Функция собственная (мода)

Напряженность электрического поля можно представить в виде ряда по собственным функциям нормальных мод резонатора [c.361]

При решении задач теплообмена излучением с помощью метода разложения по собственным функциям приходится интегрировать в полном и половинном диапазонах изменения ц различные функции нормальных мод. Ниже приведены различные интегралы нормировки, соотношения ортогональности и некоторые полезные интегралы, содержащие собственные функции для случая изотропного рассеяния. Выводы приведенных выражений и бол е полные таблицы можно найти в оригинальных публикациях [1, 2, 6, 25]. [c.402]

В данном разделе мы подытожим все сказанное об основных уравнениях в предыдущих разделах. Это даст возможность читателю, которого не интересует их детальный вывод, приступить к этим уравнениям прямо здесь. Дадим вначале интерпретацию величин, входящих в лазерные уравнения. К таким величинам относится напряженность электрической составляющей светового поля в лазере. Эту функцию, которая зависит как от координат, так и от времени, следует искать в виде разложения по собственным модам резонатора и (х). Индекс X характеризует различные моды. Предположим, что моды резонатора нормированы на объем резонатора н взаимно ортогональны. Рассмотрим открытый резонатор, кото-торый образован двумя зеркалами, установленными на противоположных концах лазерного стержня. Одномерным примером такой моды может служить стоячая волна [c.134]

Этот оператор обладает собственными функциями, которые строятся как произведения собственных функций отдельных мод [c.144]

При рассмотрении квантовых состояний поля удобнее описывать поле не непрерывными переменными, а с помощью дискретной последовательности динамических переменных. Предположим поэтому, что рассматриваемое поле заключено в пространственном объеме конечного размера, и разложим векторный потенциал внутри этого объема по соответствующему набору векторных функций собственных состояний, или мод. Амплитуды, связанные с такими колебаниями, образуют дискретный набор переменных, динамическое поведение которых рассмотреть весьма просто. [c.69]

Поскольку многие типы нестационарных полей можно представить с помощью функций собственных значений, то построение соответствующих квантовых состояний не вызывает затруднений. В качестве примера можно рассмотреть амплитудно-модулированную плоскую волну. Для этой цели используем конкретный набор функций мод, определяемых выражением (2.9). Тогда, если несущая имеет частоту (О, а модуляция является периодической с частотой С , где О < < 1, то соответствующую функцию собственного значения можно записать в виде [c.107]

Системы подобного рода решаются проще всего при малых возмущениях когда моды возмущенного резонатора лишь немного отличаются от мод исходного. Действительно, найдем с помощью системы (3.1) собственную функцию и слабо возмущенного резонатора, близкую к [c.147]

Решением этого уравнения являются функции (х, у), которые представляют собой различные нормальные типы колебаний резонатора и описывают распределение поля на поверхности зеркал. Каждому нормальному типу колебаний соответствуют свои потери и фазовый сдвиг за один проход, определяемые соответствующим собственным значением у п- Сокращенно нормальные типы колебаний называются модами и обозначаются как ТЕМ ,. Индексы т, п, обозначающие число изменений знака поля на поверхности зеркал, называются поперечными q — равно числу полуволн, укладывающихся на длине резонатора. Индексы q называются продольными, или аксиальными. [c.132]

Если предположить, что волновое поле может быть представлено в виде ряда по собственным функциям оператора перехода Ф , то тогда на промежутках колебания в волноводе при удалении на бесконечность будут затухать (волновод заперт), а на промежутках О сп будут присутствовать незатухающие моды (волновод открыт). Так как 0,Rn и сп чередуются, то и полосы запирания и пропускания волновода будут чередоваться. Таким образом, имеем полосатость полосы пропускания, которая была отмечена ранее для слоистых областей типа полуплоскости в [157, 185] и др. Непересекающихся промежутков не менее двух, если весь волновод не является однородным. [c.230]

Е д (х, y)ip (2), где J д, — система ортогональных собственных функций, соответствующих волноводным модам. Дпя волновода с мягкой и жесткой границами [c.177]

