Собственные функции оператора момента

Собственная функция оператора момента в импульсном представлении имеет вид [c.125]

Собственные функции оператора момента [c.131]

Сферические функции > /т(Р, у) являются собственными функциями оператора углового момента —До или угловой [c.225]

Применение специальных методов решения задачи при заданных силе или моменте вызвано следуюпщми обстоятельствами. Традиционные разложения в ряды по собственным функциям операторов AJ, AJ или по тем же полиномам Лежандра приводят к необходимости исследования бесконечных систем интегральных уравнений Вольтерра, что вносит теоретические трудности и существенные вычислительные проблемы при решении конкретных задач. Методы, основанные на использовании неклассических спектральных соотношения для операторов BI и BJ, приводят лишь к решению последовательности независимых уравнений Вольтерра и позволяют дать строгое их обоснование. [c.67]

Таким образом, скалярные сферические гармоники являются собственными функциями операторов и D , Читатели, знакомые с квантовой механикой, заметят совпадение этих операторов с операторами углового момента. [c.457]

ШАРОВЫЕ ВЕКТОРЫ (векторные шаровые функции) — собственные функции оператора полного момента количества движения для системы с единичным спином. [c.418]

ШАРОВЫЕ СПИНОРЫ (с п и н о р н ы е шаровые функции) — собственные функции оператора полного момента количества движения для систем со спином 2- [c.418]

Физический смысл величины I состоит в том, что сферические гармоники представляют собственные функции оператора орбитального углового момента 1см. уравнения (2.16а) и (2.17)1. Поэтому, задавая /, мы фиксируем угловой момент частиц, так что слагаемое I I + 1)// , входящее в уравнение (11.8), служит квантовомеханическим аналогом потенциала центробежных сил, фигурирующего в классических уравнениях движения. Физическое требование, чтобы волновая функция обладала хорошим поведением по всем направлениям г, приводит к тому, что число I должно принимать только целые значения ). [c.282]

Кроме того, они являются собственными функциями оператора квадрата орбитального углового момента (2.16) [c.410]

Соответствующие собственные функции оператора полного углового момента и внутреннего гамильтониана в канале реакции а, необходимые для данного рассмотрения, имеют вид [c.452]

До сих пор мы рассматривали магнитные моменты атомов как классические векторы. Стоит заметить, однако, что квантовые свойства спинов нельзя полностью игнорировать. Попробуем, например, основываясь на интуитивных соображениях, составить волновую функцию основного состояния антиферромагнетика из собственных функций оператора причем последние должны [c.38]

Можно показать [67], что если Ч " — собственная функция оператора энергии атома или молекулы, то <д> = О, и поэтому атом (или молекула), находящийся в стационарном состоянии, не излучает. Ниже вместо терминов атом или молекула будет употребляться термин система . Предположим, что такая система в момент времени г = О находится в возбужденном собственном состоянии п>, где под п понимают набор квантовых чисел, полностью определяющий это состояние. Затем атом переходит в другое состояние либо с излучением [c.100]

Оператор спина таким путем получить нельзя, потому что он в классической картине не может быть выражен через динамические переменные-декартовы координаты и импульсы. Здесь полезно напомнить, что речь идет именно о выражении в декартовых координатах. Переход к другим координатам можно произвести лишь после записи оператора динамической переменной по этому правилу в декартовых координатах (см. 23). Поскольку спин не может быть представлен как функция координат и импульсов, оператор спина не может быть построен аналогично оператору орбитального момента импульса. Однако ясно, что как оператор момента импульса он должен удовлетворять коммутационным соотношениям (28.17) и (28.18). Для объяснения экспериментальных результатов необходимо считать собственные значения любой декартовой проекции оператора спина равным Л/2 и — Л/2 [см. (33.3)]. Этих данных достаточно, чтобы решать квантовомеханические задачи со спином, не имея в явном виде выражения для оператора спина и волновых функций. Однако для многих расчетов предпочтительнее иметь явный вид оператора спина. [c.211]

Собственные функции и собственные значения проекции момента количества движения на преимущественное направление (с которым совмещаем направление оси Oz) определяются в соответствии с видом оператора р (см. формулу (3)) уравнением [c.115]

