Зависимость собственных функций от времени

Зависимость собственных функций от времени 274 [c.601]

Как следует из изложенного, в используемых формулах отсутствует явная временная зависимость физических параметров системы, а содержится лишь произвольная зависимость от времени функции теплового источника. Когда характерные времена изменения физических параметров системы намного превышают характерные периоды релаксации отдельных гармоник = проведенное рассмотрение целиком пригодно для решения задач переноса тепла. В этом случае декременту затухания v , собственным функциям l)m(r) и грт(г), а также функциям урав- [c.103]

Здесь быстрая зависимость отделена, а функция ф и частота являются медленными функциями времени. Заметим, что зависимость от времени собственной частоты плазменных колебаний, определяемой уравнением (58.20), обусловлена зависимостью от времени диэлектрической проницаемости (58.19), которая теперь определяется медленно изменяющимися во времени распределениями частиц. [c.256]

Зная зависимости угла прецессии угла нутации О и собственного вращения (р от времени, воспользуемся кинематическими уравнениями Эйлера (1) для определения проекций угловой скорости па подвижные оси координат. Подставляя в (1) заданные функции, получаем [c.223]

Фильтрующие свойства единичного приемника. Из рассмотренного в данном разделе осредняющего действия приемника звукового давления, работающего в статистическом некогерентном поле при детерминированном или случайном неоднородном распределении чувствительности по его поверхности, следует, что основой этого эффекта является способность приемника осуществлять пространственную фильтрацию компонент различного масштаба. Поскольку временные частоты турбулентного поля и его пространственные масштабы связаны уравнениями движения, можно использовать избирательную реакцию приемника звукового давления для применения его в качестве фильтра пространственных частот. В этих целях нужно построить передаточную функцию приемника в термину пространственных частот, подобно тому, как это сделано для временных частот в форме уравнения (3.19). В данном случае задача в определенной мере упрощается, поскольку располагая передаточной функцией (3.19), можно получить искомую пространственную передаточную функцию путем Фурье-преобразования (3.19) по определенному пространственному параметру. В зависимости от выбора того или иного параметра разложения можно получить представление о способности приемника осуществлять фильтрацию воздействующего на его вход процесса по этому параметру. Удобно в качестве параметров разложения выбрать собственные функции приемника х(х , Хг ), где в предположении, что приемник имеет прямоугольную форму в плане, [c.98]

Рассмотрим, например, формулу (6.14). Если вектор состояния (/ ) является точной собственной функцией гамильтониана ), то его зависимость от времени имеет вид. Соответственно скалярное произведение правой [c.161]

Если изменение мощности происходит достаточно медленно, как в случаях ксенонового отравления или выгорания топлива, производной по времени в уравнении (9.18) можно пренебречь. Также можно пренебречь зависимостью Р и 1 ) от времени при расчете Q . Источник запаздывающих нейтронов можно объединить с источником мгновенных нейтронов, после чего рассчитывать собственную функцию, соответствующую собственному значению к, для определения форм-функции в любой заданный момент времени. Так как условия в реакторе постепенно меняются, то форм-функция будет также меняться, но в любой заданный момент I функцию можно рассчитать с учетом условий в этот же момент. Эта процедура, которую называют адиабатическим приближением [И], действительно при.менима для достаточно медленных изменений мощности реактора (.или потока нейтронов). Однако, как было показано, она может описывать основную часть пространственных эффектов в кинетике реактора даже для достаточно быстрых возмущений мощности, которые, например, сопровождают движение группы стержней управления [12]. [c.377]

Функция (24) описывает, как изменяется отклонение х некоторой точки тела массой т от положения равновесия, в зависимости от времени. При этом собственно отклонение точки объекта, колеблющейся относительно положения равновесия, называют [c.31]

