Функция гармоническая

Пример 9.4.2. Кинетическая энергия и силовая функция гармонического осциллятора имеют вид [c.646]

Любая линейная комбинация гармонических функций является функцией гармонической. Подбирая различные линейные комбинации гармонических функций, можно решить многие практически важные задачи. [c.156]

Между аналитическими и гармоническими функциями имеется тесная связь. Пусть w (г) = и х, у) + iv х, у) — аналитическая функция на области D. Тогда для любых z D существуют частные производные ди/дх, ди/ду, dv/dx, dv/dy и выполняются условия Коши—Римана. Предположим дополнительно, что производные ди/дх, ди/ду, dv/dx, dv/dy сами непрерывно дифференцируемы (можно доказать, что аналитическая функция обладает непрерывными производными любых порядков и, следовательно, это предположение соответствует действительности). Дифференцируя первое равенство (5.6) по х, второе по у и складывая, приходим к уравнению Лапласа (5.7). Точно так же, дифференцируя первое равенство (5.6) по у, второе по д и вычитая, приходим к уравнению Лапласа дЪ/дх -f d v/dy = 0. Таким образом, установлено, что действительная и мнимая части аналитической функции являются функциями гармоническими. Более того, установлено, что функции класса С, связанные условиями Коши—Римана, — гармонические. [c.179]

Отметим ряд свойств гармонических функций. Прежде всего, они бесконечно дифференцируемы. Среднее значение функции, гармонической в шаре и непрерывной в нем вплоть до границы, равно ее значению в центре шара. Справедливо и обратное утверждение функция, определенная в некоторой области и обладающая тем свойством, что ее среднее значение по объему [c.91]

Изложим ряд свойств этих потенциалов (см., например, [11, 54)), объясняющих их роль в теории гармонических функций. Остановимся сначала на свойствах потенциалов простого слоя и двойного слоев. Очевидно, если плотности суммируемы на 5, то потенциалы представляют собой функции, гармонические внутри и вне поверхности. Если для внутренней области (обозначаемой через /)+) доказательство состоит лишь в вычислении всех вторых производных по координатам точки р, то для внешней области (обозначаемой через 0 ) требуется еще проверить неравенство (6.20). Действительно, имеем [c.92]

Из (3.26) следует, что эта функция—гармоническая. Вводя, наконец, функцию фДл , 1/), сопряженную к фДл , /), образуем еще одну гармоническую функцию % х,у), определяемую следующим равенством [c.271]

Образуем теперь новую функцию р = и — рх — ду. С помощью непосредственных вычислений (используя связь между ф(2) и / 2)) можно показать, что эта функция — гармоническая, тогда [c.370]

Следовательно, при постоянстве объемных сил объемная деформация есть функция гармоническая. [c.46]

Этим уравнениям удовлетворим, положив Оф == = 0. Но dr + СТф — функция гармоническая и удовлетворяет уравнению [c.459]

Функции сопряженные 285 (2) Функция гармоническая 282 (2) [c.363]

Функции гармонические, условия симметрии 173, 177 [c.568]

Если теперь через W обозначим функцию, гармонически сопряженную с F р), то выражение расхода получится в виде [c.257]

Поскольку мы рассматриваем стационарную термоупругую задачу, то температура Tj в трубе есть функция гармоническая [c.72]

В центре круга Z = 0 из формул (17.1) или (17.2) следует, конечно, известное свойство функций, гармонических в круге [c.147]

Уравнение (3.3) не учитывает сил инерции, возникающих вследствие поперечных деформаций. Согласно методу Фурье решение уравнения (3.3) и нагрузку представим в виде произведения двух функций (гармонические установившиеся колебания допускают такое представление) [c.126]

Здесь s — номер фононной моды, — свободная энергия. Вычисляя матричные элементы на функциях гармонического осциллятора, а также суммы по Па, приходим К следующему выражению для скоростной константы [c.75]

Эти условия накладывают существенные ограничения на вид случайной функции. Например, простейшая случайная функция (гармонические колебания со случайной амплитудой и постоянной частотой (о) [c.169]

Вдобавок к уже рассмотренным двум типам деформации окрестности вершины трещины существует трещина так называемого параллельного скольжения , или трещина продольного сдвига — тип III деформации — изображенная на рис. 3. Данный тип деформации существует, например, в антиплоском сдвиге, который возникает локально при скручивающей нагрузке. Для такого типа деформации трещины удобной является замена функции напряжений Эри функцией поперечных перемещений при антиплоском сдвиге w x,y) уравнения равновесия удовлетворяются, если эта функция гармоническая. Обозначим функцию перемещений через Zm тогда [c.22]

Последнее сразу же следует из (1.3.3), но надо заметить, что три бигармонические функции и, v, w не независимы действительно, по (1.3.8) вектор и представим (при /С = 0) через четыре гармонические функции — гармонический вектор а и гармонический скаляр О [c.127]