Для атома оператор энергии Н обладает сферической симметрией. Волновая функция для атома ф, удовлетворяющая сферической симметрии и другим указанным выше требованиям симметрии, соответствует принципу Паули и является собственной функцией следующих пяти операторов 1) оператора энергии, 2) оператора квадрата орбитального момента количества движения, 3) оператора квадрата спинового момента, 4) оператора квадрата полного момента количества движения электронной оболочки атома и 5) оператора проекции полного момента количества движения на одну из координатных осей. Это означает, что состояние атома в целом может быть охарактеризовано совокупностью квантовых чисел L, S, J, Mj, которым с точки зрения векторной модели соответствуют моменты j и проекция полного [c.204]

Каждый электрон i молекулы имеет спин s, с величиной Й/2, а полная электронная спиновая функция [S, ms) зависит от двух квантовых чисел S и ms тогда собственные значения операторов (квадрата полного спинового углового момента электронов) и Sz (Z-компоненты спинового углового момента электронов) соответственно равны S S и msh, и можно записать [c.114]

Линеаризованный оператор столкновений Ь базируется на максвелловской функции /я(0) следовательно, его собственные значения и собственные функции зависят от пространственных переменных, но не от времени. Так как функция / в виде (5.2) должна удовлетворять начальным условиям, то /я(0) есть не что иное, как фигурирующая в начальных данных максвелловская функция /м это полностью определяет Ь. Теперь разложим заданную в начальный момент времени функцию / в ряд по степеням 8 [c.134]

Сферические функции особенно полезны тем, что они являются собственными функциями момента импульса. Оператор, соответствующий компоненте момента импульса вдоль полярной оси, дается (по аналогии с классическим выражением г х р) в виде [c.90]

Оператор Гамильтона для многоатомной молекулы 227, 403 Оператор импульса 227 Операторный метод решения волнового уравнения 226 Оператор полного момента количества движения 227, 403, 431 Операции симметрии 11 влияние на вращательную, электронную и полную собственные функции 118 влияние на вырожденные нормальные колебания 96 (глава П, Зб) влияние на невырожденные нормальные колебания 95 (глава II, За) влияние на колебательные собственные функции 115 (глава И, Зв) возможные комбинации (точечные группы) 16 [c.618]

Рассмотрение математических методов, используемых для вывода свойств собственных значений и собственных функций многогрупповой диффузионной теории, выходит за пределы настоящей книги. Читатели, интересующиеся этим вопросом, могут обратиться к оригинальной работе [14]. Полезно, однако, сделать некоторые общие замечания, касающиеся используемых приближений. В частности, необходимо отметить, что операторы, применяемые в теории переноса нейтронов, являются положительными операторами в том смысле, что если распределение нейтронов в начальный момент положительно, то оно остается положительным или по крайней мере неотрицательным во все последующие моменты времени. Это свойство положительности операторов оказывается существенным при нахождении описанных выше главных собственных значеннй и неотрицательных собственных функций. Важность этого свойства подчеркивалась в связи с самыми различными задачами (см. [15] и ссылки в разд. 4.4.4). [c.148]

Определив понятие спиновой волновой функции, В. Паули вводит оператор спина S, действующий на волновую функцию Ф (s ). Таким образом, в полном соответствии с общими принципами квантовой механики собственный механический момент электрона (спин) изображается линейным самосопряженным оператором спина 5. [c.111]

В работе П.Ф. Папковича [242] ставится проблема базиса для однородных решений, т. е. возможность представления двух граничных функций в виде рядов по однородным решениям. В работе Г. А. Гринберга [130] дано решение для случая, когда на границе пластинки задан прогиб и изгибающий момент. В общем случае эта проблема оказалась тесно связана с проблемой двукратной полноты собственных и присоединенных векторов некоторого дифференциального пучка операторов. [c.8]

Дисперсия как следствие алгебры операторов. В заключение этого раздела рассмотрим другой способ вычисления среднего числа (п) фотонов и дисперсии распределения. Здесь мы используем уравнение (11.9) для собственных состояний и собственных значений, а не процедуру суммирования с функцией распределения. При таком подходе особенно чётко видно, как квантовые законы проявляются во втором моменте распределения. [c.339]