Таким образом, получаем, что первоначальное поле в резонаторе, по мере обходов резонатора, эволюционирует, стремясь к некоторому стационарному, с точки зрения поперечной структуры, полю, описываемому одной из собственных функций оператора Ь. Такие установившиеся, стационарные структуры в резонаторе называют поперечными модами резонатора. Изучение резонатора в значительной степени сводится к изучению его модовой структуры. [c.128]

В случае, когда функция Г — действительная, можно усмотреть егце одно свойство подобия. При переходе к системе уравнений, комплексно сопряженных с уравнениями (2.47а) и (2.476), легко увидеть, что полученные уравнения описывают моды резонатора, в котором коэффициенты А, и А2 заменены на —А, и —А2. При этом поперечная структура мод и соответствующие собственные значения нового резонатора имеют вид [c.137]

Остановимся теперь на характеристиках критических возмущений для разных мод неустойчивости. Собственные функции линейной задачи изучались в работе В.М. Мызников а [7]. [c.206]

Коэффициент потерь собственной волны зависит от поперечных индексов. В резонаторах с зеркалами ограниченной апертуры наименьшими потерями обладают основные волны. Моды высших порядков характеризуются большими потерями, причем в устойчивом резонаторе коэффициент потерь оказывается монотонно возрастаю-ш,ей функцией поперечных индексов собственной волны. [c.14]

Собственные функции дают распределение поля на зеркалах для каждого из возможных типов колебаний. Соответствующее данному типу колебаний комплексное собственное значение определяет коэффициент затухания моды в результате дифракционных потерь за один проход волны в резонаторе (модуль собственного значения), а также частоту генерации (аргумент собственного значения). [c.194]

Начальные значения Л , Л и В , В для уравнений (32) получаются на основе распределений смещений бги скоростей г в некоторый начальный момент времени t = to Отметим, что на практике обычно наблюдаются низшие моды колебаний п = 2, 3,... высшие моды п 1 весьма быстро затухают вследствие влияния диссипации, нелинейностей и других возмущающих факторов. Кроме того, из (32) следует, что частоты собственных колебаний не зависят от длины оболочки I. Уравнения независимы и элементарно интегрируются в тригонометрических функциях. [c.55]

Пространственная структура поля в резонаторе рассчитывается на основе интегральных уравнений, связывающих поле на зеркалах резонатора. Решением этих уравнений являются собственные типы колебаний или моды резонатора, обладающие разной пространственной структурой и соответственно угловой расходимостью. Минимальной угловой расходимостью обладает нулевая мода, распределение поля в которой для устойчивого резонатора описывается гауссовой функцией. [c.138]

Для решения одномерной задачи переноса излучения может быть использован метод разложения по собственным функциям (нормальным модам), Предложенный Кейсом [1] в 1960 г. для строгого решения одномерного уравнения переноса нейтронов. В этом методе решение уравнения переноса излучения записывается в виде линейной суммы собственных функций для однородной части уравнения переноса излучения и частного решения неоднородного уравнения. Неизвестные коэффициенты разло жения, фигурирующие в решении однородного уравнения, опрег деляются таким образом, чтобы полное решение удовлетворяло граничным- условиям задачи при этом используются свойство ор.тогональности собственных функций и различные интегралы нормировки. Данный метод аналогичен классическому методу разложения по ортогональным функциям. [c.378]

В предыдущем разделе мы рассматривали некоторые общие свойства мод диэлектрического волновода и, в частности, получили решения для локализованных мод, распространяющихся в волноводном слое. Волноводные моды могут быть возбуждены и распространяться вдоль оси (г) диэлектрического волновода независимо друг от друга при условии, что диэлектрическая проницаемость е(х, у) = е п (х, у) сохраняется постоянной вдоль оси z. В случае когда имеется возмущение диэлектрической проницаемости Де(г, v, z), обусловленное несочершенствами волновода, искривлением оси, наличием гофра на поверхности и т. п., собственные моды оказываются связанными между собой. Иными словами, если на входе волновода возбуждается чистая мода, то некоторая часть ее мощности может перейти в другие моды. Существует большое число экспериментов и устройств, в которых намеренно создают взаимодействие между такими модами [2—5, 7]. Два типичных примера относятся к преобразованию мод ТЕ ТМ электрооптическими методами [4, 5], с помощью акустооптического эффекта [2] или взаимодействия прямой и обратной мод из-за наличия гофра на одной из границ волновода. В данном разделе для описания такого взаимодействия мод мы используем теорию связанных мод, развитую в гл. 6. Некоторые из важных результатов можно кратко описать следующим образом. Возмущение диэлектрической постоянной представляется небольшим возмущающим членом Ле(х, у, г). Тогда тензор диэлектрической проницаемости как функция пространственных координат запишется в виде [c.459]

