Собственные функции существование

В случае же задачи 1 (полагая, что собственные функции союзного уравнения уже найдены и условие существования решения при заданном краевом условии проверено) и задачи 11+ следует воспользоваться соображениями, изложенными в 2 ГЛ. I. Первый прием заключается в том, что ряд (2.18) надо рассматривать в асимптотическом смысле, отказавшись от выполнения сколь угодно большого числа итераций при фиксированной дискретизации поверхности. Второй же прием заключается в корректировке каждой итерации (осуществления ортогонального проектирования на подпространство функций, удовлетворяющих условию ортогональности).Тогда формулы (2.32 ) ГЛ. I преобразуются к виду [c.576]

Все эти уравнения допускают тривиальное решение / = О, что соответствует существованию прямолинейной формы равновесия. В теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений соотношения (11.11)-(11.13) при р[х) = О (или 5 = 0, р х) = Pof x) где f x) — заданная функция) вместе с соответствующими однородными граничными условиями называются задачами на собственные значения S (или ро). Они могут иметь бесконечное множество нетривиальных решений [собственных функций собственных форм) Уп х) (п G N) при S = Sn (ро = [c.375]

В 3 было указано, что степенные потенциалы очень трудны для строгого математического анализа. Единственный достаточна общий результат (неравенство (3.13)) можно получить как следствие первой теоремы 4, применимой также и в случае потенциалов с бесконечным радиусом взаимодействия, если предположить существование (/г, L/г), а не (/г, vA) (последнее в этом случае не имеет смысла). Помимо этого простого и интересного результата, сведения об операторе столкновений при потенциалах с бесконечным радиусом взаимодействия неполны исключение представляет случай максвелловских молекул, для которого можно явно вычислить и собственные значения, и собственные функции. [c.94]

Здесь мы хотим доказать сформулированное выше достаточное условие (2) существования волновода. Как мы видели, для этого нужно убедиться в существовании собственных функций ф оператора А. Для простоты предположим еще, что дно водоема — достаточно гладкая поверхность, а также что й(х) = 1 вне некоторого конечного интервала (рис. 116). [c.315]

Как показано выше, /i = О, /i = sin ( Пф). Поскольку оператор левой части вырожден, для существования решения необходима ортогональность правой части к собственной функции Ui. Эти условия используются для определения коэффициентов С,-. В силу присущей задаче симметрии относительно поворота и отражения коэффициенты С с нечетными индексами оказываются равными нулю. Уравнение для имеет вид [c.73]

До сих пор считалось само по себе разумеющимся существование у уравнения (7.14.4) собственных функций. Доказать, что такие функции действительно существуют, — непростая задача. Действительно, поскольку ядро К12 интегрального уравнения не является эрмитовым, мы не можем использовать результаты хорошо развитой теории эрмитовых операторов. Эта проблема явилась своеобразным вызовом изобретательности математиков, которым в конце концов удалось доказать существование собственных значений уравнения (7.14.4) [28]. [c.530]

Условие (14-7) приводит к линейной системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов 5,, из которой эти коэффициенты и могут быть определены. Собственные значения находятся из условия существования нетривиального решения упомянутой системы уравнений. В результате получим выражения для собственных функций с точностью до постоянного множителя, который затем находится из условия нормирования [c.261]

Свойство (А. 5) не является единственным, согласующимся с (А. 4). В общем случае может быть линейной комбинацией собственных функций Ч " .....4 " , которые все соответствуют одному собственному значению Е . В этом случае собственное значение Е обладает внутренним вырождением, которое не может быть снято введением взаимодействий между частицами, так как всякое добавляемое к гамильтониану возмущение 6 должно обладать свойством = 6. Из сказанного выше вовсе не следует невозможность существования таких внутренних вырождений. Однако природа, по-видимому, не терпит вырождений, так как все опытные данные до сих пор подтверждали соотношение (А. 5) как единственно возможное. Если в будущих экспериментах будут найдены частицы, не подчиняющиеся соотношению (А. 5), то потребуется построение новых типов симметрии, кроме симметрий бозонов и фермионов. [c.484]

В разд. 4.4.3 показано, что для этого случая строго доказано существование собственного значения и что обычно достаточно много известно о соответствующей собственной функции. [c.145]

