Теорема разложения по собственным функциям

И подставим вместе с представлением ядра 1(0 , ) из теоремы 2.7 в спектральное соотношение для оператора Тогда для определения собственных чисел и коэффициентов разложения собственных функций, получим систему алгебраических уравнений с симметричной матрицей, т.е. [c.64]

Функция f(0, л), определенная в положительной половине диапазона изменения представлена в (10.96а) в виде разложения по собственным функциям законность такого представления основана на приведенной выше теореме полноты для половинного диапазона. Коэффициенты разложения Л(т1о) и Л (т]) могут быть определены с помощью соотношений ортогональности собственных функций в половине диапазона (г и различных интегралов нормировки. Отметим, что выражение (10.96а) имеет точно такой же вид, что и (10.53), в силу чего коэффициенты Л(т1о) и Л(т1) можно получить, используя соответственно-формулы (10.54) и (10.56). Коэффициент Л (т]о) равен [c.409]

Заметим, что правые части уравнений (11.92) и (11.93) представляют собой разложения в пределах половины интервала изменения ц,, аналогичные выражению (10.22а). Согласно теореме полноты для половинного интервала, сформулированной в гл. 10, эти разложения носят достаточно обш ий характер, чтобы с их помощью представить произвольную функцию (т. е. левые части этих уравнений), определенную в интервале хе(0, 1). Входящие в эти уравнения коэффициенты разложения можно выделить, используя свойство ортогональности собственных функций и описанные ниже различные интегралы нормировки. [c.457]

Разложение по собственным функциям для полного диапазона, ортогональность 387 ------- теорема о полноте разложения 386 [c.610]

К. Подобная задача была поставлена в обстоятельной работе 51], посвященной анализу обусловленности матричных операторов. Известно, что основным аналитическим средством изучения свойств симметричных интегральных операторов и их обращения, является разложение искомых функций в ряды по ортогональным системам собственных функций этих операторов. Основные теоремы и техника вычислений подробно изложены в монографиях [10, 50]. [c.46]

Большая часть формул книги получена на основе эвристических соображений, другими словами, выведена из дополнительных по отношению к математической постановке задачи предположений. Эти предположения обычно просты и наглядны. К ним, например, относится высказанный В. А. Фоком принцип локальности в теории высокочастотной дифракции, требование существования у-решения фазы уходящей волны и ряд других. Все математические построения, ведущие от этих исходных предположений к конечным результатам, мы старались при этом выполнить так, чтобы они удовлетворяли обычным требованиям математической строгости. Ряд результатов, полученных на основе эвристических соображений, может быть строго обоснован, но из-за громоздких оценок эти доказательства в книге не приводятся. Исключением является теорема, устанавливающая асимптотический характер разложений для собственных значений в задаче о собственных функциях, сосредоточенных в окрестности границы области. Доказательство этой короткой и изящной теоремы дано в главе 6., [c.19]

Оценка, которую дает эта теорема, совпадает с оценкой /г, установленной ранее с помощью разложений по собственным функциям. Усредненную оценку ошибки по энергии получаем, интегрируя непосредственно тождество (17) [c.290]

Способы представления поля излучения антенной решетки. К настоящему времени наметились три подхода при описании поля излучения АР с помощью диаграмм направленности отдельных излучателей в виде разложения по собственным функциям сферической волноводной области (сферическим гармоникам) на основе теоремы эквивалентности. [c.50]

Исследование дифференциальных уравнений математической физики в конечной области пространства обычно проводится с помощью перевода их в интегральные уравнения с подходящей функцией Грина [28, 29]. Это обстоятельство объясняется тем, что исходный дифференциальный оператор является неограниченным, тогда как функция Грина в конечной области пространства, удовлетворяющая соответствующим граничным условиям, порождает не только ограниченный, но вполне непрерывный оператор, т.е. оператор с квадратично интегрируемым ядром [45]. Этот оператор можно представить как предел конечномерных операторов и, следовательно, перенести на него (а, тем самым, и на исходный дифференциальный оператор) все существенные теоремы алгебры конечномерных пространств [45] (существование собственных функций, их полнота и разложение по базису, альтернатива Фредгольма, теория возмущений и т.д.). [c.68]

Теорема Ляпунова о голоморфном интеграле. Пусть X > О, собственные значения матрицы А (10.1.16) не равны числам mU (т — О, 1, 2,. ..) и вектор-функция Х(х) является голоморфной в области G относительно х, разложение которой начинается с членов не ниже второго порядка. Пусть, кроме того, система Ляпунова (10.1.15) имеет голоморфный, не зависящий от t, интеграл, в котором совокупность членов второго порядка содержит компоненты х и Хг п-мерного вектора х. [c.791]