Оператор дипольного момента. Теперь воспользуемся условием полноты (14.47), чтобы выразить оператор координаты г в терминах энергетических собственных состояний. Так как волновые функции [c.451]

Рассмотрение взаимодействия солитонов в гл. 3 основывалось на возможности связать нелинейное уравнение КдФ с линейным одномерным уравнением Шредингера для стационарных состояний решение и х,1) уравнения КдФ играло роль потенциала в уравнении Шредингера, а время / рассматривалось как параметр. Эта техника позволила использовать известные свойства собственных значений и функций уравнения Шредингера. Успех метода был обеспечен открытием замечательного свойства этого уравнения, которое состоит в том, что спектр оператора Шредингера с потенциальной энергией, определяемой из уравнения КдФ, не зависит от времени. В результате этот спектр мог быть определен для всех моментов времени лишь при помощи начального условия и х,0), взятого в качестве потенциальной функции уравнения Шредингера. [c.95]

Первый член связан с тем обстоятельством, что оператор-электронного дипольного момента де действует главным образом на электронную волновую функцию Аналогичным образом второй член отражает тот факт, что оператор ядерного дипольного момента не зависит от электронных координат. Более того, поскольку собственные электронные волновые [c.106]

Изложенное выше, вообще говоря, справедливо постольку, поскольку все описанные измерения проводятся в один и тот же момент времени, или одно непосредственно сразу после другого. Это обусловлено эволюцией системы в промежутке между измерениями, которая вытекает из нестационарного уравнения Шредингера (3.11). Хотя сразу после проведения измерения система и описывается собственной функцией измеряемой физической величины, волновая функция системы после измерения изменяется в соответствии с (3.11) и становится смесью собственных функций оператора Гамильтона. И лишь только когда физическая величина имеет те же самые собственные функции, что и гамильтониан системгл, результат ее измерения оказывается не зависимым от времени. [c.77]

С помощью коэффициентов Клебша — Гордана составим такие комбинации этих функций, чтобы они были собственными функциями оператора полного углового момента. Для I, 1 + 1 линейные комбинации [c.41]

С целым I. Кратность вырождения уровня Е1 равна 21 + 1. Соответствуюпще ему собственные функции являются также собственными функциями оператора квадрата момента количества движения. Их всегда можно выбрать так, чтобы они бьши еще и собственными функциями оператора Х3. [c.152]

Сравнивая (13.15) с (12.23), мы видим, что в рассматриваемом случае составляющие оператора полного момента количества движения совпадает (с точностью до множителя) с инфинитезимальными операторами прямого произведения представлений и. Поэтому наша задача просто сводится к разложению прямого произведения двух неприводимых представлений группы вращений на неприводимые представления. Применяя правило Клебша—Гордана, мы получаем, что квантовое число Ь может принимать значения /1+ 21 Л + 2 - 1, , 1 1 Собственные функции операторов и согласно (12.28) имеют вид [c.153]

В случае системы слабо взаимодействующих тождественных частиц существует еще одно важное представление — представление Чисел заполнения, или представление вторичного квантования. Для слабо взаимодействующих систем можно приближенно ввести одночастичные волновые функции (<7,). Эти функции описывают состояния отдельной частицы в отсутствие всех остальных. Удобно считать, хотя это и не является необходимым, что функции <Рк й1) являются собственными функциями некоторого эрмитова одночастичного оператора Ь — оператора энергии частицы, импульса частицы, момента импульса частицы и т. д. Это значит, что функции <р к удовлетворяют уравнению [c.349]

Преобразование /(X) под действием 2 о сводится, в силу первого порядка этого дифференциального оператора, к движению начальных значений X по классическим траекториям. В квантовом случае для нелинейных систем — 2 о — о" 0, и движение сопровождается дополнительной квантовой диффузией, описьгоаемой оператором 2 d, разложение которого по степеням д/дХ содержит только нечетные степени, начиная с третьей. Эта диффузия носит обратимый характер 2 = —2 , т. е. S — ан-тиэрмитов оператор. Собственные значения оператора чисто мнимые, т. е. Я, = со, а собственные функции удовлетворяют условию / ш (X) = / (X). Если гамильтониан 3 не зависит от времени, то эволюция к моменту времени i описывается оператором 5(i) = exp(S i), и ее обратимость означает, что возврат к начальному состоянию может быть достигнут также путем динамической эволюции с лиувиллианом S = —2 . [c.386]