Существование и свойства положительного главного собственного значения ко, а также соответствующей собственной функции обеспечивают прочную математическую основу при изучении задачи на собственное значение к. Рассмотрим теперь задачу на собственное значение а, определяемую уравнением (4.44) с теми же граничными условиями. Было показано [131, что в этом случае существует главное собственное значение ао, которое является действительным и превосходящим по величине действительную часть любого другого собственного значения. Кроме того, было установлено, что соответствующая собственная функция (и соответствующая сопряженная собственная функция) всегда неотрицательна. Таким образом, задача на собственное значение а также имеет под собой прочную математическую основу. [c.147]

Можно предположить, однако, существование решений уравнения (7.87) для различных отрицательных значений а , причем основной интерес представляет решение для наибольшего (т. е. наименее отрицательного) из этих значений, т. е. а о- Как и раньше (см. разд. 1.5.3), соответствующая собственная функция Фп будет неотрицательной. В разд. 1.5.3 отмечалось, что для достаточно малых систем может не существовать решения уравнения (7.87) для 0.0. При изучении задач термализации можно определить зависимость а о от размеров системы и связать их с теоретическими результатами, использующими различные модели рассеяния. [c.291]

Оно имеет период 2тг, если а и 6 выбраны постоянными, и тогда решение (8) является тривиальным разложением но степеням функций и при А = г. С другой стороны, теорема существования 14 дает прямое разложение в ряд решения но степеням е и е с а = А +..., причем А есть чисто мнимое собственное значение. Очевидно, что решению (8) могут соответствовать собственные значения г. Впрочем, фактически у пас г являются даже многократными корнями, в связи с тем, что в решении (8) а и 6 могут быть линейными функциями времени но это замечание нока еще нельзя доказать, так как в 14 шла речь только о простых собственных значениях. Существование собственного значения А = О также имеет свою причину мы йотом покажем, что это следует из интеграла площадей. [c.156]

Большая часть формул книги получена на основе эвристических соображений, другими словами, выведена из дополнительных по отношению к математической постановке задачи предположений. Эти предположения обычно просты и наглядны. К ним, например, относится высказанный В. А. Фоком принцип локальности в теории высокочастотной дифракции, требование существования у-решения фазы уходящей волны и ряд других. Все математические построения, ведущие от этих исходных предположений к конечным результатам, мы старались при этом выполнить так, чтобы они удовлетворяли обычным требованиям математической строгости. Ряд результатов, полученных на основе эвристических соображений, может быть строго обоснован, но из-за громоздких оценок эти доказательства в книге не приводятся. Исключением является теорема, устанавливающая асимптотический характер разложений для собственных значений в задаче о собственных функциях, сосредоточенных в окрестности границы области. Доказательство этой короткой и изящной теоремы дано в главе 6., [c.19]

Гипотеза о существовании подпоследовательности собственных функций, сосредоточенных в окрестности одномерных циклов, устойчивых по первому приближению, была высказана В. С. Бу л д ы р е в ы м [2]. Ему же принадлежат основные результаты главы 4. [c.441]

Пребывая в тумане предположений и неопределенностей, окружающих теорему Андерсона, хорошо было бы получить и эмпирические данные о таком переходе. Точные собственные значения и собственные функции модельной задачи Андерсона для системы из нескольких сотен узлов нетрудно рассчитать на ЭВМ. Понятие локализации в ограниченной системе строго не определено однако были предложены различные практические критерии существования этого эффекта. [c.426]

Несмотря на то что эта проблема в сравнении с проблемой определения собственных функций и собственных значений по утвердившемуся общему мнению в смысле сложности стоит рангом ниже, она за все время существования статистической механики была решена только для нескольких теоретических модельных систем. [c.75]

Исследование дифференциальных уравнений математической физики в конечной области пространства обычно проводится с помощью перевода их в интегральные уравнения с подходящей функцией Грина [28, 29]. Это обстоятельство объясняется тем, что исходный дифференциальный оператор является неограниченным, тогда как функция Грина в конечной области пространства, удовлетворяющая соответствующим граничным условиям, порождает не только ограниченный, но вполне непрерывный оператор, т.е. оператор с квадратично интегрируемым ядром [45]. Этот оператор можно представить как предел конечномерных операторов и, следовательно, перенести на него (а, тем самым, и на исходный дифференциальный оператор) все существенные теоремы алгебры конечномерных пространств [45] (существование собственных функций, их полнота и разложение по базису, альтернатива Фредгольма, теория возмущений и т.д.). [c.68]

