Непрерывная собственная функци

Это выражение определяет функцию Я(ц), которую следует подставить в (10.16). Тогда любое значение т] в интервале (—1, 1) является собственным значением, а функция ф(т , л), определяемая выражением (10.16), называется непрерывной собственной функцией, так как т] принимает непрерывно все значения между —1 и 1. [c.384]

Дискретные собственные функции ф( т)о, й) и непрерывные собственные функции ф(т], (г) ортогональны 6 полном диапазоне изменения ц (т. е. —l i l), если они взяты с весом ц. Условие ортогональности имеет вид [c.387]

Интеграл нормировки N у ) в полном диапазоне ц для непрерывной собственной функции имеет вид [c.393]

Интеграл нормировки для непрерывной собственной функции в положительной половине диапазона изменения ц имеет вид t [c.394]

Порядок интегрирования в правой части (10.51а) существен, поскольку непрерывная собственная функция ф( , ц) имеет особенность. Однако с помощью формулы Пуанкаре — Бертрана было показано [2], что порядок интегрирования может быть изменен в этом случае (10.51а) принимает вид [c.399]

Входящие в это выражение дискретные собственные функции ф( т)о, И-) и непрерывные собственные функции ф( т), ц) были определены ранее [см. (10.18) и (11.89)]. Частное решение фр(т, I, ц) уравнения переноса излучения может быть найдено, если известна функция 0 (т, ), которая входит в свободный член уравнения. Однако распределение температуры 0(t, ) [c.592]

Теорема П16.2. Пусть (М, //, (fit) — классическая эргодическая система, Ранг подгруппы дискретного спектра, образованного собственными значениями непрерывных собственных функций, меньше или равен Ьх- [c.145]

Лемма П16.8. Подгруппа дискретного спектра, образованная собственными числами непрерывных собственных функций, есть подгруппа группы чисел вращений. [c.148]

Следствие П16.10 (Арнольд [2], [3]). Пусть V — компактное риманово многообразие размерности п 2, не являющееся тором. Если геодезический поток на унитарном касательном расслоении М = Т У эргодичен, то непрерывные собственные функции — константы. [c.149]

Функция фа(Р) есть собственная функция величин -набора, заданная в р-представлении. Если величины (3-набора изменяются дискретно, то vt>a(P) есть амплитуда вероятности того, что состояние р> представлено в состоянии а>. В случае непрерывно изменяющихся величин 3-набора 1 5а(Р) есть амплитуда плотности указанной вероятности. [c.118]

Непрерывный спектр собственных значений. В предшествующем изложении формулы выписывались применительно к дискретному спектру собственных значений. В случае непрерывного спектра некоторые формулы изменяются. Пусть оператор А имеет непрерывный спектр собственных значений X. Собственную функцию, принадлежащую собственному значению Х, обозначим причем предполагается, что число /С изменяется непрерывно. [c.108]

Условие ортогональности (17.13) собственных функций, принадлежащих различным собственным значениям, полностью сохраняется для непрерывного спектра [c.108]

Однако нормировать собственные функции непрерывного спектра на единицу, как в дискретном спектре, нельзя, потому что интеграл от квадрата модуля собственной функции непрерывного спектра обращается в бесконечность [c.109]

Поэтому собственные функции непрерывного спектра нормируют с помощью дельта-фупкции [c.109]

Разложение некоторой функции по собственным функциям непрерывного спектра имеет вид [c.109]

Если спектр отчасти непрерывный, отчасти дискретный, то разложение некоторой функции по собственным функциям является суммой ряда [c.109]

В частности, из изложенного вытекает непрерывность и собственных функций. [c.42]

Параметр а является собственным значением и функция / (г) — собственной функцией оператора М. В общем случае уравнение (1.63) может иметь как действительные собственные функции и собственные значения, так и комплексно-сопряженные. Кроме того, оператор М может иметь наряду с точечным спектром непрерывный континуум собственных значений а и соответствующие сингулярные собственные функции /а (г) (см. П. 2.2). [c.25]

Подчеркнем, что собственные функции уравнения теплопроводности для твердого тела образуют полную систему [101, вследствие чего по этим функциям можно разложить в ряд Фурье другие функции. Вопрос о полноте собственных функций в задаче нестационарного теплообмена для систем, подобных каналу с ТВЭЛОМ и теплоносителем, по-видимому, должным образом и с необходимой математической строгостью не исследован. Мы примем условие полноты функций г 3й(г) без доказательства, как гипотезу, и будет Б дальнейшем пользоваться разложением функций в ряд Фурье по собственным функциям 1 л(г) оператора S (3.109) без дополнительных оговорок. Тем самым мы принимаем также отсутствие в полном спектре собственных значений этого оператора непрерывного спектра собственных значений и соответ-ствуюш,их сингулярных собственных функций, а также присоединенных элементов собственных функций [80, 471. [c.97]

В тех случаях, когда область D определения <р бесконечна или когда параметры оператора С нерегулярны в области D, т. е. имеют в этой облает особенности, кроме дискретного (точечного) спектра, вообще говоря, может появиться плотное распределение (континуум) собственных значений оператора. L. Этот континуум, соответствующий сингулярным собственным функциям, на зывается непрерывным спектром оператора L. [c.214]

При движении по паре непрерывных частотных функций в процессе трансформации системы в зонах их взаимной интерференции наблюдается характерная инверсия форм колебаний, когда происходит взаимный обмен качественными признаками, характеризующими формы колебаний, между собственными движениями, соответствующими одной и другой частотным функциям. На рис. 6.2 это иллюстрируется изменением рисунков узловых линий плоской прямоугольной консольно защемленной пластинки постоянной тол- щины при изменении ее длины. [c.85]

