Шредингера уравнение два решения

Два решения уравнения Шредингера. При изучении двухатомных молекул сила взаимодействия между двумя ядрами задается приближенно в виде [c.89]

Это и ряд других полезных утверждений могут быть доказаны следующим образом. Пусть Фх и Фа — два решения уравнения Шредингера в случае одного барьера, соответствующие одинаковой энергии [c.154]

Благодаря наличию дефектов кристаллической решетки пространственная периодичность распределения потенциала будет нарушена вблизи каждого дефекта, вследствие чего изменяется состояние электронов. Как показывает более строгий расчет, при наличии дефектов может быть два типа решений уравнения Шредингера [c.342]

Резюмируя, имеем состояния атомов и ионов с двумя валентными электронами распадаются на два типа состояний с отличными друг от друга значениями энергии. Одно из них (5 = 0) соответствует симметричному решению уравнения Шредингера в нулевом приближении второе (5=1) — антисимметричному решению. Энергетические уровни этого последнего состояния расщеплены на Три (кроме S-состояний) из-за спинового взаимодействия. Смещение, вызван- [c.158]

Для расчета энергетических спектров электронов обычно используется одноэлектронное приближение, т. е. предполагается, что каждый электрон движется в силовом поле ионов и всех электронов (кроме рассматриваемого), а индивидуальные парные взаимодействия не учитываются даже между ближайшими соседями. Эти взаимодействия включены в среднее поле. В таком случае решением уравнения Шредингера в кристалле с периодическим потенциалом кристаллической решетки являются функции Блоха, а собственные значения энергии электронов образуют энергетические полосы (рис. 1.4). Число уровней в каждой полосе определяется числом атомов в решетке, вследствие чего образуются практически непрерывные энергетические зоны. Согласно принципу Паули на каждом уровне зоны находится только два электрона (с противоположным значением спина), при этом при температуре 7=0 К электроны в зонах занимают состояния с минимальной энергией. [c.13]

Ясно, что при х- оо допустимым решением является ехр(—кх) и при х --сх> решение есть ехр (их). Для непрерывного спектра уравнение Шредингера принимает вид + + k = О, и его два независимых решения даются формулами [c.70]

Уравнение Шредингера является уравнением второго порядка, и поэтому необходимо рассматривать два его независимых решения. Предположим, что 1 5 — одно из решений, а Ф — другое линейно независимое решение уравнения, тогда Фл л + (Х — и)ф = 0. Делая подстановку ф = фХ и используя соотношение фд д (Я — — о, имеем хх З фх/ ф — О, проинтегрировав которое получим Хх = А/ . Отсюда X = [c.71]

Определим предварительно число состояний, обладающих энергией , так как эта величина входит в выражение для функций распределения. При точном рассмотрении кратность вырождения уровней должна определяться нз решения уравнения Шредингера, однако правильные результаты могут быть получены следующим простым способом. Для каждого электрона мы можем ввести фазовое пространство шести измерений, в котором координатами являются три пространственные координаты лг, у, г и трн компоненты импульса р , р и р электрона. Еслн мы разделим затем это фазовое пространство произвольным образом на ячейки объёма А , то можно получить соответствующую плотность состояний, приписывая два состояния каждой ячейке. Эти два состояния соответствуют электронам, движущимся по одной и той же орбите, но с противоположными направлениями спина. Грубо это может быть обосновано с помощью условии, накладываемого на фазовый интеграл в классической квантовой механике, откуда следует, что объём фазового пространства, соответствующий каждому уровню, равен А для каждой пространственной координаты. Следовательно, [c.156]

В основе наших представлений о твердом теле лежат два ОСНОВНЫХ понятия представление о многочастичной системе и симметрия кристаллической решетки. Свойства симметрии суш,е-ственны для упрош,ения математического описания. Большая информация может быть получена при использовании всех свойств симметрии без количественного решения уравнения Шредингера. Поэтому мы используем вспомогательные методы теории групп. Этим методам посвящено Приложение Б. [c.17]

Как известно, существует два линейно независимых решения, которые в начале координат ведут себя как г г+ь Если больше нуля, то одно из этих решений регулярное, а второе нерегулярное ). Очевидно, положительно, если а > О т. е. когда потенциал Т/ в окрестности начала координат соответствует отталкиванию. Кроме того, 2 > О, если а < О, но — а< 1 - /г) , т. е. когда потенциал соответствует довольно слабому притяжению. Однако если притяжение становится достаточно сильным в том смысле, что начинает выполняться неравенство — а > (/ + 72) , то Ь будет мнимым и оба решения будут вести себя как г -/- ехр (+1 Ь 1 1п г). Оба эти решения осциллируют, и не существует никакого физического критерия, позволяющего предпочесть одно решение другому. Более того, оба решения радиального уравнения ведут к решениям трехмерного уравнения Шредингера. [c.366]