Я должен здесь отметить, что подобное обращение в нуль коэффициента при yj и появление мнимых значений скорости распространения имеют место и в общем случае, а не только для осциллятора. Это — как раз аналитическая причина того, что посредством задания одного условия ограниченности искомой функции выделяются точные собственные значения. Рассмотрим вопрос подробнее. Волновое уравнение с вещественной скоростью распространения, как известно, означает следующее чем меньше значение функции в какой-либо точке среднего значения в окрестности этой точки, тем быстрее возрастает значение функции, и наоборот. Тем самым в данном случае, аналогично более наглядному сходному результату для уравнения теплопроводности, с течением времени происходит сглаживание и невозможен неограниченный рост функции. Волновое уравнение с мнимой скоростью распространения означает как раз обратное значения функции, большие, чем ее среднее значение в окрестности рассматриваемой точки, ускоренно возрастают (а убывают замедленно). Таким образом ясно, что удовлетворяющая этому уравнению функция легко может оказаться неограниченно возрастающей. Чтобы избежать подобного роста, приходится использовать значительные ограничения, что уже приводит к точным собственным значениям. В самом деле, уже на рассмотренном в первом сообщении примере видно, что требование существования точных собственных значений становится сразу невыполнимым, если только выбрать там величину Е положительной, благодаря чему становится действительной во всем пространстве волновая скорость распространения. [c.697]

Решение уравнений движения для простейшей системы. Продолжим рассмотрение системы с двумя степенями свободы (рис. 11.33, а). Это позволит простейшим образом обнаружить основные особенности колебаний систем, имеющих несколько степеней свободы, в частности существование нескольких собственных частот. Попробуем удовлетворить уравнения колебаний (11.129), (11.130) функциями [c.87]

Условие существования ненулевого решения уравнений устойчивости служит для определения критической нагрузки. При решении задач устойчивости удобно считать, что нагрузка меняется пропорционально некоторому параметру Л > О — параметру нагружения. Тогда функции докритического состояния 7 , Л1 ,...) и коэффициенты уравнений устойчивости зависят от Л. Следовательно, задача устойчивости свелась к задаче на собственные значения. В качестве критического значения следует взять наименьшее (положительное) [c.43]

Все это побудило нас с Аникичевым [27] использовать известный в операторном анализе простой и эффективный прием, позволяющий обойти трудности, связанные с наличием вырождения собственных функций резонаторов из бесконечных зеркал. Этот прием в обсуждаемой ситуации сводится к тому, что искомые моды возмущенного резонатора ищутся в виде суммы не бесконечного, а конечного числа р образующих комплекс с единой частотой исходных мод. В это число включаются моды, в наибольшей степени связанные между собой светорассеянием за счет возмущения (соответствующие матричные элементы оператора возмущения относительно велики, а разности собственных значений малы). В результате такого приближенного представления решений система (3.1) из бесконечной переходит в систему из р уравнений относительно р неизвестных коэффициентов йуп, малость каких-либо из которых уже не предполагается. Далее следует стандартная процедура требование существования ненулевых решений приводит к характеристическому уравнению, из которого находится р значений /3. Каждому из них соответствует свой набора , определяющий одну из собственных функций возмущенного резонатора в данном приближении. [c.150]

Функция и(ф) должна удовлетворять условиям периодичности по ф. Нетривиальное решение суш,ествует, когда выполнено 4 + + 2Uo = in m=l, 2, — При этом с учетом произвола выбора начала отсчета угла ф собственная функция может быть записана в виде и = Asin[in(f), а критические значения числа Рейнольдса определяются формулой Re m = я(яг —4), m = 1, 2, — Существование нетривиального решения у линеаризованного оператора является лишь необходимым условием бифуркации, поэтому чтобы выяснить, происходит ли действительно бифуркация и каков ее характер, воспользуемся методом разложения по амплитуде А как по малому параметру [62]. [c.73]

