Функции собственные, интегральное

Приведены методы, применяемые в теории дифракции, классифицируются задачи, решаемые этими методами. Указаны книги и оригинальные работы, в которых можно подробнее ознакомиться с данным методом. Методы изложены на конкретных примерах, Во внутренних задачах применены метод собственных функций, метод интегральных преобразований, вариационные методы, интегральные уравнения во внешних задачах — методы собственных функций и интегральных преобразований, интегральные уравнения, асимптотические методы, в том числе лучевые, метод фазовых интегралов (метод ВКВ) и метод эталонных уравнений. Рассмотрены методы синтеза антенн, [c.270]

Как и следовало ожидать, аппарат интегральных уравнений приводит к тем же вспо.могательным задачам, в которых диэлектрическая проницаемость определяется формулой (5.13), и к тем же формулам для коэффициентов разложения, что и аппарат дифференциальных уравнений. Мы привели здесь способ, основанный на (5.24), для того, чтобы проиллюстрировать один из основных приемов, используемых в обобщенном методе собственных колебаний для построения системы собственных функций. Прием этот состоит в том, чтобы свести рещение задачи дифракции к интегральному уравнению (например, типа (5.24)), а затем ввести собственные функции соответствующего интегрального оператора (тина (5.25)). Этот способ будет использован и во второй главе. [c.50]

Собственные функции однородного интегрального уравнения с симметричным ядром ортогональны. Это означает, что [c.194]

Она показывает, тго полиномы Чебышева являются собственными функциями этого интегрального оператора, а тг при п 1 и In 2 при п = О — его собственными числами. [c.81]

Следует остановиться на вопросе о решении интегральных уравнений, когда %. есть собственное значение (как принято говорить, расположенных на спектре). Во-первых, необходимо определить собственные функции союзного уравнения, а во-вторых, проверить выполнение условий (2.25). Первая задача оказывается весьма сложной, поскольку воспользоваться формулой [c.46]

Это условие совпадает с ранее установленным условием разрешимости самой краевой задачи Неймана N (7.3) и, естественно, должно автоматически выполняться по постановке задачи. Решение же интегрального уравнения включает частное решение неоднородного уравнения и собственную функцию, определение которой не представляет особого интереса при решении краевых задач, поскольку наличие ее в выражении для потенциала сводится к появлению лишь аддитивной постоянной, присутствующей в решении по постановке задачи. [c.101]

Предположим, что рассматриваемые интегральные уравнения имеют комплексные собственные числа. Обозначим одно из них через Я,о = а +/й, и пусть фо( ) = фа + г фь — какая-либо собственная функция. Образуем потенциал простого слоя [c.562]

Сравнение исходного интегрального уравнения для эффективного излучения (17-94") с его решениями в формах (17-113) и (17-118) показывает, что в последнее под знак интеграла вошла функция jv, характеризующая собственное излучение, вместо неизвестной функции эфя, выражающей эффективное излучение. Учет многократных отражений с этой функции переносится на разрешающий угловой коэффициент и резольвенту излучения. Следовательно, вся сложность задачи и ее решения сосредоточивается на определении резольвенты излучения. [c.408]

Мы сможем считать еще одним подтверждением нащих собственных общих интегральных уравнений доказательство того, что они заключают в себе не только известный закон живой силы, но также шесть других известных интегралов первого порядка закон движения центра тяжести и закон площадей. Для этой цели необходимо только отметить, что из концепции нашей характеристической функции V с очевидностью следует, что эта функция зависит от начальных и конечных положений притягивающихся или отталкивающихся точек системы, не как отнесенных к какому-либо внешнему стандарту, а только как сравниваемых друг с другом следовательно, эта функция не будет меняться, если мы, не делая никаких реальных изменений ни в начальной, ни в конечной конфигурации, ни в их отношении друг к другу, сразу изменим все начальные и все конечные положения точек системы при помощи какого-нибудь общего движения, будь то перенос или вращение р]. Теперь, рассматривая три координатных переноса, мы получим три следующих уравнения в частных производных первого порядка, которым должна удовлетворять функция V [c.184]

Будем искать собственные функции и собственные числа интегрального уравнения [c.70]