Следует особенно подчеркнуть замечательный успех описанных выше методов, потому что другие методы, основанные на разложении решения линеаризованного уравнения Больцмана в ряды по ортогональным полиномам, не оправдали ожиданий. В первом из этих методов, которым пользовались Ван Чан и Уленбек [57], а также Пекерис и его сотрудники [58], решение раскладывалось по собственным функциям максвелловского оператора результаты совершенно не согласовались с экспериментом. Поскольку Пекерис с сотрудниками использовал 483 момента ( ), мы заключаем, что их разложение, если оно и сходится, не приводит к правильному решению для больших значений со. [c.376]

Эта схема успешно использована для колебательной диагона-лизации КВ гамильтониана, преобразования оператора дипольного момента двухатомных молекул и оператора дипольного момента в молекулярной системе координат для многоатомных молекул. В теории КВ переходов в многоатомных молекулах описанный метод применяют для частичной диагонализации по колебательным квантовым числам полного КВ гамильтониана. В этом случае по-прежнему используют (6.7), но в отличие от обычной схемы условие диагональности Я1 в базисе собственных функций Яо заменяется требованием диагональности Я1 в базисе только гармонических колебательных функций. [c.174]

Спиновая функция входит здесь как множитель, причём в первом случае она симметрична, а во втором—антисимметрична. Во втором случае применение какого-либо из операторов 5 = 5 4-52 к спиновой собственной функции даёт нуль. Уже из этого следует инвариантность этой функции по отношению к вращениям. Это, однако, видно и непосредственно, так как она при любом линейном преобразовании умножается на такой же детерминант преобразования, как и С . ( 13) С (5и) или С+(5,з) С (5л) но, как мы видели, детерминант преобразования вращения для С , С имеет значение 1. Итак, соответствует терм с 5 = 0 (сингулет). Даже тогда, когда благодаря инвариантности оператора Гамильтона по отношению к вращениям одному и тому же значению энергии принадлежит несколько и и несколько и (с не равным нулю результирующим вращательным моментом орбитального движения) включение энергии возмущения не вызывает дальнейшего расщепления терма. В случае и(х) = и(х) первый нормирующий множитель в заменяется на так что можно просто писать u x)v x). В первом приближении, т. е.-пренебрегая Я(2), получаем для возмущение терма [c.197]

Динамика состояния поля. До сих пор мы не учитывали зависимости векторов и операторов от времени. Будем считать, что все написанные выше соотношения относятся к фиксированному моменту времени = 0. По определению в этот момент векторы и операторы в различных временных представлениях ( 2.3) совпадают а ( о) = а ( о) = Я- Таким образом, две наши системы базисных функций являются собственными векторами шредиа-геровских операторов невозмущенной энергии и уничтожения фотонов и относятся к моменту [c.99]

Паули. Так как мы не интересуемся какими-либо другими движениями данного г-го атома, то будем определять внутреннее состояние г-го узла решетки квантовым числом = (Ti = 1. Взаимодействие магнитного момента /i, с внешним полем Н = (О, О, Я) изобразится как Ui = -/х,Н = рН(Г . Взаимодействие же узлов друг с другом определится главным образом не прямым спин-спиновым взаимодействием, а (как в квантовой теории молекулы водорода) будет связано с перекрытием электронных волновых функций, относящихся к различным узлам, и возникновением помимо классического кулоновского также и обменного взаимодействия узлов, знак которого существенно определяется взаимной ориентацией спинов рассматриваемых электронов. Так как оператор спинового обмена, введенный Дираком, имеет вид Р(<г , (Tj) = (1 -t- <г, г )/2 (собственные значения этого оператора для параллельной и антипараллельной ориентаций спинов г,- и trj, как легко показать непосредственно, равны -t-1 и — I соответственно), то взаимодействие г-го и j-ro узлов можно записать как = onst - /(п - Tj) (n[c.333]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...