Мультипольное разложение

Мультипольное разложение поля является эфф. средством исследования свойств разл. излучателей, особенно если их размеры малы по сравнению с излучаемыми длинами волн. Представление о М. и. используется не только для скалярного и векторного полей в вакууме [как в (1) — (7)], но и для более сложных тензорных полей (напр., гравитационного) иля для полей в сплошных средах, в частности для зл.-магн. поля излучения мультиполей, движущихся со сверхсветовой скоростью в среде Черенкова — Вавилова излучение), для поля упругих деформаций в анизотропных кристаллах и т. д. [c.222]

Мультипольное разложение (6) — (10) справедливо для решения краевой гидродинамической задачи вне шара, из которого бьет струя. В этом случае собственные значения > О, > О и соответственно показатели степени >0, > 0. Можно расширить границы применимости развитого обобщенного мультипольного разложения на струйные течения в ограниченных областях, если семейство собственных значений дополнить отрицательными показателями степени а,, и соответственно ц , Такие отрицательные собственные значения действительно существуют в некоторой области небольших чисел Рейнольдса. В случае Ке О, как было показано в разд. 4.2, спектральные значения, отвечающие собственным функциям в виде полинома степени ге+1, есть а = ге, п + 2, —ге+1, —п—1. Отсюда видно, что существует двукратный целочисленный спектр отрицательных а , аналогичный спектру положительных собственных значений, причем множество собственных функций, соответствующих а < О, есть полная система полиномов, удовлетворяющая всем необходимым условиям (г/ ( 1) = 0, см. 2). При увеличении числа Рейнольдса двукратные собственные значения расщепляются на две ветви, а система собственных функций для каждой ветви остается полной но крайней мере в некоторой окрестности точки Ке = О, что позволяет удовлетворить граничным условиям для ив и Уе на внешней сфере радиуса Ну. [c.291]

Таким образом, с помощью мультипольного разложения можно построить решение уравнений Навье — Стокса в шаровом слое, на границах которого задано произвольное осесимметричное поле скорости из 2 ([—1, 1])- В этом случае разложения (6) —(10) имеют тот же вид, но суммирование распространяется от —до °о (эти пределы указаны в скобках). Отрицательные индексы у показателей степени п < 0) означают, что < О, причем [c.291]

Сходимость обобщенных мультипольных разложений [c.292]

Одним из характерных примеров течений в ограниченном пространстве является неавтомодельное струйное течение во вращаюш ейся трубе большого диаметра. Эта задача демонстрирует нетривиальное физическое содержание первых членов мультипольного разложения по положительным степеням сферического радиуса В. [c.297]

Мультипольное разложение и устойчивость неавтомодельной затопленной струи [c.301]

Целью конструирования являлось определение геометрических параметров, соответствующих заданным коэффициентам мультипольного разложения. Так как все линзы окружены замкнутыми металлическими камерами, границы цепи не влияли на измерения и была достигнута высокая точность. Линзы были успешно применены для уменьшения размеров пятна и увеличения эффективности отклонения в катодных трубках, для улучшения разрешения электронных спектрометров и масс-спектрометров, а также для компенсации аберраций в электронных зондах. [c.140]

Представление мультипольного разложения электромагнитной амплитуды в виде контурного интеграла по методу Ватсона уже разбиралось в гл. 3, 8. Здесь мы рассмотрим аналогичное представление в квантовомеханическом случае. [c.373]

На расстояниях от ячейки, больших по сравнению с ее размерами, можно воспользоваться мультипольным разложением, принятым в электростатике, и записать [c.354]

См. также Инертные газы твердые Моноатомная решетка Бравэ I 87 Моноклинная кристаллическая система I 125, 126 МТ-потенциал I 203 Мультиплет II 267 Мультиплетность II 267 Мультипольное разложение I 354 Мягкие моды II 83 (с) [c.402]

Итак, второе усложнение, с которым мы встречаемся при исследовании мультипольного разложения в задаче об излучении, связано с необходимостью различать приводимые (81./. red) и эффективные неприводимые [c.298]

Требуемое соотношениями (105.М, Е.1) деление не вызывает теперь затруднений, и мы можем записать мультипольные разложения для скаляров ц и е [c.306]

