одна собственная функция, а несколько. Как известно, [c.238]

Если Еп — /-кратно вырожденное собственное значение гамильтониана молекулы с собственными функциями F i, F 2,. ... .., тогда действие операции симметрии R на одну из этих функций должно переводить ее в линейную комбинацию этих I функций. Это утверждение следует из того, что функция, которая получается в результате применения операции R к любой из этих функций, соответствует тому же собственному значению Еп [см. (5.19) и обсуждение, следующее за этим уравнением] наиболее общая преобразованная функция является линейной комбинацией исходных функций. [c.75]

И А — ортогональная матрица. Такое преобразование называется ортогональным преобразованием, и если Fn,- являются собственными функциями гамильтониана с собственным значением Еп, тогда Фпк должны быть также собственными функциями, соответствующими тому же собственному значению. Поэтому собственные функции для данного вырожденного уровня являются произвольными с точностью до ортогонального преобразования. Возникает вопрос какое представление группы симметрии гамильтониана порождается новыми функциями Ф Матрица, представляющая операцию R и порождаемая новыми функциями Фпк, удовлетворяет выражению [c.76]

Таким образом, матричное представление D, порождаемое функциями Ф , получено из представления D, порождаемого функциями преобразованием подобия (5.61) с матрицей Л поэтому эти представления эквивалентны. Это означает, что представление, порождаемое собственными функциями конкретного вырожденного энергетического уровня, является единственным (с точностью до преобразования подобия) и может быть однозначно приведено к его неприводимым компонентам. Поэтому энергетические уровни можно классифицировать по неприводимым представлениям группы симметрии, и эта важная характеристика используется для того, чтобы различать уровни энергии. [c.77]

Пусть дано s-кратно вырожденное состояние с энергией , симметрией Гл, с собственными функциями Ф ь Фп2, , Ф и г-кратно вырожденное состояние с энергией Ет, симметрией Гт и собственными функциями Фт, Фт2, Фтг- Требуется определить симметрию Г/пл набора функций li — Фп Фт/, где г = 1, 2,. .., S п / = 1, 2.....г. Число функций типа Ч // будет S X Матрицы и D " ) в представлениях Гл и Гт соответственно получаются из соотношений [c.81]

Рассмотрим две операции симметрии Pi и Рг и /-кратно вырожденный уровень энергии с собственными функциями Fnb 2, ) Можно записать (см. 1.18) [c.91]

Для молекулы с трижды вырожденными нормальными координатами собственные функции записываются в виде ,n(Q, а, Р), подобно предшествующим обозначениям ), где I и /г — квантовые числа колебательного углового момента, а а и р — колебательные угловые координаты. Полные колебательные волновые функции молекулы в приближении гармонического осциллятора записываются в виде произведения функций одно-, двух- [c.219]

Следует отметить, что при получении численных результатов по методу собственных функций осуществлялась проверка вырождения матрицы системы при подстановке собственных значений, правильности определения ранга системы, ортогональности форм собственных колебаний. На основе численного эксперимента проверена устойчивость вычислительного процесса и сходимость метода. Так как решения представляются в двойных тригонометрических рядах, то возникает необходимость их усечения. Анализ числовых результатов показал, что для практических расчетов достаточно удержания первых десяти членов по каждой координате. Это приводит к погрешности в пределах 3 %. [c.504]

Как показано выше, /i = О, /i = sin ( Пф). Поскольку оператор левой части вырожден, для существования решения необходима ортогональность правой части к собственной функции Ui. Эти условия используются для определения коэффициентов С,-. В силу присущей задаче симметрии относительно поворота и отражения коэффициенты С с нечетными индексами оказываются равными нулю. Уравнение для имеет вид [c.73]

Оператор в левой части (34) вырожденный, поскольку Ка 1 — спектральное значение. Чтобы решение (34) существовало, необходима ортогональность правой части (34) собственной функции сопряженного оператора. Нетрудно убедиться, что линейный оператор левой части (34) самосопряженный. Действительно, первые два члена (34) могут быть представлены в виде второй производной [c.180]

Следует отметить, что при Ке = О из (5) вытекает, что для каждого т спектр есть а — т, г + 1, т + 2,. .., причем а = т — однократно, а а = п + 2, т + 3,.... — трехкратно вырожденные собственные значения. В случае а = т + I, т > О решение двухкратно вырождено, хотя из (1.9) можно было сделать вывод, что вырождения нет. Дополнительное решение — это решение вида и Q = О (V (х)—полипом нулевой, а ТУ (ж)—первой степени), которое не было учтено при построении решений в виде полиномов и выводе (5). Легко видеть, что в случае а>0 других решений нет. При Ке > О вырождение снимается, причем некоторые собственные значения остаются действительными, а другие образуют комплексно-сопряженные пары. На рис. 117 представлены показатели степени для случая т = как функции числа Рейнольдса. Кривые 1 (а(Ке) = 2) и 2 есть действительные ветви, порожденные двукратным собственным значением а = 2 при Ке = 0. Кривая 3 представляет собой единственную действительную ветвь трехкратно вырожденного собственного значения а = 3 при Ке = О, две другие ветви которого образуют комплексно-сопряженную пару [c.311]

