Функция Гамильтона собственные числа

Рассмотрим более подробно случай, когда собственные числа Л1,..., Л вещественны и отличны от нуля. Тогда равновесие, очевидно, неустойчиво. Не ограничивая общности, можно считать, что все числа Л положительны. Будем предполагать, что среди них нет равных. Тогда в подходящих канонических координатах х,у функция Гамильтона приводится к виду [c.130]

Конструктивное решение -задачи на собственные значения и собственные функции полного набора операторов Казимира требуется для целого ряда физических приложений теории представлений групп, в том числе при изучении квантования нелинейных динамических систем, ассоциируемых с алгебраической структурой полупростых групп Ли (см. гл. VII). При этом выбор того или иного разложения группы через ее подгруппы приводит, вообще говоря, к физически неэквивалентным квантовым системам, гамильтонианы которых отождествляются с квадратичными операторами Казимира, а волновые функции — с собственными функциями последних. [c.84]

В отношении орбитального момента, который для молекулы или иона в плотном веществе не является, вообще говоря, хорошим квантовым числом, подобное заключение сделать нельзя. Равенство нулю Ьх), Еу), Ь,), в невырожденном электронном основном состоянии необязательно означает, что общий орбитальный момент Ь равен нулю, или какому-либо определенному значению в этом состоянии. Напротив, легко показать, что отсутствие орбитального вырождения представляет собой достаточное условие равенства нулю значений Ь ), Ьу)у (Ь,), или, как говорят, замораживания орбитального момента [9]. Пусть г ) — волновая функция невырожденного состояния электронной системы. Гамильтониан, являющийся суммой кинетической и электростатической энергии электронов, будет вещественным, и г ) также можно считать вещественной функцией. В противном случае ее действительная и мнимая части были бы по отдельности собственными функциями гамильтониана для одного и того же значения энергии, а это было бы несовместимо с предположением об отсутствии вырождения. Поскольку функция гр — вещественная, то величина [c.169]

Как известно, они отличны от нуля, если числа частиц в состояниях пип отличаются друг от друга на единицу. Отсюда следует, что дельтаобразные особенности спектральной функции в данном случае определяют изменение энергии ферми-системы при изменении числа частиц в ней на единицу. При этом предполагается, что частица добавляется в состояние X (или изымается из него). Подчеркнем, что состояния X были введены нами в 1 просто как некая базисная система, с помощью которой был произведен переход к представлению вторичного квантования. Они, вообще говоря, отнюдь не обязаны быть стационарными соответственно, спектральная функция может и не иметь особенностей указанного вида. В отсутствие взаимодействия между частицами, однако, всегда можно выбрать в качестве базисной системы собственные функции гамильтониана при этом 7(Х, Е) имеет только дельтаобразные особенности в точках Е, представляющих собой просто значения энергии отдельных частиц. При наличии взаимодействия состояния а(Х)Ф , строго говоря, всегда не стационарны. Соответственно особенности спектральной функции 7(Х, Е) не имеют чисто дельтаобразного характера, и состояние с а(Х)Ф затухает при t- o (ср. 2). При достаточно малом затухании, однако, можно в соответствии с 2 ввести представление о квазистационарных одночастичных состояниях, характеризующихся некоторой энергией и затуханием. Действительно, вычисляя вероятности переходов в системе под влиянием гармонической внешней силы, легко убедиться, что именно частота, определяющая осцилляции амплитуды состояния при >оо, входит в закон сохранения энергии (см. пример в гл. VI). При этом, как всегда в таких случаях, энергия одночастичного состояния сохраняется лишь с точностью до неопределенности, связанной с затуханием. Подчеркнем, что фактически энергии одночастичных . состояний следует относить уже не к отдельным частицам, а ко всей системе в целом. На языке квантовой теории поля [c.38]

Очевидно, это есть собственная функция гамильтониана (11.33). Если в сетке нет колец с нечетным числом звеньев ( 2.10), то каждому узлу можно приписать определенную четность р/. Тогда собственной функцией будет также знакопеременная комбинация [c.530]

Введение псевдопотенциала позволило нам сделать следующий шаг. Оператор Гамильтона Н = Н - -У был заменен новым оператором Гамильтона —который, если пренебречь не интересующими нас глубокими зонами, для валентной зоны и зоны проводимости имеет те же собственные значения Е (к), как и оператор Н. Относящиеся к этому случаю волновые функции х. однако, более гладкие и потому лучше аппроксимируются меньшим числом членов суперпозиции плоских волн. [c.126]

Гамильтониан, выраженный через полевые операторы, обычно не используют в шредингеровском представлении, но нетрудно убедиться в том, что это вполне возможно. Собственные состояния одноэлектронного гамильтониана (4.34) можно представить в форме (4.31), причем сумма содержит лишь члены, соответствующие единственному значению п, а индексы к обозначают собственные состояния одного электрона. Можно проверить, что функция равна функции умноженной на константу, равную сумме энергий всех занятых состояний. Если включить взаимодействие между электронами (4.35), то собственные состояния гамильтониана будут определяться выражением (4.31) с бесконечным числом членов [c.454]