Правая часть представляет значение на границе области функции, гармонической в области 2 > 0 д(и дг — также гармоническая в этой области функция. Итак, равенство (2.5.8) выполняется во всем полупространстве г > 0. Поэтому, сославшись еще на (2.3.8), имеем Рз P h д 1 [c.232]

Действительно, определяемая этим равенством функция — гармоническая она удовлетворяет краевому условию (2.7.1), что следует из (2.3.6). [c.234]

Ф (дг, у) при отсутствии объемных сил является функцией гармонической, т. е. она удовлетворяет дифференциальному уравнению Лапласа, а именно [c.587]

По повторяющемуся индексу производится суммирование. Таким образом, если интенсивность массовых сил — функция гармоническая, то объемный интеграл (II 1.27) можно преобразовать в граничный, воспользовавшись формулами Грина и Остроградского — Гаусса. Та- [c.64]

Наиболее часто используются матричные элементы операторов Р и Q в базисе волновых функций гармонического осциллятора. Из формул (8.166) и (8.171) следует, что [c.213]

Задачи 8.5. Определите матричный элемент <Ф4 Рр 1Фз> для базисных функций гармонического осциллятора Фз и Ф4 (с w = 3 и 4 соответственно) из данных табл. 8.2. [c.214]

Применив к уравнению (3) операцию rot, получим Д rot ui = 0. На бесконечности должно быть rot Ui = 0. Но функция, гармоническая во всем пространстве и обращающаяся в нуль на бесконечности, равна нулю тождественно. Таким образом, rot Ui = О и соответственно этому можно писать Uj в виде Ui = = grad ф. Из (3) получаем [c.43]

Следовательно, минимум функционала существует и достигается на элементе vo Можно доказать, что обобщенное решение задачи Дирихле является функцией, гармонической в области П. [c.144]

Здесь г" = (а , - 10 + ( 2 - Ь)" + г", dS = dl . Функция х , z) определяемая формулой (11.7.1), где интеграл берется по всей плоскости 2 = 0, удовлетворяет уравнению Лапласа и нормальная производная ее (д 1р/дг)г=о =—т ха). Интеграл (11.7.1) называется потенциалом простого слоя плотности тп ха.). Функция — гармоническая, так как г — гармоническая функция координат Ха, Z, а пнтегрированпе ведется по переменным Вычислим теперь производную [c.371]

Приложения к задаче Дирихле. Функция, гармоническая в любой точке области, ограниченной поверхностью 5, и принимающая в каждой точке М этой поверхности заданные значения / (М), может быть представлена как потенциал двойного слоя, плотность которого (А<Л1) удовлетворяет следующему интегральному уравнению (см. стр. 248) [c.261]

На рис. 2.4 представлен двухъямный адиабатический потенциал, рассчитанный по формуле (6.11), и найденные с его использованием энергетические уровни Ei и соответствующие им волновые функции ipi q). Энергетические интервалы между уровнями изображены в соответствие с расчетом. Волновые функции двух нижних уровней в каждой из ям напоминают функции гармонического осциллятора. [c.71]

Собственными функциями п) тамилътоняаяа. поперечного электромагнитного поля Hj служат функции гармонического осциллятора. [c.257]

Учитывая, что А xJR) = —2xjR , а также полагая, что распределение температуры — функция гармоническая (АГ = 0), можно записать [c.65]

В результате применения приближения Борна — Оппенгеймера, использования электронных орбитальных функций в виде МО ЛКАО в самосогласованном поле (ССП) и приближения жесткого волчка и гармонического осциллятора для колебательно-вращательного гамильтониана получены полезные приближенные ровибронные волновые функции. Такие функции представляются в виде произведения вращательных колебательных и электронных орбитальных волновых функций Фг, Фу и Фео соответственно. В соотношении (8.111) Фг дается для молекулы типа симметричного или сферического волчка, а линейная комбинация таких функций определяет Фг для молекул типа асимметричного волчка. Функция Фу является произведением функций гармонических осцилляторов, а Фео — произведением молекулярных орбитальных функций, определяемых по методу ЛКАО. В гл. 10 будет показано, как эти функции можно классифицировать по типам симметрии, а в гл. 11 рассматриваются отклонения от различных принятых здесь приближений. [c.220]

Теоретическая механика (1987) -- [ c.268 ]

Гидравлика. Кн.2 (1991) -- [ c.2 , c.282 ]

Механика сплошной среды. Т.2 (1970) -- [ c.155 , c.161 ]

Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 2 (1978) -- [ c.43 , c.47 ]

Теплотехнический справочник том 1 издание 2 (1975) -- [ c.8 , c.55 ]

Теоретическая гидродинамика (1964) -- [ c.133 , c.465 ]

Аэродинамика Часть 1 (1949) -- [ c.165 , c.215 ]

Гидравлика (1984) -- [ c.561 ]

Теория упругости и пластичности (2002) -- [ c.57 ]

Теория упругости Изд4 (1959) -- [ c.213 , c.250 ]

Механика сплошной среды Т.1 (1970) -- [ c.343 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...