Электромагнитные осциллографы (шлейфовые и струнные) применяются при частотах от 0 до 10 000 гц для фотографической записи деформаций и других процессов на подвижных бумажной ленте или плёнке в одной или нескольких точках. Осциллограф имеет воспринимающий орган (шлейф, струна), осветитель, устройство для записи (лентопротяжный механизм, однооборотный барабан для записи на бумагу с большой скоростью) и приспособление для визуального наблюдения отметка времени при записи может производиться камертоном с электрическим возбуждением (частота 50 или 100 гц). Развёртка (движение ленты) при записи изучаемого процесса может осуществляться не в функции времени, а в зависимости от какого-либо другого процесса. Число одновременно записываемых процессов определяется числом шлейфов в осциллографе. Шлейф характеризуется чувствительностью (сила тока в ма, вызывающая перемещение в 1 мм зайчика на экране при длине светового рычага в I м) и собственной частотой. Для погашения собственных колебаний шлейфа применяется демпфирование. [c.241]

Изложенный метод определения собственных значений краевых задач может быть использован и для неконсервативных задач, для которых (например, колебания прямолинейного трубопровода с текущей жидкостью) возможны неустойчивые режимы колебаний. Поэтому при определении собственных значений временную функцию следует брать в виде В этом случае определитель, получающийся при удовлетворении краевым условиям задачи, зависит от двух параметров а и X [D = D (а, X)]. Значения а и %Ji, при которых определитель обращается в нуль, дают собственные комплексные числа k = 1,2,. ..). В зависимости от знака действительной части комплексного числа колебания будут устойчивыми или неустойчивыми. [c.204]

На рис. 7.11 показано изменение величины прогиба пластины в зависимости от продвижения кольцевого пятна импульсной нагрузки к контуру. Ширина пятна принята d — Ь — а — 0,2Ь, интенсивность = 700 Па-с, момент времени t = 7г/(2о о) соответствует максимальному значению функции (7.36) при основной собственной частоте ljq. При сохраняющейся толщине кольца нагрузки наименьший прогиб в центре трехслойной пластины наблюдается при импульсе, примыкающем к ее контуру. По мере приближения пятна к центру величина максимального прогиба сначала увеличивается и достигает экстремума примерно при а = 0,34, затем идет на спад. [c.374]

Определить поведение котла, когда его свойства не постоянны во времени. Для этого будут сделаны вычисления вре-меннох зависимости собственного состояния кот.яа для двух случаев. В первом с.дучае (вынужденные колебания котла) свойства котла будут выражены в виде заданных функции от времени. Во втором случае (сложный котел) свойства котла зависят от распределения нейтронов (например, через температуру котла) и, следовательно, меняются во времени, когда меняется распределение нейтронов. [c.89]

Уравнение (3.3.8) можно разделить на два уравнения, одно из которых определяет координатную зависимость Т(г, ), а другое — временную. Метод разделения переменных уже применялся в 4 гл. 2 при решении волнового уравнения. Как и в задаче о волноводном распространении излучения, применение граничных условий приводит к уравнениям на собственные значения. Собственные решения уравнения (3.3.8) получаются в виде произведения собственной функции, зависящей от простраиственных переменных, на гармоническую функцию от времени [c.147]

На рис. 1.7, а представлены зависимости продольного смещения конца стержня (длина /=15 мм, высота к = 115) во времени при мгновенном снятии нагрузки Р = 3000 Н. Расхождение решения МКЭ с аналитическим решением Тимошенко [228] йри размерах КЭ A.t = ft/3, Ay = hj и шаге интегрирования по вре-мени Ат = 0,05 мкс (приблизительно T v/200, где Tv —период собственных колебаний) составило 2 % по схеме интегрирования I [формула (1.41)] и 10 % для схемы интегрирования II [формула (1.47)] в первом периоде колебаний. В дальнейшем для схемы II развивается процесс численного демпфирования (уменьшение амплитуды и увеличение периода колебаний), обусловленный выбранной для данной схемы аппроксимацией скорости и ускорения на этапе Ат (принята линейная зависимость скорости от времени). В данном случае при внезапно приложенной нагрузке ускорение на фронте волны теоретически описывается б-функцией. Численное решение занижает ускорение, что приводит к постоянному снижению значений кинетической энергии и энергии деформации в процессе нагружения по сравнению с аналитическими значениями (рис. 1.7,6). В связи с тем что с помощью предложенного метода предлагается решать за- [c.37]