Сущность метода заключается в том, что значения упомянутых шпуров не зависят от выбора основных состояний и могут быть вычислены, например, в представлении, где значения т —1 отдельных спинов (поэтому представление называется та -представлением) являются хорошими квантовыми числами. Таким образом, нет необходимости решать проблему отыскания собственных состояний п) полного гамильтониана. Из определения (1У.30) функции I) вытекает, что значение ее р ш производной в момент I = Ц определяется выражением [c.114]

Хотя это квантовое число определено только для Д = 1, мы условимся называть состояниями полного спина 5 собственные состояния Яд, получаемые непрерывным продолжением по Д из состояний спина 5 изотропного гамильтониана. Этот принцип непрерывного продолжения будет использован в дальнейшем. Он находит свое оправдание в том факте, что энергия и амплитуды являются алгебраическими функциями Д при конечных N. Таким образом, чтобы установить непрерывное соответствие, достаточно лишь избегать точек ветвления. [c.24]

Наконец, собственное значение гамильтониана, отвечающего волновой функции с тп перевернутыми спинами представляет собой аддитивную сумму собственных значений т одночастичных состояний, характеризуемых числами р , рг,. .Рт - [c.192]

Оператор Гамильтона нашей системы Я зависит от внешних параметров а), аг,. .., так как от них зависит потенциальная энергия системы. При этом а определяют положение внешних тел л рассматриваются как числа и не как операторы). Таким образом, состояние внешних тел описывается классически. Собственные функции г ), и собственные значения энергии Е, зависят от параметров ау, Ог,. .. [c.286]

Применим теорему 2 к гамильтоновым уравнениям Янга — Миллса для однородного двухкомпонентного поля (см, 8 гл, I), Функция Гамильтона имеет вид (5,19), где V = х х2. Уравнения (5,21) допускают решение с = (1/ /2,1/ /2) -, собственные значения матрицы Гессе Г равны —1 и 3, Следовательно, Др1 = —7 и Др2 = 5, Эти числа рационально несоизмеримы, поэтому по теореме 2 уравнения Янга— Миллса не допускают нового голоморфного интеграла. Этот результат получил впервые С, Л, Зиглин в [64], Аналогичный результат имеет место и для трехкомпонентной модели Янга — Миллса, где V = х х -Ь х х -Ь х х. Здесь с = = (l/V ,l/V ,0)T, а числа Др равны соответственно /17, 5, В силу их рациональной несоизмеримости гамильтонова система неинтегрируема. [c.369]

Полученный результат справедлив при любом выборе ортонор-мированной системы функций Если система // выбрана произвольно, то для построения матрицы гамильтониана потребуется большое число функций //, и соответствующее представление группы симметрии будет иметь очень высокую размерность. Если, с другой стороны, взять в качестве функций /г собственные состояния гамильтониана, то действие на них гамильтониана сведется к умножению их на некоторое число (собственное значение энергии), и матрица гамильтониана окажется диагональной. Любое преобразование симметрии должно поэтому переводить либо в себя, либо в вырожденное состояние. Размерность представления, порожденного данной функцией / , не может превышать степень вырождения состояния. Таким образом, между размерностью представления группы и степенью вырождения состояния, породившего это представление, существует тесная связь. В частности, если под действием неприводимого представления все состояния некоторой совокупности преобразуются друг через друга, то это означает, что и под действием операции симметрии эти состояния будут преобразовываться друг через друга, т. е. мы не можем найти никакой линейной комбинации (никакого унитарного преобразования), представляющей исключение. Из симметрии гамильтониана поэтому следует, что эти состояния должны быть вырожденными. Мы пришли тем самым, правда с помощью интуитивных соображений, к одному из важных результатов теории групп. Если группа симметрии гамильтониана имеет многомерные неприводимые представления, это означает, что собственные состояния гамильтониана должны быть вырожденными. [c.38]

Теорема 5 (Вильямсон (J. Williamson) [40]). Вещественной симплектической заменой переменных гамильтониан приводится к сумме частичных гамильтонианов (функций от непересекающихся подмножеств сопряженных переменных), а матрица системы — соответственно к клеточному виду. Каждый частичный гамильтониан отвечает либо вещественной паре, либо мнимой паре, либо четверке собственных чисел, либо нулевому собственному числу. Частичные гамильтонианы с точностью до знака определяются жордановы.ми клетками оператора IQ. [c.270]

Соблазнительно рассматривать результат решения этого уравнения как закон дисперсии электрона, движущегося в неупорядоченном металле. Однако такое обобщение формулы (10.41) принципиальнонеобоснованно. Мы знаем, например, что истинные собственные функции гамильтониана в топологически неупорядоченной системе следует рассматривать как функции византийского типа в обычном пространстве — структура их столь сложна, что компактное математическое описание становится невозможным. Далее, поскольку настоящей трансляционной симметрии в таких системах нет, квазиимпульс не может быть хорошим квантовым числом и фурье-образ собственной функции рассматриваемого типа не может иметь совершенно острого спектра в обратном пространстве. Поэтому закону дисперсии , извлекаемому из уравнения [c.476]