Применение метода нормальных и краевых интегральных уравнений для практического расчета собственного значения и собственной функции покажем на примере станка АТ2-120-ШЛ5, на котором опоры являются сравнительно жесткими. Допустим, что i = оо и = оо. Отметим, на брусе батана ряд сечений, охватывающих характерные переходы в изменении плотности т х) и жесткости EI (х). [c.198]

Для тел, ограниченных координатными поверхностями в какой-либо одной из ортогональных систем координат [8], с однотипными в пределах каждой отдельной координатной поверхности граничными условиями точное аналитическое решение линейной задачи можно получить методом разделения переменных (методом Фурье) [7] или математически эквивалентным ему, но более универсальным методом интегральных преобразований [10, 13, 20]. Основная идея этих методов связана с разложением искомого решения в ряд по собственным функциям соответствующей однородной задачи. Собственные функции и формулы интегральных преобразований для тел простой геометрической формы табулированы [13]. [c.43]

Для тел сложной формы метод интегральных преобразований сохраняет силу, если удается построить полную систему собственных функций и определить соответствующие им собственные значения. Это принципиально выполнимо на основе вариационной формулировки соответствующей однородной задачи или применения метода конформных отображений области сложной формы на более простую [21]. [c.43]

Примем собственную функцию в качестве ядра интегрального преобразования [c.111]

Равенство (5) определяет ядро K p,t) некоторого конечного интегрального преобразования, которое ставит в соответствие собственным функциям О задачи (1) и (2) их изображения Лапласа. [c.20]

Точное аналитическое решение линейной или предварительно линеаризованной многомерной задачи нестационарной теплопроводности удается получить лишь для элементов конструкций сравнительно простой геометрической формы, ограниченных координатными поверхностями в какой-либо одной системе ортогональных координат. Для большинства таких тел известна и табулирована [42, 56] система собственных функций и спектр собственных значений соответствующей однородной задачи. Поэтому для подобных тел удобно использовать достаточно универсальный метод конечных интегральных преобразований. При однородных граничных условиях и одинаковой во всех точках тела начальной температуре решение многомерной задачи для тел простой формы удается представить в виде произведения решений соответствующих одномерных задач [42, 55]. [c.203]

Ясно, что номер п может возрастать неограниченно, но практически можно найти лишь конечное число N пар у и 1М М), да и то в общем случае приближенно. Все же предположим, что нам известен полный спектр (ТУ —> оо) точных значений у и полная система истинных собственных функций м( )(А/). Тогда к уравнению (4.3.26) и начальному условию (4.3.27) можно применить интегральное преобразование [c.204]

Как и для нестационарной задачи, предположим, что нам известен полный спектр (Л , —у со) точных значений v и полная система истинных собственных функций Тогда к уравнению (4.3.42) можно применить интегральное преобразование [c.206]

В то время как спектральный коэффициент поглощения зависит от длины волны излучения X, средние интегральные коэффициенты поглощения ар и являются функциями температуры. Природа температурной зависимости для интегральных коэффициентов ар и a J определяется двумя обстоятельствами особенностями спектральной зависимости для и собственно зависимостью от температуры комплексного показателя преломления частиц. Наиболее существенным является здесь влияние селективных свойств частиц, связанных со значением параметра дифракции р. [c.15]

Точное аналитическое решение линейной или предварительно линеаризованной многомерной задачи нестационарной теплопроводности удается получить лишь для тел сравнительно простой геометрической формы, ограниченных координатными поверхностями в какой-либо одной системе ортогональных координат. Для большинства таких тел известны и табулированы [25] система собственных функций и спектр собственных значений соответствующей однородной задачи. Поэтому для подобных тел удобно использовать достаточно универсальный метод конечных интегральных преобра- [c.160]

В качестве (М) удобно выбрать собственные функции соответствующей однородной задачи, если они известны или их нетрудно найти. Коэффициенты В, (s) после подстановки (4.46) в (4.45) находим из условий dJ [Т (М, s)]/dBn (s) = О стационарности функционала (4.45), что приводит к системе алгебраических уравнений, содержащих параметр s интегрального преобразования. По найденным Вп (s) определяем оригиналы В t), а по функции Т° (М, s) — оригинал Т° (М, t). Для перехода к оригиналам используем формулу обращения или таблицы изображений. Возможно также численное обращение изображений [4]. В итоге вместо (4.46) получим приближенное решение [c.165]