Сущность метода исследования во всех случаях состоит в разложении прогиба НЛП его производных в ряд по некоторой фундаментальной системе функций и изучении счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют коэффициенты разложения. Для однотипной нагрузки в качестве фундаментальной системы берется последовательность собственных функций некоторой вспомогательной упругой задачи. При ис-с.тедовании же устойчивости сжато-растянутых неоднородно-стареющих вязкоупругих стержней последовательность собственных функций непосредственно уже не связана с соответствующей упругой задачей. Существенным является также выбор удачного представления для функции прогиба. Для ряда ситуаций численно исследована зависимость критического времени от функции неоднородного старения, параметра армирования и других характеристик задачи. Обзор современных концепций и библиография работ, связанных с устойчивостью однородно-стареющих вязкоупругих стержней, имеется, например, в [270, 404, 415, 520]. Некоторые [c.230]

Изложенные положения о регулярном тепловом режиме в большинстве практичесюих случаев оправдываются как для простых, так и для геометрически сложных тел. Однако могут иметь место некоторые отклонения от них. Так, в [Л. 6] отмечается, что сложные тела со слабыми тепловыми связями отдельных частей в целом очень долго не входят в регулярный режим, хотя в этих частях тела и имеет место регулярный тепловой режим, причем темп охлаждения оказывается различным в зависимости от координат точки и времени. Регулярный режим может долго или вообще не наступать в телах простой геометрической формы, если начальное распределение температуры описывается второй собственной i функцией (см. табл. 2-1). Наоборот, регулярный режим практически наступает мгновенно в теле сложной формы, если начальное распределение температуры подобно первой собственной функции. Отмечая указанные особенности влияния начальных условий на время наступления регулярного режима, Дульнев Г. Н. предложил к признакам этого режима ввести дополнительное условие, состоящее в том, что избыточная температура различных точек тела при регулярном режиме сохраняет один И тот же знак (Л. 7]. Теория регулярного режима была разработана в работах Г. М. Кондратьева, Г. Н. Дульнева Л. 8] и др. Она широко используется в различных расчетах и при проведении экспериментальных исследований. [c.65]

Возможно, что наиболее ранний пример использования комплексных собственных частот в электродинамике относится к 1884 г., когда Томсон рассмотрел свободные колебания поля во внешности идеально проводящей сферы [152]. Типы колебаний, удовлетворяющие условию неприходящего излучения, экспоненциально нарастали в пространстве, что дало повод для критики со стороны Ламба, считавшего задачу физически неправильно поставленной. Явление экспоненциальной катастрофы до сих пор многих отпугивает от решения несамосопряженных спектральных краевых задач, хотя вопрос полностью исчерпывается при переходе на нестационарную точку зрения — с каждым нарастающим колебанием связан экспоненциальный множитель, зависящий от времени, который перекрывает зависимость от координат в любой точке пространства. Иными словами, каждая функция, описывающая свободные колебания, финитна в пространстве и ее носитель растет со временем. Постановка спектральных задач для линий передачи и открытых резонаторов вполне естественна даже без связи с проблемами теории рассеяния. В случае с дифракционными решетками необходимость в построении спектральной теории не столь [c.10]

Динамика состояния поля. До сих пор мы не учитывали зависимости векторов и операторов от времени. Будем считать, что все написанные выше соотношения относятся к фиксированному моменту времени = 0. По определению в этот момент векторы и операторы в различных временных представлениях ( 2.3) совпадают а ( о) = а ( о) = Я- Таким образом, две наши системы базисных функций являются собственными векторами шредиа-геровских операторов невозмущенной энергии и уничтожения фотонов и относятся к моменту [c.99]

Изложенное выше, вообще говоря, справедливо постольку, поскольку все описанные измерения проводятся в один и тот же момент времени, или одно непосредственно сразу после другого. Это обусловлено эволюцией системы в промежутке между измерениями, которая вытекает из нестационарного уравнения Шредингера (3.11). Хотя сразу после проведения измерения система и описывается собственной функцией измеряемой физической величины, волновая функция системы после измерения изменяется в соответствии с (3.11) и становится смесью собственных функций оператора Гамильтона. И лишь только когда физическая величина имеет те же самые собственные функции, что и гамильтониан системгл, результат ее измерения оказывается не зависимым от времени. [c.77]