Если спины одинаковых ядер равны нулю (в этом случае ядра подчиняются статистике Бозе и полная собственная функция должна быть симметрична по отношению к перестановке любой пары ядер), то существуют только вращательные уровни типа А как для вращательной подгруппы Со, так и для вращательной группы V. Это бы осуществлялось для молекул NO. и N Oj, если бы они имели плоское и симметричное строение. Если одинаковые ядра имеют спин, неравный нулю, то, для того чтобы по.чучить полную собственную функцию, мы должны умножить на ядерную спиновую функцию, и эта полная собственная функция должна относиться к тому же самому типу симметрии для всех встречающихся уровней. Как и прежде, при надлежащем выборе спиновой функции можно построить полную собственную функцию, которая для всех вращательных уровней будет симметричной или антисимметричной по отношению к любой перестановке одинаковых ядер таким образом, в общем случае возможно существование всех вращательных уровней. [c.494]

Аналитическое исс.чедование волновых функций сложно из-за того, что вообще в квазиклассическом приближении они определены недостаточно хорошо. Впервые квазиклассические волновые функции были подвергнуты серьезному критическому анализу Арнольдом [191] (см. также [16]). На основе исследования специального примера Арнольд высказал гипотезу о существовании в квазиклассическом приближении не мод, а квазимод . Это означает следующее с течением времени волновая функция все меньше становится похожей на колебание (например, типа плоской волны), а расползается достаточно быстро и превращается в квазимоду. Такие функции с достаточной степенью точности удовлетворяют уравнению Шредингера, но могут очень сильно отличаться от собственных функций. В случае квантовых Я-систем, как мы уже видели, такое расползание волновой функции и превращение ее в квазимоду должны происходить экспоненциально быстро вследствие локальной неустойчивости классических траекторий. [c.235]

Существование собственного значения к предполагалось выше иа основе физических соображений. Точнотакже предполагается существование соответствующей ему неотрицательной собственной функции. Для некоторых простых задач был детально исследован спектр собственных значений к. Например, было доказано [30], что в односкоростном приближении (см. гл. 2) с изотропным рассеянием для среды или пластины существует бесконечное число дискретных действительных собственных значений к и что, в частности, наидгеньшее из них является эффективным коэффициентом размножения. В многогрупповом приближении также может быть получена обширная информация о собственных значениях к и собственных функциях (см. гл. 4). [c.38]

Лемма 32.7. Каждому значению Я соответствует конечное число независимых собственных функций и ,. ., Щ+р. Доказательство проведем рассуждением от противного. Предположим существование бесконечного множества линейнонезависимых что возможно в силу условия 4. Проортонормируем их в норме Н, но тогда они в силу (32.52) окажутся ортогональными в Не и, кроме того, [c.297]

К сожалению, метод Келлера — Рубинау в своем первоначальном виде имеет очень узкую область применимости, практически сводящуюся к задачам с разделяющимися переменными. Попытки применить этот метод в более общих случаях наталкиваются на принципиальные трудности, связанные с существованием зон неустойчивости решений динамических систем. Между тем в связи с запросами лазерной техники стала весьма актуальной задача о нахождении асимптотических разложений для собственных функций, сосредоточенных около некоторых замкнутых кривых —одномерных циклов ). [c.12]

Оказывается, асимптотика собственных функций типа шепчущей галереи и прыгающего мячика может быть получена методом, представляющим собою видоизменение метода Келле-,ра — Рубинау. Это видоизменение метода Келлера — Рубинау, поскольку оно имеет дело с лучами, принадлежащими достаточно малой окрестности цикла, мы будем называть лучевым методом в малом. Необходимо отметить, что лучевой метод в малом применим в том и только том случае, если соответствующий цикл устойчив в первом приближении. Это обстоятельство указывает на то, что требование устойчивости цикла является не только достаточным, но, по-видимому, и необходимым для существования собственных функций типа шепчущей галереи и прыгающего мячика. [c.13]

В одиннадцатой главе асимптотика собственных функций типа шепчущей галереи применяется в задаче о волновом поле источника, расположенном на вогнутой поверхности тела. В этой задаче мы сталкиваемся с эффектом шепчущей галереи и существованием поверхностной волны интерференционного типа. В случае поверхностного источника в любой сколь угодно малой окрестности границы тела расположено бесконечное число каустик. Это огибающие многократно отраженных от границы лучей. Задачи об асимптотике волновых полей в случае неизолированных особенностей поля лучей до последнего времени почти не рассматривались. Метод нормальных волн (разложение волнового поля в ряд по некоторым специальным решениям волнового уравнения), который обычно используется в задачах такого рода, обладает наряду с несомненными достоинствами и следующим недостатком представление волнового поля суммою нормальных волн не [c.17]