Правило (107.1) позволяет перейти от этих разложений к мультипольным разложениям для полей (при вычислении ротора в выражениях для Н" и Е следует, конечно, использовать упрощение (85а) волновой зоны). Находим [c.306]

Однако для кругового цилиндра более эффективно использование аналога метода мультипольных разложений. Применение этого метода в обычном виде представлено, например, в [1]. Ввиду громоздкости решения рассмотрим только случай горизонтальных колебаний цилиндра. В этом случае давление жидкости является нечетной функцией х, тогда как при вертикальных колебаниях цилиндра - четной функцией. [c.160]

В предельном случае высокочастотных колебаний цилиндра исходная задача сводится к движению цилиндра в слое постоянной плотности полной толщины Я] + Я благодаря приближению Буссинеска. При со —> > (у 1) используемый метод сводится к обычному методу мультипольных разложений. [c.162]

По аналогии с уравнением Лапласа и тепловой задачей, рассмотренной в 1, собственные решения линеаризованной системы уравнений Навье — Стокса (11) можпо назвать гидродинамическими мультиполями, а разложение решения задачи по ее собственным функциям соответственно мультипольным. [c.280]

Разложение в степенной ряд (3.52) существенно упрощается, если потенциал не зависит от координаты z (планарное мультипольное поле). В этом случае коэффициенты AnN(r, 2) (и соответствующие функции UnN z)) являются в точности постоянными. Тогда имеем для случая N — 2 [c.79]

Аналитические методы перечислены в разд. 3.1. Сначала были выписаны разложения в ряд для потенциалов и полей. Формула (3.19) является наиболее общим выражением для разложения в ряд произвольного трехмерного распределения потенциала в цилиндрических координатах, а (3.27) — в декартовых. Выражение (3.20) написано для частного случая аксиально-симметричного распределения потенциала. Затем были рассмотрены общие свойства плоских, аксиально-симметричных и мультипольных полей. Обсуждались специальные методы вычисления как аксиально-симметричных, так и мультипольных полей (разделение переменных, конформные преобразования и т. д.). Было рассчитано распределение потенциала, созданного двумя цилиндрами одинаковых диаметров с круглой апертурой. Мы ознакомились с процедурой, позволяющей быстро рассчитать поле, созданное системой апертур. Затем было вычислено распределение потенциала, созданного цилиндрическим вогнутым 2ЛГ-мультиполем, и найдено решение задачи об идеальных мультиполях. Трудности аналитических вычислений были проиллюстрированы на практических примерах. Мы остановились на особых свойствах магнитных материалов, после чего использовали закон Био — Савара (3.249) для вычисления по- [c.177]

Поскольку это поле — дипольное, можно начать с общего распределения мультипольного потенциала (3.52) при Л =1, поскольку существует одна плоскость симметрии. Дополнительно, благодаря проведенному выше анализу симметрий разложение распределения потенциала в ряд может содержать только нечетные члены. Используя уравнения (3.54), (3.56), (3.60), (3.62) и (3.64), получим первые члены разложения в ряд (3.52) в виде [c.581]

В заключение этой главы хотелось бы обратить внимание читателей на очень важную проблему. Мы видели, что отклонение можно осуществить множеством различных способов, используя различные виды симметрии. В гл. 10 было показано, что осесимметричные системы можно заменить системами с мультипольной симметрией. В разд. 3.1.1Л мы обсудили плоские поля. Мы видели, что разложение в степенной ряд [уравнение (3 36)] распределения потенциала симметричного плоского поля имеет ту же структуру, что и распределение осесимметричного потенциала [уравнение (3 20)]. Соответственно возможна фокусировка симметричными плоскими полями с тем только различием, что точка объекта будет изображаться прямой линией Интересные фокусирующие и отклоняющие свойства мож- [c.596]

Разложения (2.13) и (2.14) по мультипольным моментам не однозначны и зависят ог выбора начала координат. Этот выбор часто можно сделать, исходя из физических соображений например, начало можно поместить в центр примесного парамагнитного иона в решетке. Если удержать только дипольные матричные элементы, то дипольные источники можно включить в уравнения Максвелла обычным образом [c.391]

ЗАМЕЧАНИЕ 2 В статическом случае электрические и магнитные мультипольные моменты были константами. Если р и ] зависят от времени, то они становятся функциями времени. В нашем разложении все они берутся в момент времени [c.279]