Оно имеет период 2тг, если а и 6 выбраны постоянными, и тогда решение (8) является тривиальным разложением но степеням функций и при А = г. С другой стороны, теорема существования 14 дает прямое разложение в ряд решения но степеням е и е с а = А +..., причем А есть чисто мнимое собственное значение. Очевидно, что решению (8) могут соответствовать собственные значения г. Впрочем, фактически у пас г являются даже многократными корнями, в связи с тем, что в решении (8) а и 6 могут быть линейными функциями времени но это замечание нока еще нельзя доказать, так как в 14 шла речь только о простых собственных значениях. Существование собственного значения А = О также имеет свою причину мы йотом покажем, что это следует из интеграла площадей. [c.156]

Для форм поперечных колебаний пластинки также имеет место теорема о разложении в ряд по собственным формам однородной задачи, т. е. по функциям ы ,- (л , у), удовлетворяющим уравнениям [c.353]

Из теоремы разложения следует, что любая функция (в частности, динамический прогиб ротора), которую можно представить истокообразно, может быть разложена в ряд по собственным формам. [c.143]

Теорема II. Обобщенные собственные функции ZQ w)gu (w) О < и a к) и goo = Zq w) образуют полную систему для функций Z w), определенных на интервале О < << , удовлетворяющих условию Гёльдера в любом открытом интервале, содержащемся в (О, к), и интегрируемых с весом При этом коэффициенты обобщенного разложения [c.326]

Таким образом, l=k при достаточно малом е, поскольку Я (е)- 4, Я< >(е)- 4 и Яо - однократное собственное значение, и потому в его окрестности при достаточно малом е лежит только одно собственное значение оператора с однородными граничными условиями Дирихле. Приведенные рассуждения обосновывают формальное асимптотическое разложение (8.6). Доказана Теорема 8.5. Для собственных значений и собственных функций задачи (8.1) имеют место неравенства [c.292]

Здесь Z — комплексное число, г-решение стационарной (несамосопряженной) задачи (L z)u — u и м аппроксимация по Галёркину. (Действительно, и ы — преобразования Лапласа функций u t) и (<) соответственно, а интеграл (14) обращает преобразование Лапласа контур интегрирования С проходит вдоль двух лучей 2 = (я/2-fe) в левой полуплоскости, так что экспонента дает сходящийся интеграл.) Из этой формулы, приводящей к разложениям по собственным функциям в самосопряженном случае с дискретным спектром, и из стационарных ошибок, установленных в теореме 2.1, непосредственно получаем выражение для развивающейся ошибки в момент времени t, она имеет ожидаемый порядок Ф даже для несамосопряженных уравнений. [c.287]

Чтобы воспользоваться этим разложением для определения моментов случайных величин Т, г пр и tp, необходимо предварительно убедиться в том, что они являются собственными. Собственность случайной величины Т не подлежит сомнению из физических соображений. Ясно, что при любом конечном резерве времени безграничное увеличение длительности задания снижает вероятность безотказного функционирования до нуля. Используя тауберовы теоремы [14], в этом можно убедиться с помощью формального перехода в (2.2.29) к пределу при s—>-0. Для пр и tp положение не столь очевидное и нужно изучать поведение функции Pita, tu) при /и-И Ql( 3, О ПрИ ta->-00. ПрйВЛеКЭЯ ОПЯТЬ [c.27]

Впервые исследовал поведение собственных чисел и функций, а также сходимость разложений по ним для некоторых пучков, порожденных обыкновенными дифференциальными операторами, по-видимому, Я.Д. Тамаркин [279]. Постановка основных задач и первые важные результаты содержатся в работах М.В. Келдыша [160, 161. Здесь были введены понятия присоединенных векторов, кратность собственного числа, кратной полноты собственных и присоединенных векторов. Для некоторого класса пучков, порожденных обыкновенными дифференциальными операторами были доказаны теоремы о полноте, асимптотике собственных значений и сходимости кратных разложений. [c.8]

В случае неупорядоченной системы, однако, любое собственно состояние описывается функцией византийского типа и импульс не является хорошим квантовым числом. Позтому закон дисперсии (к) представляет собой не более чем результат не вполне четко определенного усреднения по статистическому распределению электронных возбуждений (рис. 10.8). Теорема, выражаемая равенством (10.129), не применима к зтой функции, и плотность тока нужно вычислять, используя спектральное разложение по импульсам (рис. 10.14, б). Если считать, что волновая функция имеет форму (10.87), то вид зтого спектра в импульсном представлении определяется вещественной частью волнового вектора к, отвечающего когерентной части возбуждения, и фазово-некогерент-ным уширением, обусловленным рассеянием в неупорядоченной системе. [c.511]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...