На матричном языке это означает, что матрица О приводится с помощью преобразования С/ к диагональному виду. Как и прежде, можно показать, что В[ и О могут принимать лишь значения +1 или —1. Мы приходим к заключению, что в случае гамильтониана, обладающего симметрией инверсии, всегда можно взять в качестве решений уравнения Шредингера четные или нечетные функции. При этом предполагалось, что эти два состояния вырождены, хотя симметрия этого и не требует. Такое вырождение называют случайным. Ниже мы увидим, что в трехмерных проблемах иногда встречается вырождение, обусловленное симметрией. Подобное вырождение вследствие симметрии иллюстрируется на примере трех / -состояний свободного атома. Из изотропности пространства следует, что эти состояния должны быть вырожденными. [c.27]

Поскольку 4 г и Фг представляют собой два независимых решения уравнения Шредингера для случая одного барьера, соответствующие одинаковой энергии, любое другое [c.153]

Получая выражение для энергии основного состояния 2 о> просто следовали этапам построения зонной теории в частном случае твердого тела с JV = 2. Именно, вначале мы решили одноэлектронную задачу (32.7), а затем заполнили N12 наинизших одноэлектронных уровней, помещая на каждый из них по два электрона (с противоположно направленными спинами). Несмотря на это обнадеживающее сходство, волновая функция (32.8) явно оказывается очень плохим приближением для описания основного состояния точного уравнения Шредингера (32.3) в том случае, когда протоны отстоят далеко друг от друга. Действительно, в этом случае выражение (32.8) совершенно не дает возможности учесть кулоновское взаимодействие между электронами. Это становится очевидным при рассмотрении структуры одноэлектронных волновых функций (г) и ipi (г). Если электроны расположены далеко друг от друга, то метод сильной связи (гл. 10) позволяет с очень хорошей точностью получить решения уравнения (32.7) в частном случае iV = 2. В методе сильной связи одноэлектронную волновую функцию стационарного состояния твердого тела представляют в виде линейной комбинации одноэлектронных атомных волновых функций, взятых в соответствующих узлах решетки R. При N = 2 имеем следующие правильные линейные комбинации ) [c.291]

Все же то, что мы сейчас рассмотрели, есть достаточно частный случай. Любую одномерную потенциальную энергию Т (х) можно представить в виде одномерной последовательности атомных потенциалов v (х), разделенных участками (может быть, бесконечно узкими), на которых потенциальная энергия равна нулю (рис. 8.2). Внутри каждой из этих атомных ячеек можно построить два независимых решения уравнения Шредингера j>i x) и Хг ( )i удовлетворяюш их следующим начальным условиям на левой границе ячейки (при а = 0) [c.343]

Основным приближением при решении уравнения (7.1) является приближение Борна — Оппенгеймера, Принимая это при-ближе1ше, мож1Ю разделить ровибронное уравнение Шредингера на два уравнения электронное уравнение Шредингера, в котором переменными являются электронные,координаты, и колебательно-вращательное уравнение Шредингера, в котором переменными являются ядерные координаты. Для решения электронного уравнения Шредингера можно использовать приближение молекулярных орбиталей это приводит к разделению уравнения [c.130]

Если потенциал в окрестности начала координат более сингулярен, чем г , но положителен, то, как мы уже видели, регулярное решение радиального уравнения Шредингера существует и оно удовлетворяет трехмерному уравнению.Тем не менее обычный метод построения этого решения становится несостоятельным кроме того решение теряет многие свои прежние свойства. Например, интегральное уравнение (12.4), хотя и сохраняется в рассматриваемом случае, но оказывается теперь бесполезным. Его нельзя решить методом итераций, даже если оно фредгольмовского типа. Свойства решения, функции Иоста и элементов S-матрицы (как функций от к) совершенно меняются. Кроме того, граничные условия начинают зависеть от потенциала. В предыдущем пункте было показано, что два решения радиального уравнения в окрестности начала координат имеют вид [c.366]

Рассмотрим потенциал и(х)- 0 при л ->сх>. Тогда при л ->оо уравнение Шредингера имеет следующую асимптотическую форму г1зл л + Хг]) ==0. Для дискретного спектра оно записывается в виде = О и имеет два независимых решения [c.70]