Указание на возможность использовать лучевой метод для построения собственных значений и собственных функций, сосредоточенных вблизи выпуклой границы произвольной области и ее минимального диаметра, содержится в работе Келлера и Рубинау [1]. Для построений Келлера — Рубинау (см. гл, 3) принципиально важным является предположение о существовании замыкающейся конгруэнции истинных лучей, непрерывно зависящей от достаточного числа параметров. Однако даже для плоской задачи в общем случае, как это следует из работ В. И. Арнольда [2], Ю. Мозера [1] и Д. Ш. Могилевского [1], не существует устойчивых ограниченных кау- [c.440]

ОНИ представляют собой частные случаи восъмивершинной модели ( 1.4) с определенными значениями параметров взаимодействия Jij и /7 в гамильтониане Изинга общего вида (1.26а). Для этой модели матрицу переноса можно выразить через операторы Паули [ср. с формулой (5.109)] и найти общие условия существования матрицы, с которой она коммутирует, т. е. имеет общие собственные функции. Подобно тому как формула Бете (5.91) определяет собственные функции и гейзенберговской цепочки, и плоской модели сегнетоэлектрика (хотя и с очень различными собственными значениями), здесь тоже можно построить общую алгебраическую схему [52], в которой наибольшее собственное значение матрицы переноса выражается в виде функции энергетических параметров задачи. Последние приписываются различным восьмивершннным конфигурациям, изображенным на рис. 1.10. При этом получается, например [53], что зависимость спонтанного дальнего порядка от температуры определяется отношениями названных параметров. Частными примерами могут служить модели Изинга п KDP. Очевидно, наиболее интересным было бы применение этого мощного математического метода к общей теории фазовых переходов [c.217]

Если мы, наконец, добавим предположение симметричности билинейной формы, то задача сведется к нахождению собственных значений и собственных функций компактного симметрического оператора в гильбертовом пространстве V, рассматриваемом со скалярным произведением а(-, ) (симметричность— следствие равенств a Gu, v) — (u, v) v, u) = a(Gv, u)=a u, Gv)). Следовательно, применение спектральной теории таких операторов (см., например, Рисс, Секефальви-Надь [ ]) дает следующий результат, касающийся существования и характеризаций решений задачи о собственных значениях Существует возрастающая последовательность строго положительных собственных чисел [c.280]

Большое число новых важных понятий и соображений было внесено в теорию рассяния в связи с исследованием дифференциальных операторов. В одномерном случае разложение по собственным функциям непрерывного спектра было построено еще в классической статье Г.Вейля [138]. Принципиально труднее многомерный случай. Здесь решающий прорыв произошел уже в пионерской работе А.Я.Повзнера [73. В ней установлено существование решений задачи рассеяния для уравнения Шредингера. Построение таких решений основывается в [73] на предварительном исследовании с помощью альтернативы Фредгольма интегрального уравнения для резольвенты оператора Шредингера. Это позволило отказаться от принятого в [97] условия малости возмущения. В [74 [c.401]

I выражение представляет собой лишь другую му записи полученного выше выражения (6.28). рамкнутое выражение (6 58) позволяет определить. еу антирезонанса, о существовании которой нельзя р догадаться на основании разложения решения Ед по собственным функциям. В точке антирезо- а числитель (6.58) обращается в нуль [c.151]

Основной вариационный принцип. Среди форм движения истинными формами собственных колебаний будут те, которые сообщают дроби Релея стационарные значения. Этот принцип является отправной точкой для получения ряда других вариационных принципов. В дальнейшем будем выражать дробь Релея через энергетические функционалы. Это позволит расширить область допустимых функций за счет функций, которые удовлетворяют кинематическим граничным условиям, но не обязательно динамическим. Кроме того, снижаются требования к дифференци-руемости функций (требуется существование производных, входящих в энергетические произведения, что уменьшает вдвое требуемый порядок производных). Дополненное таким образом энергетическое пространство будем обозначать через Е . [c.171]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...