Общие свойства III. у. б е з времени. Волновая ф-ция должна удовлетворять нек-рым дополнит. условиям, имеющим ясный физ. смысл. Вместе со своей первой производной она должна быть однозначной, непрерывной и конечной во всем пространстве, если потенциальная энергия U (/ ) нигде не обращается в бесконечность (если же U (г) бесконечна в области, ограниченной нек-рой поверхностью, то на границе этой области я]) обращается в нуль, а производные от i ) испытывают, вообще говоря, разрыв). Поэтому III, у. без времени (3 ) является ур-нием на собственные значения. Отдельное его решение (г) наз. собственной функцией, соответствующей нек-рому собств. значению Л оператора II. Собств. значения — единственно возможные результаты точных измерений полной энергии частицы. Ш. у. без времени действительно. Его решения для систем, не находящихся в магнитном поле, всегда могут быть выбраны действительными как для вырожденных, так и для невырожденных значений энергии. [c.423]

Все это побудило нас с Аникичевым [27] использовать известный в операторном анализе простой и эффективный прием, позволяющий обойти трудности, связанные с наличием вырождения собственных функций резонаторов из бесконечных зеркал. Этот прием в обсуждаемой ситуации сводится к тому, что искомые моды возмущенного резонатора ищутся в виде суммы не бесконечного, а конечного числа р образующих комплекс с единой частотой исходных мод. В это число включаются моды, в наибольшей степени связанные между собой светорассеянием за счет возмущения (соответствующие матричные элементы оператора возмущения относительно велики, а разности собственных значений малы). В результате такого приближенного представления решений система (3.1) из бесконечной переходит в систему из р уравнений относительно р неизвестных коэффициентов йуп, малость каких-либо из которых уже не предполагается. Далее следует стандартная процедура требование существования ненулевых решений приводит к характеристическому уравнению, из которого находится р значений /3. Каждому из них соответствует свой набора , определяющий одну из собственных функций возмущенного резонатора в данном приближении. [c.150]

Обобщение предыдущих результатов. Мы вывели свойства симметрии колебательных собственных функций из свойств симметрии нормальных координат. В действительности, свойства симметрии собственных функций имеют значительно более общий характер и не зависят от предположения о гармоничности колебаний. Потенциальная энергия, даже если она и не является простой квадратичной функцией от составляющих смещений, как в (2,25), должна быть инвариантна по отношению ко всем операциям симметрии, образующим точечную группу, к которой принадлежит молекула. Поэтому уравнение Шредингера (2,40) инвариантно по отношению к этим операциям симметрии и, следовательно, собственная функция относительно этих операций симметрии может либо быть только симметричной, либо антисимметричной, если состояние является невырожденным либо может преобразоваться также и в линейную комбинацию взаимно вырожденных собственных функций, если состояние вырожденно (см. Молекулярные спектры 1, гл. V, 1). Можно показать, что последнему случаю соответствует ортогональное преобразование, при двукратном вырождении имеющее вид (2,75) или (2,76). [c.118]

Если одному и тому же определенному собственному значению соответствует более чем одна собственная функция, то о таких функциях говорят как о вырожденных. Собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, обязательно ортогональны, а любой набор вырожденных функций можно орто-гонализировать выбором подходящих линейных комбинаций. Собственные функции являются также норыированньши, так что, вообще говоря, мы имеем [c.70]

Состояние магнитного иона может быть найдено с помощью уравнения Шредпнгера Жф = 1>,где Ш—гамильтониан. Для свободного иона уровни могут быть вырождены если же ион находится в поле кристалла, то степень вырождения в общем случае уменьшается но-разному для различной симметрии поля. При повороте координат на заданный угол (например, тс/2 вокруг оси четвертого порядка я/3 вокруг гексагональной осп) или отран<е-нии в плоскости и т. д. результирующее состояние системы должно совпадать с исходным. Этим свойством должны обладать и собственные функции уравнения Шредингера. Решения уравнений Шредиигера образуют группы с помощью теории групп можно выяснить некоторые особенности решений в кристаллическом поле, даже не зная точно формы потенциальной функции и ее величины. Так, например, состояние с /= /2, которое для свободного иона шестикратно вырождено в кристаллическом поле с кубической симметрией, расщепляетсм на один дублет и один четырехкратно вырожденный уровень. Взаимное расположение уровней и расстояние между ними нельзя определить, ие зная подробно функции V. [c.386]

