Собственные функции типа шепчущей галереи

Метод эталонных задач излагается на примере плоской задачи о собственных функциях типа шепчущей галереи (гл. 6) и типа прыгающего мячика (гл. 7). [c.15]

Подводя итоги, мы можем сказать, что при 1 и сравнительно небольших значениях р собственные функции эллипса Upg, соответствующие собственным значениям kpq, имеют эллиптическую каустику и сосредоточены в окрестности границы области. Чем меньше р, тем меньше, как это следует из уравнения (5.10), должна быть разность а —Оо, т. е. тем тоньше будет эллиптическое кольцо, в котором собственные функции осциллируют и за пределами которого экспоненциально затухают. Такие сосредоточенные в окрестности границы собственные функции мы будем называть собственными функциями типа шепчущей галереи. Если р>1, а q принимает сравнительно небольшие значения, то собственные функции Up, имеют гиперболическую каустику. При этом чем меньше q, тем меньше должна быть разность я/2 — 0о [см. (5.17)], т. е. тем уже будет полоса, окружающая малую ось эллипса, в которой собственные функции осциллируют и вне которой они экспоненциально затухают. В связи с этим собственные функции при р. 1 и 9 = О, 1, 2,. .. могут быть названы собственными функциями типа прыгающего мячика. [c.96]

Собственные функции типа шепчущей галереи [c.102]

Мы видим, что так же, как в уже разобранных случаях собственных функций типа шепчущей галереи, ширина полосы, за пределами которой собственные функции экспоненциально затухают, пропорционально ш- Ч Этот простой вывод из формулы (3.24) имеет важное значение для построений главы 5. В дальнейшем (гл. 5 и 6) мы увидим, что в формулах (3.23), [c.127]

Асимптотика собственных функций типа шепчущей галереи [c.142]

В 1 и 3 главы 4 и в 3 главы 5 были построены лучевым методом в малом и методом параболического уравнения собственные значения и собственные функции, сосредоточенные в окрестности границы плоской выпуклой области. Такие собственные функции были названы собственными функциями типа шепчущей галереи. Было показано, что собственные функции типа шепчущей галереи осциллируют в полосе, толщина которой имеет порядок и экспоненциально убывают за пределами этой полосы. [c.157]

Требуется построить собственные функции типа шепчущей галереи области Q, т. е. отличные от тождественного нуля решения уравнения [c.157]

Собственные функции типа шепчущей галереи, построенные в предыдущих параграфах, не исчерпывают всей совокупности собственных функций с большими номерами. Собственные функции внешности Q, которые будут изучены ниже, тоже представляют собой лишь часть собственных функций, а соответствующие им собственные числа являются серией собственных чисел, наиболее близких к вещественной оси из всех собственных чисел с большими номерами. Для внешности круга в этом -можно убедиться при помощи непосредственных вычислений, которые имеют хотя и громоздкий, но элементарный характер. [c.183]

Метод, которым мы воспользуемся при построении собствен ных функций типа шепчущей галереи, может быть назван ме годом эталонной задачи. По своей основной идее метод эталон ной задачи для уравнения Гельмгольца (уравнения в частных производных) близок к методу эталонного уравнения в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.158]

Собственные функции, сосредоточенные в окрестности границы двумерной области и замкнутой геодезической, расположенной на границе трехмерной области, получили название собственных функций типа шепчущей галереи. Собственные функции, сосредоточенные в окрестности луча, инвариантного относительно отражений в границе области, получили название собственных функций типа прыгающего мячика. (В простейшем случае двумерной области и с (.t, ) = onst луч, инвариантный относительно отражений, совпадает с диаметром области, пробегаемым дважды, в прямом и обратном направлениях.) [c.12]

Оказывается, асимптотика собственных функций типа шепчущей галереи и прыгающего мячика может быть получена методом, представляющим собою видоизменение метода Келле-,ра — Рубинау. Это видоизменение метода Келлера — Рубинау, поскольку оно имеет дело с лучами, принадлежащими достаточно малой окрестности цикла, мы будем называть лучевым методом в малом. Необходимо отметить, что лучевой метод в малом применим в том и только том случае, если соответствующий цикл устойчив в первом приближении. Это обстоятельство указывает на то, что требование устойчивости цикла является не только достаточным, но, по-видимому, и необходимым для существования собственных функций типа шепчущей галереи и прыгающего мячика. [c.13]

В четвертой главе книги лучевым методом в малом построена асимптотика собственных значений, соответствуюш,их собственным функциям типа шепчущей галереи и прыгающего мячика, в различных двумерных задачах с неразделяющимися переменными и переменной скоростью распространения волн с х, г/) =5 onst). [c.13]

В одиннадцатой главе асимптотика собственных функций типа шепчущей галереи применяется в задаче о волновом поле источника, расположенном на вогнутой поверхности тела. В этой задаче мы сталкиваемся с эффектом шепчущей галереи и существованием поверхностной волны интерференционного типа. В случае поверхностного источника в любой сколь угодно малой окрестности границы тела расположено бесконечное число каустик. Это огибающие многократно отраженных от границы лучей. Задачи об асимптотике волновых полей в случае неизолированных особенностей поля лучей до последнего времени почти не рассматривались. Метод нормальных волн (разложение волнового поля в ряд по некоторым специальным решениям волнового уравнения), который обычно используется в задачах такого рода, обладает наряду с несомненными достоинствами и следующим недостатком представление волнового поля суммою нормальных волн не [c.17]

В предыдущей главе лучевым методом в малом были найдены первые члены асимптотики собственных значений шепчущей галереи и прыгающего мячика. Несмотря на эвристичность лучевого метода в малом, построения главы 4 имеют большую ценность. Более точные построения настоящей главы мы проведем, используя некоторые выводы главы 4 в качестве наводящих соображений. В частности, важное значение будет иметь тот результат 3 главы 4, что собственные функции типа шепчущей галереи сосредоточены в полоске, толщина которой при р — 0 ) имеет порядок [c.137]

Параболическое уравнение для и мы получим, пренебрегай в уравнении (2.6) некоторыми членами. Чтобы выяснить, какие члены в уравнении (2.6) являются главными, обратимся к 1 и 3 главы 4, где было показано, что собственные функции типа шепчущей галереи сосредоточены в пбграничнбй"полосе, толщина которой имеет порядок Поэтому естественно предположить, что множитель ослабления существенно отличен от нуля только при значениях я, удовлетворяющих не равенству [c.139]

Простейшей задачей, в которой условие (2.1) выполнено, является задача (1.1), (1.2) для круга при постоянной скорости распространения волн. Задачу (1.1), (1.2) для круга р = onst (л = г — р) можно считать эталонной задачей для целого класса задач, в которых выполняется условие (2.1). В настоящем параграфе мы построим решения уравнения Гельмгольца, сопзедоточенные вблизи границы круга, и соответствующие им собственные функции типа шепчущей галереи (во всех дальнейших формулах этого параграфа величина р является константой). На примере этой простейшей задачи будет угадан вид асимптотических разложений собственных функций типа шепчущей галереи в общем случае. [c.159]

Поведение собственных функций при фиксированном п, как следует ожидать, должно быть аналогично поведению собственных функций задачи, рассмотренной в 1—4 при т = I. С другор стороны, при фиксированном у, естественно ожидать, что собственные функции будут вести себя (при п < 0) аналогично собственным функциям типа шепчущей галереи (см. гл. 6). Последующие построения оправдывают эти предположения. [c.259]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...