Теперь понятно, что уравнения (3.104) и (3.106) с точ ностью до разницы в фазе представляют собой тот же са мый солитон, перемещающийся от х = —оо до д = -]- оо Аналогично уравнения (3.109) и (3.111) также с точностью до разницы в фазе представляют собой тот же самый соли тон, перемещающийся от х = — оо до х = -]- оо. Таким обра зом, можно заключить, что каждому собственному значению уравнения Шредингера (3.85) соответствует односолитонное решение. Между тем уравнение (3.102) описывает двухсоли-тонную волну, которая распадается на два солитона при /-)-с о и /-> — оо, и эффект нелинейного взаимодействия между ними, описываемого уравнением КдФ, сводится просто к тому, что их взаимное положение смещается по отношению к положению, которое они заняли бы, если бы взаимодействия не было. [c.84]

Рассмотрим некоторое значение %, и пусть Я,.у < Я, < Xw+t, т. е. существует N собственных значений, меньпшх чем Я,. Вопрос заключается в следующем можно ли указать некоторые общие свойства асимптотического распределения собственных значений при больших значениях N1 Известны два подхода к решению этого вопроса. Первый из них основан на использовании вариационных методов [189], вто-юп — на использовании теорем тауберова типа (см., например, 9, 190]). С помощью этих методов удается, в частности, определить число N %) собственных значений Я.<, заключенных в области h[c.233]

Такой способ решения задачи представляет собой интересную иллюстрацию соотношения между истинным потенциалом и псевдопотенциалом. На фиг. 60 представлен результат, к которому приводит добавление в газ свободных электронов псевдопотеициала натрия, и изображена псевдоволновая функция, отвечающая собственному состоянию с энергией, близкой к энергии атомного 35-уровня. Вследствие того, что псевдопотенцнал мал, псевдоволновая функция претерпевает лишь слабую деформацию, а фаза оказывается меньше л. Это показано на фиг. 60, б. Можно вместо этого вернуться к уравнению Шредингера с истинным потенциалом атома натрия и отыскивать истинные собственные функции. Мы должны получить то же собственное значение энергии и волновую функцию, совпадающую с псевдоволновой функцией вне области, занимаемой внутренними оболочками, если эта псевдоволновая функция найдена, исходя из правильного псевдопотенциала. В области же внутренних оболочек из-за того, что потенциал атома натрия велик, волновая функция окажется сильно деформированной и будет походить на функцию атомного Зв-состояния. Результат таких вычислений иллюстрируется на фиг. 60, в. Если проследить за деформацией волновой функции при постепенном увеличении потенциала, то можно видеть, как фаза увеличивается и проходит через величину 2я, когда два узла волновой функции входят в область внутренних оболочек, достигая величины 2л плюс то значение, которое получается из вычислений, основывающихся на псевдопотенциале. [c.204]

Как и в случае свободных электронов, при рассмотрении проводимости, обусловленной блоховскими электронами ), возникают два вопроса а) Какова природа столкновений б) Как движутся блоховские электроны в промежутках между столкновениями Полуклассическая модель касается лишь второго вопроса, но теория Блоха критическим образом затрагивает и первый из них. Друде предполагал, что электроны сталкиваются с неподвижными тяжелыми ионами. Это нрэдположвпие несовместимо с очень большими длинами свободного пробега, возможными в металлах, и не позволяет объяснить наблюдаемую их зависимость от темперятуры (см. стр. 23). Теория Блоха исключает такое допущение и из теоретических соображений. Блоховские уровни — это стационарные решения уравнеиия Шредингера в присутствии полного периодического потенциала ионов. Когда электрон на уровне имеет отличную от нуля среднюю скорость (а это всегда так, если величина 5ё (к)/ 9к случайно не равна нулю), эта скорость сохраняется неограниченно долго ). Мы не можем рассматривать столкновения с неподвижными ионами как механизм, обусловливающий уменьшение скорости, поскольку взаимодействие электрона с фиксированной периодической решеткой ионов полностью учтено в исходном уравнении Шредингера, решением которого является блоховская волновая функция. Поэтому проводимость идеально периодического кристалла равна бесконечности. [c.218]

Ниже будет рассмотрено два примера применения обобщенной схемы КМОЗ к задаче об одномерной системе электронов с локальным взаимодействием (модель Хаббарда) и к задаче об электронном газе, взаимодействующим с примесным магнитным моментом (проблема Кондо). Мы увидим, что в первом случае решение уравнения Шредингера для двух частиц сразу определяет двухчастичную матрицу рассеяния, автоматически удовлетворяющую локальным уравнениям Янга — Бакстера. Схема КМОЗ в этой задаче необходима, главным образом, для учета периодических граничных условий (диагонализация -матрицы). Во второй задаче — о проблеме Кондо — из решения уравнения Шредингера для двух частиц (электрон и примесный спин) находится -матрица. Ее зависимость от спектрального параметра определяется из обобщенных на два сорта частиц (электрон и примесь) уравнений Янга — Бакстера. [c.229]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...