Собственная функция дисперсионное соотношение

Использование обобщенных аналитических функций, кратко описанное в разд. 10, приводит к интересному явному представлению непрерывного спектра, заполняющего двумерную область. Однако непрерывные спектры обычно не дают четкой информации о результатах, которые следует ждать из эксперимента. Фактически может оказаться, что из экспериментальных данных вытекает отчетливо выраженное собственное значение даже в том случае, когда теория предсказывает непрерывный спектр. Мы уже сталкивались с подобной ситуацией в разд. 7 при исследовании плоских волн сдвига с помощью модельного уравнения БГК- Там было показано, что дискретные собственные значения могут быть получены посредством аналитического продолжения соотношения, определяющего дискретный спектр (так называемого дисперсионного соотношения ). Для модели, рассмотренной в разд. 10, дисперсионное соотношение дается формулой (10.9), или формулой [c.367]

Каждая мода имеет свою форму , т. е. свою собственную функцию A z). Соотношение между частотой моды и ее формой называется дисперсионным соотношением со к), когда собственные функции имеют вид синусоид. Если они не синусоидальны, мы не можем оперировать такими понятиями, как длина волны или волновое число к. В этом случае соотношение между частотой моды и ее формой не принято называть дисперсионным соотношением . [c.78]

Формула (1.2.15) позволяет утверждать, что дисперсионная кривая обладает бесконечным количеством ветвей. Этот принципиальный вывод не связан с заменой точного дисперсионного соотношения приближенным, для него существенно лишь, что функция А1( имеет колебательный характер при отрицательных значениях аргумента. Любой интервал значений ограниченный точками с положительным и следующим за ним отрицательным экстремумами этой функции, порождает свою ветвь дисперсионной кривой, если производная внутри него отрицательна. Из всех ветвей дисперсионной кривой только одна начинается в полуплоскости со > О, она была определена в [38]. Все остальные ветви целиком расположены в полуплоскости (0<0. Хотя спектр собственных значений дискретный, он имеет точку сгущения (О = к = 0. Ветви с (0< О соответствуют возмущениям, которые сносятся вниз по потоку, поскольку для них о 0. [c.27]

Асимптотические разложения специального вида, позволяющие построить собственные функции и вычислить собственные значения в задаче устойчивости пограничного слоя при больших числах Рейнольдса, дают возможность в качестве следствия не только определить поведение нейтральных кривых, но и уточнить характер изменения инкремента нарастания возмущений в наиболее интересных областях, заключенных между упомянутыми кривыми. Более того, применением асимптотических подходов, где малыми параметрами служат отрицательные степени числа Рейнольдса, удается найти аналитическое выражение для дисперсионного соотношения, полезное для качественного, а в ряде случаев и количественного (как показывает сравнение с экспериментом) анализа линейных возмущений в пограничном слое. [c.112]

При постановке проблемы на собственные колебания мы интересуемся всегда условием существования у исследуемых уравнений нетривиального решения (тривиальное рещение fku = Екш = О, соответствующее невозбужденной системе, существует всегда), когда Е ш ф 0. Сокращая левую и правую части последнего уравнения на Eku, мы получим условие существования такого нетривиального решения, являющееся, по существу, уравнением для собственной частоты ш = ш к) как функции волнового вектора к (это соотношение называют часто дисперсионным уравнением). Учитывая, что функция Fq является произведением трех одномерных нормированных максвелловских распределений, из которых после интефирования по Vy и г остается только одно [c.305]

Это решение удовлетворяет граничному условию (13.1556), так как в решение однородного уравнения не вошел член, который расходится на бесконечности. Здесь 9(vo, — дискретная собственная функция и ф(у, х)— непрерывная собственная функция, определенные в гл. 10 [см. РО.8) и (10.16)], а два дискретных собственных значения vo являются корнями дисперсионного соотношения (10.9). Два коэффициента разложения (vo, 5 ) и /4(v, ) находятся из условия, чтобы решение (13.157) удовлетворяло граничному условию (13.155а), с последующим использованием свойства ортогональности собственных функций и различных интегралов нормировки, как было описано в гл. 10 и И или в работе [43]. [c.569]

Вообще говоря, со и к комплексны, и уравнение (7.1) имеет решение, только если со и к удовлетворяют специальному соотношению в соответствии с допустимыми значениями со и к можно найти функции g, которые либо интегрируемы с квадратом ( собственные решения ), либо нет ( обобщенные собственные решения ). В первом случае соотношение между со и к обычно называют дисперсионным соотношением, а решение g ехр [ к-х + i oi] — нормальной модой. Комбинация собственных решений и обобщенных собственных решений дает общее решение линеаризованного уравнения Больцмана [c.164]

Формула (10 34) показывает, что wA w), а значит и wA w)e- , является производной по w от функции, выражаемой через X w) и граничные условия. Следовательно, при помощи комплексных формул Грина вклад от непрерывного спектра можно преобразовать в интеграл по границе. Подынтегральное выражение является аналитической функцией вне Я и может быть аналитически продолжено в Я указанным выше способом, если граничное условие Z w) аналитически продол-жимо в Я. Таким образом, аналитическое продолжение возможно при соответствующих граничных условиях. Однако, сдвигая путь интегрирования, мы включаем вклады вычетов от нулей аналитически продолженного дисперсиониого соотношения. Следовательно, даже когда уравнение (111) не имеет решения, основной вклад в последнее может появиться от дискретной собственной функции . [c.370]

Для быстрых волн обнаружено бесконечное количество мод, которые характеризуются числом М, принимающим целочисленные значения М = О, 1, 2, 3.... Первые пять мод показаны на рис. 4.41. Особенность быстрых мод заключается в том, что их собственные функции очень быстро затухают с удалением от оси вихря. Можно полагать, что они отличны от нуля в области радиальных расстояний, много меньщих размера ядра вихря. Учитывая это условие, Leibovi h et al. [1986J вывели асимптотическую формулу для дисперсионного соотношения в случае длинных волн к 1), причем с произвольным значением те [c.239]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...