Коэффициенты а я Ь в формулах (25.44), (25.45) могут быть легко вычислены, если приближенно полагать В действительности, показатель степени при меньше ( ). Однако в данном случае это несуш,ественно в связи с тем, что при малых оптических плотностях (Тц<0,4) интегральные члены в указанных формулах, отображающие роль собственного излучения в переносе тепла на стенку, пренебрежимы (Т(,<0,2), а при Tq>0,4 сказывается допущение Тст Тд. В общем же случае приближение тЭ несколько завышает собственное излучение пограничного слоя. Однако это позволяет осуществить линеаризацию подынтегральных функций и путем интегрирования по частям и использования соотношений (20.173), (20.174) получить квадратуры интегралов (25.44) и (25.45). Последние после несложных преобразований, в ходе которых используется рекуррентная формула (25.47), приобретают следующий вид [c.648]

Наконец, воспользовавшись функцией отклика G(x, y Xi, у 1) системы на рис. 2.2в, которая соответствует полному обходу резонатора и имеет измеренную вдоль оси оптическую длину, вдвое превышающую оптическое расстояние между зеркалами резонатора о мь1 должны прийти к тому же распределению, от которого отталкивались ff G(x, y Xi,yi)ui (Xi, У1) dx I dy I = (j j, > 1) это и есть то самое интегральное уравнение резонатора, которое надо решить, чтобы найти собственные функции ( ь У ) и частоты = скт- Если бы мы, составляя интегральное уравнение, начинали обход не от плоскости i, а от 2, решениями полученного при этом другого уравнения оказались бы функции (Х2, у2) с прежними собственными частотами Доказать это математически не так просто, с точки зрения же физики все совершенно очевидно с какой плоскости ни начинать обход, результатом должны явиться одни и те же, заданные во всем объеме, собственные колебания. [c.64]

Произвести расчет такого резонатора — это определить собственные функции Um Un и собственные значения Ут, Уп интегральных уравнений (2.57) и (2.58). Расчет Un и ут, Тп описание программы реализации на ЭВМ для этой и других задач пассивных резонаторов, рассмотренных ниже, приведены в п. 2.5. [c.87]

Интегральный оператор в (7.47) является самосопряжённым, вполне непрерывным и положительным, в силу чего его характеристические числа А вещественны и положительны, а собственные функции образуют полную ортонормированную систему. [c.378]

Подставляя выражение (7.65) в формулу (7.49), получаем следующее интегральное выражение для параметров разложения рассматриваемой динамической нагрузки в ряд по фундаментальной системе собственных ортонормированных функций Vn - [c.393]

Интегральное уравнение (2.24) при Я=1 соответствует второй основной задаче для совокупности областейDI,. ..,От когда решение разыскивается в виде единого потенциала простого слоя, распределенного по всем поверхностям. Собственные функции союзного уравнения соответствуют решению первой основной задачи для области О. Используя обобщенную теорему Гаусса (1.19), не составляет труда показать, что смещение как жесткого целого каждой из поверхностей 5/ (/ = = 0) есть собственная функция. Поэтому в отличие от случая, когда область ограничена одной поверхностью, точка X = 1 является полюсом резольвенты. [c.567]

В табл. 2-13 приведены собственные функции 1 (Р , г), нормы N и характеристические уравнения для полого цилиндра. Если температура цилиндра зависит от двух координат Т(г, г) или Т (г, 6), то для таких двумерных задач формула преобразования содержит функции от двух. переменных (табл. 2-14). ехника решения-остается прежней. Однако если коэффициент теплообмена является функцией времени, то задача не может быть решена методом конечного интегрального преобразования, она решается с использованием метода тепловых потенциалов [Л.2-35]. [c.175]

Непосредственное решение уравнения (3) представляет значительные трудности. Явный вид этого решения полечен с помощью собственных функций Сейэа только для бесконечном и полубзсконечной среды с изотропным или линейно анизотропным рассеянием [llj, причем решение настолько громоздко, что использовать его для отыскания температурного поля, когда решение.(3) необход/Шо получать многократно для различных участков спектра, оказывается нецелесообразным. Для слоя конечной толщины аналитические решения (3) вообще не известны, и свести систему (1)-(3) к решению одного интегрального уравнения для температуры, как это имеет место в нерассеивающих веществах 12,13], ив удается. [c.13]