Если собственное значение вырождено, то ему принадлежат несколько собс1венных функций, число которых равно числу одинаковых собственных значений (степени вырождения). Любая линейная комбинация этих собственных функций принадлежит тому же собственному значению, т. е. число собственных функций бесконечно, но число линейно независимых функций равно степени вырождения. Поэтому можно сказать, что собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, образуют собственное подпространство, раз- [c.138]

Рассмотрим ортогопализацию в случае двукратного вырождения. Пусть неортогональными собственными функциями, принадлежащими одному и тому же собственному значению, будут функции и Ч р (они нормированы на I). В соответствии с формулой (42.1) можно написать для искомых ортогонализированных функций следующие выражения [c.239]

Пространственная часть собственных функций I, (г, t) уравнения (43.2) дается соотношениями (30.39), а временная часть представляется множителем ехр — iE tlfi), причем собственное значение энергии дается формулой (30.246). Собственные значения вырождены, а собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, ортогональны. При расчетах (см. 42) каждое состояние, принадлежащее вырожденному собственному значению, надо рассматривать как самостоятельное. [c.243]

Обменное вырождение. Волновая функция (52.7) предс1авляет решение уравнения (52.5) с собственным значением энергии Е = + Е,,. Очевидно, что из-за идентичности электронов ничего не изменится, если электрон 2 поместить в состояние а, занимаемое элек роном /, а электрон У - в состояние Ь, занимаемое электроном 2, т. е. ничего не изменится, если электроны поменять местами. Следовательно, волновая функция, получающаяся в результате такой перемены мест элек1 ронов, также является решением уравнения (52.5), Таким образом, наряду с волновой функцией (52.7) решением уравнения (52.5) будет вол- [c.272]

Причины заключаются в следующем. Как видно из вывода формул (3.2), они должны быть справедливы тогда, когда матричные элементы оператора возмущения меньше разностей собственных значений. Что же касается устойчивых резонаторов из неограниченных зеркал, то вьиду отсутствия потерь здесь существуют различающиеся собственные функции с одинаковыми или почти равными ]3 не только в трехмерном случае (см. в 23 о вырождении функций с одинаковыми 2), но и в двумерном. Действитель- [c.149]

Очевидно, что собственные значения Хп и собственные фунющи (v) теперь зависят от к. При к = О задача (13.3.5) сводится к однородной задаче (13.1.13). Предположим, что однородные собственные функции и собственные значения заданы (даже если их явный вид и неизвестен). Тем не менее мы знаем, что существует пятикратно вырожденное собственное значение = О, а = 1,.. .., 5. Кроме того, нам известны соответствующие собственные функции фа (v). Оказывается, что эти пять собственных функций в действительности играют ведущзгю роль по сравнению со всеми остальными. Поэтому будем использовать для них специальное-обозначение [c.95]

Задача 5.2. В табл. 5.3 приведены характеры группы молекулярной симметрии (МС) Сзу(М) молекулы СНзР. Обозначим неприводимые представления через А, Лг и Е. Предположим, что 4 6 и — трехкратно вырожденные ортонормированные собственные функции для молекулы H3F, где [c.78]

Собственные функции гамильтоииана одномерного гармонического осциллятора классифицируются по значениям колебательного квантового числа v. Для гармонического осциллятора число и является хорошим квантовым числом. Для низких колебательных состояний ангармонического осциллятора число v является полезным приближенным квантовым числом в том смысле, что наибольший вклад в такое состояние дает только одно состояние гармонического осциллятора. Для двумерного гармонического осциллятора число /, а для трехмерного гармонического осциллятора числа / и п являются дополнительными квантовыми числами, которые теряют смысл при учете ангармоничности ). Следовательно, колебательные состояния многоатомных молекул классифицируются по значениям приближенных квантовых чисел v, / и п например, колебательные состояния метана классифицируются по значениям квантовых чисел Уь 2, из, У4, 1г, h, Ц, 3 и 4. Эти числа остаются полезными приближенными квантовыми числами до тех пор, пока смещение уровней, характеризуемых различными значениями этих чисел, несун1ественио. Например, состояния (ui = 0, V2 = 2, из = 0) и (1,0,0) с /г = О молекулы СОг сильно смешаны, и поэтому квантовые числа ui и иг в этом случае не являются полезными приближенными квантовыми числами. Связь между колебательными квантовыми числами, вырождением уровней и типами симметрии соответствующих приближенных групп симметрии обсуждалась в литературе неоднократно (см., например, работы [5] и [64]). [c.309]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...