Решение дл я прогиба иолучено методом собственных функций. Построены графики изменения прогиба в зависимости от времени в точке приложения силы. Ставилась цель сравнить решения классического уравнения и уравнения Тимошенко с корректными граничными условиями и граничными условиями, соответствующими классической теории. Показано, что все эти решения для первого максимума прогиба существенно отличаются, а учет инерции вращения влияет на прогиб незначительно. Поперечный удар упругого тела по балке в уточненной постановке (метод степенных рядов) рассматривался также в работах [1.55, 1.56] (1961). [c.61]

Н. Reismann [2.183] (1968) применил метод разложения по собственным функциям для решения задачи о колебаниях пластины, описываемых уравнениями, учитывающими деформацию сдвига и инерцию вращения, при произвольной поверхностной на грузке и произвольных гранич1ных и начальных условиях. В качестве примера рассмотрены колебания кольцевой пластины, защемленной по наружному и внутреннему контурам. Последний мгновенно смещается так, что возникает поперечная сдвигающая сила, изменяющаяся во времени ка функция Хевисайда. Построены поперечные перемещения и изгибающие моменты в зависимости от времени по уточненной и классической теориям. Различие в основном сводится к сдвигу (ВО времени локальных максимумов и минимумов. Для частотного спектра, как видно из фиг. 2.7, раз- [c.157]

Подобным образом можно трактовать также дисперсию. Но в этом случае прежде всего необходим аппарат теории возмущений, чтобы учесть влияние внешяего поля на собственную функцию атома. Мы введём это возмущение в вычисления так, как будто бы речь шла о классическом, изменяющемся во времени, электромагнитном поле с заданной зависимостью от времени, и будем описывать его векторным потенциалом Ф (х. у, г О- Разумеется, поле падающей световой волны вовсе не может быть классически измеримой величиной, однако, получаемые следствия так же, как и обсуждаемое ниже квантование поля излучения, оправдывают такой способ рассмотрения. В случае плоской волны [c.219]

Здесь возможны два подхода к исследованию. Один — более явный и понятный другой — более общий. В первом подходе каждую собственную функцию исследуют во времени во всех трех уравнениях — в дифференциальном урав нении в частных производных для и, обыкновенном дифференциальном для Ф и ко-нечно-разностном для Q . Если коэффициенты и краевые условия в уравнениях не зависят от времени (стационарный случай), то этот простой подход крайне успешен, а с учетом точных границ ошибок в собственных функциях, выведенных в предыдущей главе, рассуждения становятся совершенно элементарными- ). В нестационарном случае исследование техничерки сложнее, но параболические уравнения так сильно диссипативны, что можно полностью объяснить эффекты временной зависимости (и даже нелинейности). Во втором подходе, основанном на энергетических неравенствах для каждого момента времени, это объяснение становится сравнительно простым. [c.284]

Из приближенных решений (7.232), (7.233) следует, что при дробном значении V решения ограничены во времени (но не периодические), т. е. могут рассматриваться как устойчивые, а собственные значения в зависимости от д дают кривые, целиком находящиеся в незаштрихованных областях на рис. 7.25. Функции с дробным значением V позволили установить, какие области на плоскости (а, д) являются неустойчивыми, а какие — устойчивыми. Неустойчивые области на рис. 7.25 заштрихованы. Показанные на рис. 7.25 устойчивые и неустойчивые области называются диаграммой Айнса — Стретта. [c.223]

Выявление возможных опасных режимов работы турбомашины удобно производить с помощью построения резонансных диаграмм. На рис. 8.3 показана резонансная диаграмма для колебаний консольных рабочих лопаток компрессора, установленных на абсолютно жестком вращающемся диске (сплошные линии соответствуют собственным частотам лопаток, жестко закрепленных в диске штриховые — шарнирному креплению). Резонансные режимы, соответствующие пересеечниям функций p—p(Q), описывающих изменение собственных частот в зависимости от частоты вращения, с лучами (Оти==/ в 2, определяющими изменение частот возбуждения, отмечены кружками. Здесь каждая из собственных частот должна трактоваться как имеющая кратность, равную S, где S — порядок симметрии системы, совпадающей с числом одинаковых лопаток, установленных на диске. Поскольку в силу абсолютной жесткости диска каждая лопатка способна колебаться с данной собственной частотой независимо от других S степеней свободы), то точка пересечения линии собственной частоты с лучом любой гармоники соответствует 5 резонансам S лопаток. Соотношение фаз колебаний во времени различных лопаток определяется возбуждением. Относительный сдвиг фаз вынужденных колебаний двух соседних лопаток А-у= (2я/5)тв. [c.145]