Наиболее распространенным источником малых волновых аберраций первого порядка (оптический клин) является непараллельность зеркал. В этом случае F(x) — 1 = 2ikex, где е — угол между зеркалами. Поскольку F — I является антисимметричной функцией х, не равны нулю только Р 1 с четными т — /1. Несложный анализ показывает, что с увеличением угла разъюстировки е центр тяжести распределения поля монотонно смещается в сторону более удаленных друг от друга краев зеркал (противоположный вывод в [80] основан на неточности в рассуждениях). В частности, выражение для собственной функции низшей моды имеет вид и о Uq + A ea X)Nui ([57] рис. 3.6а). В соответствии с этим выражением основная мода оказывается заметно деформированной уже пр и крайне малых углах разъюстировки. Когда е достигает значения Х/(4аЛ ) (что соответствует разности оптических длин на противоположных краях резонатора X/27V), угловая расходимость излучения основной моды примерно удваивается [120] одновременно сама теория возмущений перестает быть применимой для описания этой моды. Такая чувствительность к ничтожным аберрациям приводит к тому, что наблюдать мало искаженную низшую моду плоского резонатора с большим N в опытах с лазерами не удается практически никогда. [c.153]

Уравнение (3) совместно с граничными условиями является задачей о нахождении собственных значений kj,m и собственных функций (f) мод волоконного световодя. Собственные функции слабонаправляющих световодов представляют собой поляризованные в направлении, перпендикулярном оси, моды, обозначаемые в литературе LP [39]. На рис. 1.186 представлены вычисленные нами для различных профилей показателя преломления распределения поля, соответствующие низшей моде LPoi, при безразмерном волновом числе Уз=-А ба[( с— об)/ об1=2,5 (а — радиус сердцевины). Для ряда практически важных случаев эти распределения можно с высокой степенью точности аппроксимировать гауссовской функцией. [c.62]

Уравнения (2.64), (2.65] и (2.67] имеют ряд бобственных функций (пространственных мод) и собственных значений (собственные ча стоты и дифракционные потери), которые находятся численными решениями этих уравнений. [c.88]

Информация о всех собственных функциях дискретного и непрерывного спектра важна для исследования судьбы пространственно локализованного возмущения, внесенного в течение в начальный момент времени. Здесь, очевидно, требуется рассмотреть задачу с начальными данными, разложенными по всем пространственно-периодическим собственным модам вида г )(х, /) = = ехр [/( 1Х + 21/ — ксп1) п[г) (где к= а п — номер [c.116]

Рио. 1. Прорежевие спектра мод при замене закрытого (о) резонатора открытым (б) <г, г — собственные частоты (,) , ш - - ш" резонаторов, а, е — амплитуды колебаний в резонаторах как функции частоты а> возбуждающего сигнала. [c.485]

Следовательно, полученное распределение будет собственным решением уравнения (4.81а). Этот способ позволяет рассчитать также собственные значения и, следовательно, как было показано выше, дифракционные потери и резонансную частоту данной моды. Если первоначальное распределение поля представляет собой четную функцию величины I, то в конечном итоге мы получим четную моду, в то время как для нечетных мод первоначальное распределение поля должно быть нечетной функцией величины . В качестве примера на рис. 4.21 Приведены результаты, полученные для амплитуды поля U = U x/a,N) в случае, когда начальное распределение поля Ui выбрано однородным и симметричным (т. е. Ui = onst). При N = 6,25, чтобы достичь стационарного решения, необходимо приблизительно 200 проходов, как показано на рис. 4.22. Аналогично антисимметричная мода низшего порядка получается в том случае, когда первоначальное распределение выбирается однородным и антисимметричным (т. е. = 1 при 0[c.194]