Распределение (М), минимизирующее функционал J (z), является для данной задачи собственной функцией, соответствующей собственному значению fii. Любое другое непрерывное распределение, не совпадающее с (М), в том числе и неизвестное распределение Z (М) = Т (М) — Т (М), но удовлетворяющее условию z (N) = О при N 5i, приводит к неравенству J (z) 2= M-i- Отсюда следует формула для оценки средней квадратической погрешности приближенного решения Т М) [c.29]

Функция р г) непрерывна в [О, а], а q r) имеет особенность лишь при г = О и д(а) = 0. Применяя рассуждения гл. VI работы [6] (для уравнений с особыми точками), можно вывести обычные свойства систем собственных чисел и собственных функций краевой задачи (2Л 5). [c.61]

Трансцендентное уравнение, его корни и соответствующие им однородные решения представляют собой своего рода характеристическое уравнение, собственные числа и собственные функции рассматриваемой канонической сингулярной задачи. Число собственных функций бесконечно, так как число корней трансцендентного уравнения бесконечно каждый корень непрерывно зависит от коэффициента Пуассона (и коэффициента трения при наличии кулонова трения), вообще говоря, входящего в трансцендентное уравнение. Модуль Юнга, очевидно, не может [c.54]

В работе [6] по сазано, что дискретные ф( 11о, ц) и непрерывные собственные функции ф(г], г) ортогональны с весовой функцией Т (М ) в половинном диапазоне изменения ia. Доказательство этого условия ортогональности и определение весовой функции приведено также в [2]. Здесь будут представлены только окончательные выражения для условия ортогональности. [c.388]

Коэффициенты разложения произвольной функции по собственным функциям могут быть определены с помощью свойства ортогональности собственных функций и различных интегралов нормировки. В данном разделе рассмотрены интегралы нормировки для д 1скретных и непрерывных собственных функций и изотропного рассеяния. Отдельно будут рассмотрены случаи изменения (А в полном диапазоне (—1 л 1) ив половинном диапазоне (О < < 1). [c.392]

Это решение удовлетворяет граничному условию (13.1556), так как в решение однородного уравнения не вошел член, который расходится на бесконечности. Здесь 9(vo, — дискретная собственная функция и ф(у, х)— непрерывная собственная функция, определенные в гл. 10 [см. РО.8) и (10.16)], а два дискретных собственных значения vo являются корнями дисперсионного соотношения (10.9). Два коэффициента разложения (vo, 5 ) и /4(v, ) находятся из условия, чтобы решение (13.157) удовлетворяло граничному условию (13.155а), с последующим использованием свойства ортогональности собственных функций и различных интегралов нормировки, как было описано в гл. 10 и И или в работе [43]. [c.569]

По теореме Лобачевского Адамара (14.3) геодезический поток есть У-система. Следовательно, по теореме 17.9, он эргодичен. По, как показывает следствие П16.10 (приложение 16), геодезический поток не имеет непрерывной собственной функции . Тем самым исключается вторая возможность теоремы 17.11. Таким образом, из теоремы 17.11 мы заключаем, что геодезические потоки на унитарных расслоенных пространствах Т1У, касательных к компактным римановым многообразиям отрицательной кривизны, являются Г-системами. Следовательно, они обладают положительной энтропией (теорема 12.31, гл. 2), имеют бесконечный лебеговский спектр (теорема 11.5, гл. 2), являются пере-мешиванием (теорема 10.4, гл. 2) и эргодичны (следствие 8.4 гл. 2). [c.78]

Этот факт является общим для систем с непрерывными собственными функциями (Авец [2]). [c.145]

Пусть f(x) — отличная от нуля непрерывная собственная функция диффеоморфизма ipti [c.148]

Дискретные собственные значения V уравнения (2.92) можно найти, если результат его интегрирования по .I приравнять единице. Это было пределано для некоторых особых случаев. В работе [52] доказана полнота системы дискретных и непрерывных собственных функций. [c.84]

Если функция и непрерывна, однозначна и конечна, то она называется собственной функцией оператора А, принадлежащей собственному значению Число X называется собсшйб н-ным значением оператора А. Обычно оператор и его собственное значение обозначаются одной и той же буквой. [c.106]

Перейдем теперь к рассмотрению спектральных свойств уравнений (2.2) и (2.3), а равным образом и (2.5). Положим Я = 1 и допустим, что эти уравнения имеют нетривиальные собственные функции (ввиду равенства нулю индекса, число этих функций одинаково). Обозначим через фо собственную функцию уравнения (2.3), а через У(р, фо) — потенциал, имеющий функцию фо своей плотностью. Этот потенциал является реще-нием задачи И при нулевых значениях напряжений на поверхности. Уместно при этом отметить, что в любом случае смещения, представимые потенциалом простого слоя, убывают на бесконечности как l/R, а напряжения — как 1// . Поэтому можно воспользоваться теоремой единственности внешней задачи теории упругости. Тогда получаем, что потенциал V тождественно равен нулю в области 0 . С другой стороны, потенциал простого слоя является функцией, непрерывной всюду, включая поверхность 5. Поэтому потенциал V р, фо) будет тождественно равен нулю в области 0+, поскольку он обращается в нуль на поверхности 5. Возвращаясь же к формуле (1.24), получаем, что функция фо тождественно равна нулю. Следовательно, точка Я = I не является собственным значением для уравнений (2.3), (2.4) и (2.5). Поэтому перечисленные уравнения разрешимы при произвольной правой части, а получаемые решения единственны, [c.559]

Функциями сравнения задачи называют 2т-кратно непрерывно диффереп цируемые функции, удовлетворяющие всем заданным граничным условиям (функция сравнения, удовлетворяющая и дифференциальному уравнению, является собственной функцией задачи). [c.300]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...