ПРАВИЛО (Стокса длина волны фотолюминесценции обычно больше, чем длина волны возбуждающего света фаз Гиббса в гетерогенной системе, находящейся в термодинамическом равновесии, число фаз не может превышать число компонентов больше чем на два ) ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [Галилея — уравнения классической механики, связывающие координаты и время движущейся материальной точки в движущихся друг относительно друга инерциальных системах отсчета с малой скоростью калибровочные — зависящие от координат в пространстве — времени преобразования, переводящие одну суперпозицию волновых функций частиц в другую каноническое в уравнениях Гамильтона состоит в их инвариантности по отношению к выбору обобщенных координат Лоренца описывают переход от одной инерци-альной системы отсчета к другой при любых возможных скоростях их относительного движения] ПРЕЦЕССИЯ — движение оси собственного вращения твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, при котором эта ось описывает круговую коническую поверхность ПРИВЕДЕНИЕ системы <к двум силам всякая система действующих на абсолютно твердое тело сил, для которой произведение главного вектора на главный момент не равно нулю, приводится к динаме к дниаме (винту) — совокупность силы и пары, лежащей в плоскости, перпендикулярной к силе скользящих векторов (лемма) всякий скользящий вектор, приложенный в точке А, можно, не изменяя его действия, перенести в любую точку В, прибавив при этом пару с моментом, равным моменту вектора, приложенного в точку А скользящего вектора относительно точки В ) ПРИНЦИП (есть утверждение, оправданное практикой и применяемое без доказательства Бабине при фраунгоферовой дифракции на каком-либо экране интенсивность диафрагмированного света в любом направлении должна быть такой, как и на дополнительном экране ) [c.263]

Эта схема успешно использована для колебательной диагона-лизации КВ гамильтониана, преобразования оператора дипольного момента двухатомных молекул и оператора дипольного момента в молекулярной системе координат для многоатомных молекул. В теории КВ переходов в многоатомных молекулах описанный метод применяют для частичной диагонализации по колебательным квантовым числам полного КВ гамильтониана. В этом случае по-прежнему используют (6.7), но в отличие от обычной схемы условие диагональности Я1 в базисе собственных функций Яо заменяется требованием диагональности Я1 в базисе только гармонических колебательных функций. [c.174]

Рассматривая простые металлы, мы требовали, чтобы состояния сердцевины были собственными состояниями гамильтониана в металле. Для металлов, подобных меди, мы не можем включить атомные d-состояния в число состояний сердцевины , так как они не являются решениями уравнения Шредингера в металле, и в то же время состояния d-типа достаточно сильно локализованы, так что их разложения по плоским волнам сходятся довольно медленно. Таким образом существенное преимущество метода псевдопотенциалов при конструировании состояний d-типа теряется. С точки зрения разложения по переполненной системе функций кажется естественным попытаться описать переходные металлы, используя переполненную систему, включающую не только плоские волны и волновые функции сердцевины , но также и атомные d-функции. Хотя атомные d-состояния и не являются собственными состояниями гамильтониана в металле, но вполне возможно, что они как раз дадут дополнительные члены, которые необходимы для получения быстро-сходящихся разложений волновых функций d-типа. Действительно такой метод был с успехом использован Диганом и Твоузом 1501, которые обобщили метод OPW применительно к расчету зонных структур переходных металлов. [c.226]

Пусть в (2.112) — собственная функция гамильтониаиа Я = — +7(г) в непрерывном спектре. Она должна быть ортогональна к связанным состояниям (дискретному спектру) того же гамильтониана Фа( ) с квантовыми числами а — п, I, т) [c.57]

Для доказательства возможности такого представления и фактического определения амплитуд Ар рассмотрим произвольную собственную функцию Ч т гамильтониана (17.6) с заданным полным спином, т. е. с определенным числом т спинов, ориентированных вниз. Эта функция должна быть суперпозицией всех состояний ХуХг... ХшУ С конкретным указанием узлов Ху,. .., Хш, в которых располагаются ориентированные вниз спины, т. е. [c.187]

Рассмотрим квантовомеханическую систему с большим числом степеней свободы, которая характеризуется гамильтонианом Н. Система предполагается изолированной в макроскопическом смысле. Это значит, что ее гамильтониан не зависит явно от времени, но система может находиться в состояниях, соответствующих собственным значениям невозмущенного гамильтониана, которые лежат в некотором интервале А , определяемом точностью макроскопического измерения энергии. Назовем эту группу собственных значений гамильтониана энергетическим слоем [Д 1 . Макроскопическое измерение энергии соответствует диагональной матрице, элементы которой для всех собственных функций равны некоторому промежуточному вначению Е . Точность определения такого макроскопического гамильтониана соответствует точности измерения энергии. Следуя Нейману [13] и ван Кампену [14], мы можем определить и другие макроскопические операторы, коммутирующие с макроскопическим гамильтонианом. Принимая, что существует полный набор ) таких операторов, мы разобьем энергетиче- [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...