Союзное уравнение

Это уравнение называется союзным или транспонированным к уравнению (2.1). Очевидно, что резольвента союзного уравнения получается из резольвенты исходного уравнения перестановкой аргументов х к у, поэтому они имеют одинаковый определитель Фредгольма, а значит, и совпадающие полюсы. [c.39]

Следует остановиться на вопросе о решении интегральных уравнений, когда %. есть собственное значение (как принято говорить, расположенных на спектре). Во-первых, необходимо определить собственные функции союзного уравнения, а во-вторых, проверить выполнение условий (2.25). Первая задача оказывается весьма сложной, поскольку воспользоваться формулой [c.46]

Однако, даже если условия разрешимости тем или иным образом установлены, численная реализация метода последовательных приближений оказывается, вообще говоря, связанной с некоторыми трудностями. Дело в том, что погрешность реализации (погрешность квадратурных формул), как правило, ведет к нарушению условия (2.25) и дополнительных условий (2.25 ). Устранить вызванную этим явлением неустойчивость (вернее, расходимость) было бы очень просто, если бы наряду с собственными функциями союзного уравнения были бы известны собственные функции исходного уравнения. Тогда надо просто перейти к уравнению (2.24) и решать его, не пренебрегая малыми добавками, которые будут вноситься слагаемыми Ф (л ) ф ( ). Строго говоря, эти добавки равны нулю, но из-за погрешности квадратурных формул они будут отличны от нуля и приводить к сходящемуся процессу. Переход за счет тех или иных слагаемых к уравнениям, не расположенным на спектре и эквивалентным исходным, при условии (2.10) может осуществляться с помощью других искусственных приемов. [c.46]

Аналогичным образом может быть рассмотрен и вопрос о разрешимости союзного уравнения, причем индекс вспомогательной задачи Римана в этом случае у = —у. [c.53]

При построении этих уравнений применялась формула интегрирования по частям с использованием условия (0/(с1/) = = оз,(6/) = 0. Поскольку разыскиваются лишь ограниченные (можно показать, что из условия ограниченности следует обращение решения в нуль) на концах решения уравнения (8.7), то индекс уравнения будет равен (—т). А это значит, что уравнение оказывается разрешимым лишь ири выполнении условия (3.14) гл. I, выражающего ортогональность правой части всем собственным функциям союзного уравнения (обращающимся в бесконечность на концах), что и приводит к условиям на постоянные С/. [c.429]

Поскольку уравнение (2.2) имеет шесть собственных функций при Х = —1, то и союзное уравнение (2.3) будет иметь шесть собственных функций, которые обозначим через фг,. Образуем потенциалы 1 (р, фг ). Поскольку эти потенциалы соответствуют нулевым краевым условиям в напряжениях, то они и представляют собой смещение тела как жесткого целого ). [c.560]

Перейдем теперь к рассмотрению задачи 1 . Здесь использование представления смещений в виде потенциала двойного слоя сразу приводит к ограничению на поведение решения в бесконечности ( и(р) ] < с/Д ), хотя по постановке задачи такое ограничение и не требуется. Поэтому уравнение (2.2) может оказаться и неразрешимым. Заметим, что само установление этого факта представляет собой достаточно сложную задачу, поскольку необходимо определить собственные функции союзного уравнения. [c.561]

Вернемся теперь к задаче П+, но уже на основе уравнения (2.5). В этом случае правая часть этого уравнения имеет весьма сложную структуру (в силу чего условия самоуравновешенно-сти внешних сил явно не просматриваются) и, кроме того, оказываются неизвестными собственные функции союзного уравнения. Представим условия разрешимости уравнения (2.5) в виде [c.562]

В случае же задачи 1 (полагая, что собственные функции союзного уравнения уже найдены и условие существования решения при заданном краевом условии проверено) и задачи 11+ следует воспользоваться соображениями, изложенными в 2 ГЛ. I. Первый прием заключается в том, что ряд (2.18) надо рассматривать в асимптотическом смысле, отказавшись от выполнения сколь угодно большого числа итераций при фиксированной дискретизации поверхности. Второй же прием заключается в корректировке каждой итерации (осуществления ортогонального проектирования на подпространство функций, удовлетворяющих условию ортогональности).Тогда формулы (2.32 ) ГЛ. I преобразуются к виду [c.576]

Система союзная уравнений Пфаффа 253 [c.550]

Уравнения первого порядка, союзные уравнениям этой системы, по приведении к каноническому виду пишутся так [формулы (33.23) на стр. 346] [c.446]

Множители союзные множителям служат корнями уравнений, союзных уравнениям (43.4). Так как уравнения, союзные уравнениям (43.1), бу ду1 [c.463]

Интегральные уравнения, составляющие систему (4.4.1),— союзные уравнения то же относится к паре уравнений (4.4.2). Соответствующие им системы однородных уравнений можно записать в виде [c.190]

Ниже доказывается, что X = 1 не является собственным числом системы союзных уравнений (4.4.3). Поэтому первая внутренняя и вторая внешняя задачи имеют единственное решение при произвольных заданиях их правых частей. [c.191]