Подставляя затем Ь, и П в системы (171) и (172), определяют искомые зависимости. Анализ этих зависимостей показал, что они являются монотонно убывающими функциями темпа включения Ь, причем скорость убывания уменьшается при увеличении Ь. Расчеты показывают, что изменение Ь от до их ведет к уменьшению рассматриваемых величин на 15—20%. (] другой стороны, увеличение темпа включения может привести к существенным динамическим нагрузкам. Такие его значения, когда время включения приближается к периоду собственных колебаний системы, вызывает неприятные ощущения у водителя (эффект толчка) и т. п. Снижение темпа включения Ь<СЬ приводит к резкому увеличению работы трения, времени буксования и других характеристик процесса реверса, что явно нежелательно. Поэтому можно в первом приближеиии определять безразмерный темп включения [c.85]

Если теплота выделяется в ходе реакции или при принудительном электрическом нагревании жидкости, то ее температура Гг, измеряемая в точке 2, повьппается. При идеальных адиабатических условиях зависимость Гг (О однозначно связана с временной функцией теплового потока 6(0 от источника теплоты, но с временным запаздыванием Д =Дх/г (Дх - расстояние между источником теплоты и точкой Хг ). Поскольку калориметрическая трубка обладает собственной теплоемкостью. [c.143]

Рассмотрим вначале волны малой амплитуды, когда v = vq + v, v exp[ (wi — kx)] vo v ). Из (18.5) в этом приближении находим, что dv /dt + vodv /dx = О, и, следовательно, и = Vok vq = onst), т. е. в линейном случае в системе дисперсии нет. Пусть теперь в момент времени t = О пучок оказывается возмущенным по скорости по закону а sin f a . Перейдем в движущуюся со скоростью vq систему координат и рассмотрим эволюцию начального возмущения. Введем X = Жст — vot И V = Vo + и. Опуская индекс, в этой системе получим du/dt + udu/dx = 0. Решение этого нелинейного уравнения имеет вид так называемой простой волны и = U t — ж/и), где выражение для и определяется начальным возмущением. При распространении такой волны в нелинейной среде ее профиль меняется со временем, поскольку разные точки на профиле волны бегут с различной скоростью. В случае пучка это есть следствие того, что частицы смещаются друг относительно друга из-за разных скоростей, причем одни частицы могут обогнать другие в результате функция и х, t) станет неоднозначной [7]. Проследим за пучком на фазовой плоскости их, на которой каждая точка смещается со своей собственной скоростью. Верхней полуплоскости (и > 0) соответствует движение вправо, а нижний (и < 0) — влево, причем скорость каждой точки пропорциональна ее удалению от оси X. Рисунок 18.1 иллюстрирует процесс эволюции пучка на фазовой плоскости их. Начальное состояние пучка — синусоида а sin f a на плоскости их здесь же штриховой линией показана зависимость плотности объемного заряда пучка от х (рис. 18.1а). С течением времени происходит искажение профиля волны частицы с и > О уходят вперед. [c.371]

Можно сказать, что по своей природе суждения меняются в соответствии с различными ситуациями. Если они следуют известной тенденции, соответствующей определенному параметру, то можно было бы устроить так, чтобы суждения следовали изменениям параметра. Например, у военного летчика может быть некоторое количество стратегий для выбора в зависимости от скорости его самолета, расстояния до вражеского самолета или от количества топлива в баках. Важность одной стратегии по сравнению с другой будет функцией скорости, или расстояния, или запаса топлива. Одним из способов решения этой задачи будет неоднократная фиксация величин временного параметра и затем шкалирование подгонки кривых для различных величин, полученных для каждой компоненты собственного вектора. [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...