Как мы уже подчеркивали, в построенные пока разложения 98. М), (98. Е), (98. Е) скаляров ц и 8 входят приводимые моменты (81./.red), (75./.red), (99. Z. red) или (100./.red). Поэтому иногда говорят, что определяющие излучение мультипольные моменты имеют больше компонент, чем статические — такая позиция в какой-то мере естественна, если смотреть на излучение с точки зрения излучающей системы. [c.297]

Сравнивая теперь с третьей ступенью — четвертую, видим, что длины испускаемых атомами волн много больше атомных размеров. Выполнение такого неравенства было в электродинамике условием применимости квазистационарного приближения. Теперь мы можем сказать, что применимость условия квазистационарности — а, значит, и таких вещей, как разложение по мультипольным моментам и т. п. — обусловлено малостью постоянной тонкой структуры а, т. е. слабостью электродинамического взаимодействия. [c.325]

Вполне аналогично мультипольное разложение можно ввести для статич. магн. полей, создаваемых системой стационарных токов. Для этого необходимо провести разложение еекторного потенциала магн. поля [c.219]

Резюмируя, можно сказать, что аналитичность решения в бесконечно удаленной точке, имеюш,ая место для решения уравнения Лапласа, является следствием наличия целочисленного спектра у оператора Лежандра. Введение возмуш ающего оператора (для уравнения теплопроводпостп это был член и, V) изменяет этот спектр, и собственные зпачения становятся дробными (а может быть и комплексными) величинами. Классическое мультипольное разложение решения уравнепия Лапласа с введением возмущения изменяется, но физический смысл его, по существу, остается прежним. Одним из более сложных примеров применения развитых представлений является задача о неавтомодельной затопленной струе. В этом случае возмущение есть нелинейный дифференциальный оператор (у, V)v, но тем не менее получается картипа качественно сходная с описанной. Задача о неавтомодельной затопленной струе кроме указанных обладает рядом других нетривиальных парадоксальных свойств. Ей посвящена оставшаяся часть главы. [c.275]

Заметим, что (26) в качестве подпоследовательности целиком содержит разложение (12), члены которого удовлетворяют однородным уравнениям, чего пе случилось бы при целых показателях а . Это мультипольное разложение, играющее в (26) затравочную роль, содержит двойной счетный набор произвольных постоянных Ап и В , которые должны определяться граничными условиями нри R=Rq. Канадый мультиноль порождает целую последовательность членов разложения (26), обраш,аюн],уюся в нулевую последовательность, если данный мультиноль отсутствует. В частности, дипольный член порождает в (26) последовательность целых степеней i/R. [c.283]

До сих пор шла речь о мультипольных разложениях (6) — (10), как об общем решепии уравнений Павье — Стокса. Однако пока не доказана равномерная сходимость этих разложений, представление решения в виде (6), (10) имеет лишь формальный характер. [c.292]

В I 1 было рассмотрено полное решение тепловой задачи для струи Ландау вне сферы, на которой задано произвольное непрерывное осесимметричное поле температуры (возможны постановки краевых задач второго и третьего рода). Распространим полученное в этом параграфе мультипольное разложение температуры (1.23) на случай пеавтомодельной струи в ограниченном пространстве. Поле скорости в этом случае представим в виде [c.299]

Анализ парадокса потери существования решения, который первоначально установлен был в конкретной задаче о взаимодействии вихревой нити с плоскостью, привел к попиманию ряда общих свойств конических течений вязкой жидкости и решению немалого числа далеко не тривиальных задач. Преодоление парадокса в тепловой задаче для струи Ландау привело к созданию метода обобщенных мультипольных разложений, который позволил решить ряд трудных задач в теории вязких струй и выявить их весьма необычные свойства. [c.318]

Мультипольное излучение ядер. Если для атомных электронов их скорости удовлетворяют ooTnoui iiiiHM i a(ij- /137, то для нуклонов в ядре величины а, о) в V пе находятся в к.-л. определ. соотношениях. Поэтому для атомных ядер применение разложения по мультиполям возможно только при выполнении двух неравенств [c.105]

МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ -излучение, обусловленное изменением во времени мультипольных моментов системы. Излучение огранич. системы источников представляет собой расходящиеся сферич. волны, так или иначе промодулированеые по угл. переменным. Его анализ естеств. образом приводит к разложению излучаемого поля по полному набору сферических функций, обладающих определ. угл. зависимостью. При этом сама система источников, описываемых ф-циями координат (г) и времени (i), может быть представлена в виде набора вполне определ. конфигураций излучателей — мультиполей. Отд. мультиполи как источники излучения характеризуются только ф-циями времени — мультипольными моментами. Их зависимость от времени связана как с внутр. динамикой системы, так и с пе-рем. внеш. воздействиями. Представление излучаемого системой поля в виде суперпозиции полей отд. мультиполей плодотворно не только в прямых задачах исследования поля излучения сложных источников, но и в обратных задачах восстановления свойств источников по характеристикам их излучения. [c.219]

Высшие гармоники соответствуют мультиполям высших порядков. Согласно вышеизложенному, л-й член в (3.52) для заданного N можно интерпретировать как первый член 2 Л/ -муль-типоля (или единственный член идеального 2пЛ -мультиполя). Например, второй член разложения в ряд квадруполя N — 2) соответствует идеальному октуполю 2пМ = 8), третий член — идеальному додекаполю (2лЛ =12) и т. п. Некоторые из этих мультипольных компонент можно устранить введением дополнительной симметрии (например, октупольная компонента исчезает из симметрично-антисимметричного квадруполя, показанного на рис. 12). [c.81]

Общее разложение в ряд (3.52) мультипольных потенциалов содержит бесконечный набор функций UnN z) в противоположность аксиально-симметричному случаю, где единственной такой функцией является аксиальное распределение потенциала в уравнении (3.20). Поэтому ситуация существенно усложняется вследствие, вообще говоря, трехмерного характера мультипольного поля. Отсюда следует, что в общем нельзя строго вычислить функции распределения потенциала. Например, квад-рупольное поле двух скрещенных щелей, показанных на рис. 25, можно вычислить только приближенно [73]. Область применения аналитических методов ограничена упрощенными моделями, которые могут удовлетворительно описать только свойства либо бчень коротких, либо длинных мультиполей. [c.101]

Поскольку мультипольные поля, определяемые выражением (7.6.7в), не являются взаимно ортогональными в поперечной плоскости, найдем другое (более удобное) семейство мультиполей, называемых AfodoAfi/, которые затем используем в качестве базиса при разложении поля. Для этого запишем поле в виде и (х, у, z) = = А (х, у, где к = к ik" — в общем случае комплексная по- [c.503]

Основным камнем преткновения для расчета статистических функций в молекулярной физике как трехмерных, так и двумерных систем является вычисление конфигурационного интефала Z (7.30). В реальных газах и, тем более, в конденсированных системах ряд (7.7), отражающий потенциальную энергию межмолекулярных мультиполь -мультипольных юаимодействий частиц как с поверхностью н г,), так и между собой /) — см. (7.27) — на малых расстояниях является расходящимся. При подстановке в выражение для Z (7.30) соответствующих потенциалов взаимодействия (п.7.1.2) интефал Z не может быть вычислен с нужной точностью. Строгие расчеты статистических сумм (Е и Q r) возможны только при отсутствии межмолекулярных взаимодействий (Ц/- ,/) = 0), т.е. для идеальных 3Z) и 2/)-систем. В первом случае все расчеты приведут к уравнению Клаузиуса-Клапейрона, в 2/ системах — к уравнению Гиббса (7.17). Поэтому прибегают к приближенным методам. По существу, все три основных в статистической физике приближенных метода — методы вириальных разложений (Урселла-Майера), корреляционных интефалов (Грин, Боголюбов) и решеточных сумм, были использованы для описания поверхностных фаз. Хотя есть определенные успехи в применении этих методов для сильно идеализированных поверхностных фаз, проблема малых расстояний в адсорбционной фазе остается открытой. [c.222]

Теперь ясио, что в поисках точной аналогии магнетостатического и электростатического разложений надо сравнить только что выписанное разложение для скалярного магнитного потенциала ф"> с полученным в предыдущем параграфе разложением (75) электростатического потенциала. Эти разложения действительно оказываются совершенно аналогичными, если на месте электрических мультипольных моментов [c.264]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...