При соблюдении этих условий вектор перемещения v(Q) определен с точностью до слагаемого перемещения твердого тела, являющегося, в соответствии с одной из теорем Фредгольма, собственным решением союзного уравнения (4.6.2). [c.193]

Союзное уравнение. Обозначим через Ф (х, со) = Ф / (х, со) 4х4 матрицу, полученную из матрицы Ф (х, со) перестановкой строк и столбцов и заменой х на —х будем иметь [c.75]

Теорема. Каждый столбец матрицы Ф (л , со), рассматриваемый как вектор, удовлетворяет союзному уравнению В дх, со) и = О (В1/ (дх, со) = В//, (—дх, со)) во всех точках пространства Е , кроме начала координат. [c.75]

Теорема. Матрицы Ф х) и Ф х) соответственно удовлетворяют однородному уравнению статики (см. (1, 11.24) и (1, . 2 )) и союзному уравнению для всех л 6 [c.75]

Рассмотрим союзное уравнение (П) . Очевидно, оно имеет по крайней мере [c.264]

П)о и тем не менее уравнение (2.14) имеет нетривиальное решение. Тогда союзное уравнение [c.293]

Замечание. Тот факт, что внешние задачи оказались разрешимыми в потенциалах для всех значений параметра со , указывает на возможность априорной конструкции решения в таком виде, который приводит к интегральным уравнениям, разрешимым по первой теореме Фредгольма. Однако в общем случае разыскание подобных искусственных конструкций затруднительно, и, как мы видели, в этом нет никакой необходимости. Достаточно каждый раз пользоваться потенциалами либо простого, либо двойного слоя и хотя при этом приходим, вообще говоря, к необходимости обращаться к третьей теореме Фредгольма, но интегральные уравнения сами указывают тот набор функций, которые обеспечивают разрешимость. В том случае, когда полюс является простым, как в рассмотренных выше задачах, такими функциями служат совокупности фундаментальных решений данного и союзного уравнения, а в случае полюса высшего порядка — совокупность так называемых главных функций этих же уравнений (см. по этому вопросу Купрадзе 16], [13]). [c.310]

Само собой очевидно, что подобные же представления могут быть составлены для регулярных решений союзного уравнения (2.2). [c.380]

П)о. Допустим, что это не так. Тогда союзное уравнение [c.388]

Пусть теперь со есть собственная частота задачи По" (О ) и гр (г) 1= — полная система решений соответствующего союзного уравнения [c.442]

Докажем, что число собственных функций исходного и союзного уравнений одинаково. Пусть, как и раньше, т — число ор-тонормированных собственных функций ф, исходного уравнения, а п — число собственных функций т з, союзного уравнения, и пусть п> т. [c.40]

Очевидно, что использование аппарата краевой задачи для случая разрывных коэффициентов и разомкнутых контуров позволяет построить соответствующую теорию и для сингулярных интегральных уравнений. При этом вводится понятие союзного решения союзного уравнения, которое ограничено в тех точках, в которых задается неограниченным решение исходного уравнения и наоборот. С учетом этого формулировка теорем Нётер сохраняется полностью. [c.55]

Непосредственная реализация общепринятой схемы, позволяющая установить условия разрешимости уравнения Фредгольма (построение собственной функции союзного уравнения и проверка условия ее ортогональности правой части), представляется в данном случае затруднительной. В Г196] предложен иной путь исследования уравнения (3.4). В левую часть уравнения введено слагаемое [c.380]

Интегральное уравнение (2.24) при Я=1 соответствует второй основной задаче для совокупности областейDI,. ..,От когда решение разыскивается в виде единого потенциала простого слоя, распределенного по всем поверхностям. Собственные функции союзного уравнения соответствуют решению первой основной задачи для области О. Используя обобщенную теорему Гаусса (1.19), не составляет труда показать, что смещение как жесткого целого каждой из поверхностей 5/ (/ = = 0) есть собственная функция. Поэтому в отличие от случая, когда область ограничена одной поверхностью, точка X = 1 является полюсом резольвенты. [c.567]

Система уравнений первого порядка, союзных уравнениям (44.3), согласно формулам (33.19), (33.20) и (33.22) на стр. 345 и 346 напишется так [c.463]

Вообщ,е говоря, если D = О, то решений нет, но в одном случае они есть. Для этого необходимо, чтобы вектор, выражающий г/ и ф в уравнениях (1), был ортогонален к векторам, выражающ,им е и е, даюш,им решение однородных союзных уравнений, т. е. уравнений составленных из правых частей системы, коэффициенты которой получены из коэффициентов прежней системы заменой всех чисел сопряженными (если числа комплексные) и теми же числами (если числа действительные). Эти уравнения имеют вид [c.186]

Интересно сравнить обобщенную теорему Якоби, установленную Четаевым, с теоремой Суслова [36, гл. ХЪП1]. Суслов рассмотрел уравнения Гамильтона со множителями Xj, союзные уравнениям (1.21) и вместо (2.25) получил уравнение в частных производных [36, формула (43.25)] [c.26]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...