Условие ортонормированности собственных функций

Умножая на и интегрируя ио объему, с помош,ью условия ортонормированности собственных функций (12.9) найдем [c.275]

Подставляя его в уравнение колебаний (7.140), начальные и краевые условия (7.141), (7.142), умножая члены уравнения на величину rvn dr и интегрируя по радиусу пластины от нуля до единицы, в силу ортонормированности системы собственных функций Vn, получим для неизвестной функции Tn[t) уравнение [c.433]

Нетрудно установить формальную связь между развитой выше теорией и обычным эвристическим подходом. Поместим нашу систему в кубический ящик объемом V и наложим периодические граничные условия. Функции х) = где к пробегает известные дискретные значения, образуют ортонормированный базис собственных функций одночастичного гамильтониана. Введем операторы [c.29]

К аналогичным заключениям можно прийти и для квантовомеханической задачи, которая была рассмотрена в п. 1. Здесь, однако, следует еще раз подчеркнуть, что условие коммутативности (5.8) выполняется только в том случае, если на выбранной системе функций реализуется унитарное представление рассматриваемой группы симметрии. Выбирая в качестве системы функций некоторую полную ортонормирован-ную систему, мы придем к заключению, что при отсутствии случайного вырождения каждому собственному значению оператора энергии соответствует неприводимое представление, по которому преобразуются его собственные функции. [c.65]

При тех же однородных условиях. Собственные функции и предполагаются ортонормированными в некоторой области О. [c.176]

Пример 3. Резонаторы ГЛОН. Как уже отмечалось, в ГЛОН могут быть использованы резонаторы двух типов открытые и волноводные. Расчет характеристик открытых резонаторов ГЛОН MIR- и // -излучение) не отличается принципиально ни по постановке задачи, ни по технике ее реализации на ЭВМ от задач открытых резонаторов в оптическом диапазоне. Поэтому при расчетах открытых резонаторов ГЛОН можно пользоваться методиками и программами, изложенными в гл. 2. Рассмотрим результаты расчетов и анализ волноводных резонаторов. Конструктивно волноводный резонатор заложен в любом газовом лазере с разрядной трубкой, которая может рассматриваться как диэлектрический полый волновод. Но в оптическом диапазоне влияние стенок трубки на формирование поля в резонаторе не учитывается, так как отношение (ИХ d — диаметр трубки, X —длина волны) в этом диапазоне очень велико и каустика эффективного поля резонатора при таких условиях меньше диаметра трубки. Однако в ИК-диапазоне с успехом используются волноводные СОг-лазеры, где отношение d/i много меньше, чем в обычных лазерах за счет уменьшения d (единицы мм) [37]. При расчете характеристик такого лазера учитывается влияние стенок на формирование поля в резонаторе. В лазерах с оптической накачкой при увеличении длины волны излучения вплоть до субмиллиметрового и миллиметрового диапазонов отношение d/X становится еще меньше, даже с учетом того, что диаметры их трубок для увеличения эффективности генерации делаются большими по сравнению с диаметрами трубок СО -лазеров. Поэтому роль стенок трубки в заполненных эффективным полем объеме резонатора увеличивается. Рассмотрим наиболее типичную схему волноводного резонатора ГЛОН (рис. 3.28). Зеркала этого резонатора, расположенные на торцах диэлектрического поля волновода (трубки), имеют отверстия di и dg соответственно для ввода излучения накачки в активную среду ГЛОН и вывода излучения генерации. Так как задача является осесимметричной, будем искать искомые поля в резонаторе как функцию от координаты U (г). В качестве базисных функций этой задачи выбираются радиальные ортонормированные собственные функции бесконечного полого диэлектрического волновода со следующими условиями. [c.163]

Поэтому, по Дираку, состояние квантовой системы описывается бра-вектором (ifi или сопряженным ему кет-вектором 1113) = = (( ф )" " состояния (с волновой функцией j)(q, /)=) в бесконечномерном гильбертовом (функциенальном) пространстве. В этом линейном пространстве в качестве базиса используются ортонормированные т т ) — 6fnm ) собственные функции il3m = = (q m) (Щт) = т т)) любой физической величины, представляемой эрмитовым оператором M = / i+, при этом Ст(0=( ф)-Условие полноты базиса т) (т-представления) символически можно записать в виде [c.188]

Напомним, что в рассматриваемом случае существует неограниченно возрастающая последовате.тьность действительных собственных значений и соответствующая им ортонормированная последовательность собственных функций ф (см. формулу (1.16)), причем все числа положительны. Докажем, что условие устойчивости имеет вид [c.238]

Согласно условию симметрии (2.86) и вешественности оператор V обладает полной ортонормированной системой вешественных обобщенных собственных функций 1/ х, ), принадлежащих непрерывному спектру [18] [c.58]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...