Мода ТЕМц т = 1= ). Собственная функция в этом случае имеет вид Uu x, y)=Hi x)Hi y)exp[—n x + y )/LX], а соответствующая зависимость поля вдоль осей х и у приведена на рис. 4.27. [c.200]

Аналогичным образом можно найти собственные функции и распределения мод более высокого порядка, например ТЕМго и ТЕМз1 на рис. 4.28. Следует заметить, что в общем случае индексы т и I равны числу нулей поля (за исключением нулей при л- = оо и у = оо) соответственно вдоль осей хну. [c.200]

Все это побудило нас с Аникичевым [27] использовать известный в операторном анализе простой и эффективный прием, позволяющий обойти трудности, связанные с наличием вырождения собственных функций резонаторов из бесконечных зеркал. Этот прием в обсуждаемой ситуации сводится к тому, что искомые моды возмущенного резонатора ищутся в виде суммы не бесконечного, а конечного числа р образующих комплекс с единой частотой исходных мод. В это число включаются моды, в наибольшей степени связанные между собой светорассеянием за счет возмущения (соответствующие матричные элементы оператора возмущения относительно велики, а разности собственных значений малы). В результате такого приближенного представления решений система (3.1) из бесконечной переходит в систему из р уравнений относительно р неизвестных коэффициентов йуп, малость каких-либо из которых уже не предполагается. Далее следует стандартная процедура требование существования ненулевых решений приводит к характеристическому уравнению, из которого находится р значений /3. Каждому из них соответствует свой набора , определяющий одну из собственных функций возмущенного резонатора в данном приближении. [c.150]

Крзошомасштабные аберрации в неустойчивых резонаторах. В случае неустойчивых резонаторов разлагать в ряды по собственным функциям нельзя [28], и от теории возмущений приходится отказаться зато геометрический подход может быть использован уже без каких-либо оговорок и в еще более простой модификации. Дело в том, что ход лучей, соответствующих низшим модам плоского резонатора, сильно меняется под воздействием самых ничтожных фазовых аберраций (ср. рис. 2.18 и ЪПа), В то же время на протяжении большей части сечения неустойчивого резонатора шаги луча по зеркалу столь велики ( удаление луча от оси на каждом двойном проходе возрастает в М раз), что небольшие аберрации на траекторию луча практически не влияют. Поэтому здесь можно считать ход лучей совпадающим с ходом при идеально однородной среде, а величину набегающего за счет неоднородности искривления волнового фронта — равной разности оптических путей по соответствующим траекториям. [c.159]

В случае- строгого вырождения в соответствии с (1.60) в любой точке резонатора прямая и встречные волны складьшаются в фазе. Это означает, что линейный резонатор с одним обращающим зеркалом автоматически является добротным на любой частоте накачки и в этом смысле не обладает выделенными собственными частотами продольных мод [65]. Следствием этого является также неопределенность фазы собственного значения в уравнении (1.59), поскольку функция (г) = Ф (г)ехр(- (i/2) ащр) также является его решением. При невырожденном четырехволновом смешении полное воспроизведение всех характеристик волны происходит не за один обход резонатора, как при обычных зеркалах, а за два, т.е. на длине 4L. При этом автоматически компенсируется дополнительный набег фазы в нелинейном элементе. В результате спектр продольных мод линейного резонатора оказьшается вдвое более густым [c.38]

Следовательйо, собственные значения (13.3.18) в точности согласуются с недиссипативными гидродинамическими модами. Собственные функции фа образуют совокупность ортонормированных функций [c.98]

Математически это обстоятельство связано с нашим методом нахождения гидродинамических мод как возмущений инвариантов Столкновений. Анализ собственных значений в бесстолкновителъ-ной системе был бы совершенно иным. Мы уже не имели бы права взять в качестве базиса для отыскания г однородные собственные функции Скорее 1ш должны были бы непосредственно рассмотреть задачу на собственные значения ) [c.101]

Вообще говоря, со и к комплексны, и уравнение (7.1) имеет решение, только если со и к удовлетворяют специальному соотношению в соответствии с допустимыми значениями со и к можно найти функции g, которые либо интегрируемы с квадратом ( собственные решения ), либо нет ( обобщенные собственные решения ). В первом случае соотношение между со и к обычно называют дисперсионным соотношением, а решение g ехр [ к-х + i oi] — нормальной модой. Комбинация собственных решений и обобщенных собственных решений дает общее решение линеаризованного уравнения Больцмана [c.164]