В станках со спиральной намоткой имеется два основных перемещающих механизма вращающаяся оправка и траверса подающего устройства. Кроме того, имеются поперечный суппорт, перпендикулярный оси оправки, и механизм движения нитепро-водника, через который подается волокно. Последние два устройства обеспечивают более точную укладку волокна по торцам конструкции. Управление может быть механическим или числовым программным (ЧПУ). Механическое управление обычно основано на использовании системы с индивидуальным приводом, в которой вращение и поперечная подача управляются зубчатыми передачами, шарнирными цепями или ходовыми винтами. Движения в станке для намотки с ЧПУ осуществляются гидравлическими сервоприводами, управляемыми от перфорированной ленты, причем каждая ось координат имеет свой собственный гидромотор. Последним усовершенствованием одной фирмы является применение микроЭВМ для управления серводвигателями. Интегральная схема на одном кристалле кремния выполняет логические функции, запоминание данных и вычисления, необходимые для работы машины. [c.215]

В Отличие от случая резонатора с плоскими зеркалами, последние интегральные уравнения можно решить аналитически. Действительно, можно показать, что и / /(ti) пропорциональны угловым сфероидальным функциям Фламмера, в то время как соответствующие собственные значения и a j пропорциональны радиальным сфероидальным функциям Фламмера. Эти функции табулированы в работе [10]. [c.198]

Авторы работ [24, 25] использовали соответственно метод единичного возмущения и приближенный интегральны - метода для исследования влияния излучения на теплробмен при свободной ламинарной конвекции на вертикальной пластине, а в [26] использован метод разложения по собственным функциям для получения точного решения этой задачи с учетом рассеяния. [c.525]

Влияние излучения на теплообмен при ламинарной свободной конвекции на вертикальной пластине для поглощающей и излучающей жидкости в приближении оптически толстого слоя было и JJeдoвaнo в работе.[24] с помощью метода единичного возмущения. В [25] рассмотрена аналогичная задача для случаев как оптически тонкого, так и оптически толстого слоя. Для решения уравнения энергии использовался приближенный интегральный метод. Авторы работы [26] рассмотрели задачу сложного теплообмена для поглрщающей, излучающей и изотропно рассеивающей жидкости. Радиационная часть задачи решалась ими точно с помощью метода разложения по собственным функциям. В этом разделе будет дана формулировка задачи о свободной конвекции на вертикальной пластине при наличии излучения, описаны методы решения и обсуждены некоторые результаты. [c.563]

Для определения собственных функций Uk r) и характеристических значений Af однородного интегрального уравнения Фредгольма (7.47) с вещественным, симметричным и положительно определённым ядром (7.48) использовался метод Келлога (см. [103]). Последовательные приближения находились по формуле [c.380]

Если обратиться к классической теории потенциала, то сингулярные интегральные уравнения, полученные для решения как первой основной задачи, так и для второй, представляют собой интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Разница заключается в том, что для решения первой основной задачи исходят из представления в виде потенциала двойного слоя, а для решения второй основной задачи следует воспользоваться представлением смещений в виде обобщенного потенциала простого слоя. Разумеется, отличие также состоит в физическом смысле искомых функций и значениях правых частей. Для этих сингулярных уравнений индекс (разность между числом собственных функций исходного уравнения и союзного к нему) оказывается равным нулю [152]. Следовательно [153J, будет существовать оператор, который преобразует их в эквивалентные регулярные уравнения второго рода, и поэтому к исходным уравнениям применимы альтернативы Фредгольма. При этом поверхность тела может быть представлена набором кусочно-однородных поверхностей, подчиняющихся условиям Ляпунова, а плотность сингулярного интегрального уравнения должна удовлетворять условию Гельдера — Липшица вместе со своей производной [153] [c.55]

Мы получили интегральное уравнение с положительным симметричным ядром. Нас интересует наибольшее собственное значение этого уравнения. Чтобы гриближённо вычислить Xq, будем исходить из следующего свойства наибольшего собственного значения. Пусть / (х) — некоторая функция, не принимающая отрицательных значений и отличающаяся тем свойством, что отношение Lf/f ограничено. Тогда, если Lfjf заключено в пределах Aj и Лд [c.347]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...