Для быстрых волн обнаружено бесконечное количество мод, которые характеризуются числом М, принимающим целочисленные значения М = О, 1, 2, 3.... Первые пять мод показаны на рис. 4.41. Особенность быстрых мод заключается в том, что их собственные функции очень быстро затухают с удалением от оси вихря. Можно полагать, что они отличны от нуля в области радиальных расстояний, много меньщих размера ядра вихря. Учитывая это условие, Leibovi h et al. [1986J вывели асимптотическую формулу для дисперсионного соотношения в случае длинных волн к 1), причем с произвольным значением те [c.239]

Таким образом по мере эволюции поля в резонаторе устанавливается некоторое квазистационарное распределение поля, называемое модой резонатора. Распределение комплексной амплитуды поля в поперечном сечении резонатора описывается функциями Пг, являюгцимися решениями интегрального уравнения (2.18). Модуль собственного числа уравпепия щ описывает потери г-ой моды. Знание аргумента величины щ позволяет определить из уравнения (2.23) спектр резонансных частот. Исследование резонатора методом интегрального уравнения сводится таким образом к построению и решению уравнения (2.18). [c.129]

В качестве функций невозмущепного оператора чаще всего используют либо гауссовы пучки моды резонатора с гауссовыми элементами, либо собственные функции конфокального резонатора. Последние используются особенно часто, так как позволяют построить приближенное решение, учитывающее в нулевом порядке дифракционные эффекты [40. [c.166]

Если возмущения отсутствуют (нулевые массовые силы и однородные граничные условия), то задача о прогрессивных волнах сводится к задаче на собственные значения. Собственным значением здесь является фазовая скорость с, которая в общем случае неявным образом определяет зависимость с = (q) и соответствующую систему собствеппых функций [мод) Т4(д, ж ). [c.303]

Для резонатора с круглой апертурой коэффициент дифракционных потерь определяется собственным значением уравнения (3.276) ар/= 1 — 7р/ 2. Коэффициенты потерь для низших мод представлены на рис. 3.6. Используя асимптотическое представление обобщенных радиальных волновых функций, Слепьян [29, 30] вывел соотношение [c.62]

Анализ собственных типов колебаний резонатора показывае что собственны.ми функциями сопряженного резонатора являюта вытянутые сфероидальные функции, т. е. те же функции, которы являются модами конфокального резонатора. Как известно, од приближенно описываются функциями Гаусса — Эрмита или Гауе са — Лагерра [21. Число Френеля для этого резонатора опредя ляется как [c.190]

Re / ) —это обстоятельство объясняет, почему при Re = oo (в слу чае идеальной жидкости) плоское течение Пуазейля оказывается устойчивым по отношению к любым возмущениям. Гроне (1954) обнаружил также, что уравнение Орра—Зоммерфельда для плоского течения Куэтта имеет и высшие моды собственных чисел и функций, которым отвечают только затухающие возмущения эти высшие моды позже детально исследовались многими авторами (см. Бетчов и Криминале (1967), Гольдштик и Штерн (1977) и Дразин и Рид (1981)). [c.108]

До сих пор мы говорили лишь о нейтральных и неустойчивых возмущениях в пограничном слое. Естественно думать, что все эти возмущения относятся к низшей моде собственных функций соответствующего уравнения Орра—Зоммерфельда, имеющего, кроме того, еще последовательность быстро затухающих высших мод, подобных изученными Гроне (1954) и другими авторами (ср. Грош и Салвен (1978)) для плоских течений Куэтта и Пуазейля. Для пограничного слоя эти высшие моды рассматривались, в частности, Корнером, Хьюстоном и Россом (1976), но в случае течения в пограничном слое (и других плоскопараллельных течений в неограниченном слое жидкости) и они не исчерпывают всего спектра собственных функций. Дело в том, что в таких течениях обычно имеется еще и непрерывный спектр собственных значений, которому также отвечают только затухающие возмущения (см. по этому поводу работы Гроша и Салвена (1978) и Салвена и Гроша [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...